2025届高考数学一轮复习专练4 基本不等式（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练4 基本不等式（Word版附解析），共10页。
【基础落实练】
1.(5分)(2024·临夏模拟)若x>0,则函数y=x+4x( )
A.有最大值-4B.有最小值4
C.有最大值-2D.有最小值-2
【解析】选B.因为x>0,所以y=x+4x≥2 x·4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,
所以当x>0时函数y=x+4x有最小值4.
2.(5分)若正实数x,y满足2x+y=9,则-1x-4y的最大值是( )
A.6+429B.-6+429
C.6+42D.-6-42
【解析】选B.由题意可得正实数x,y满足2x+y=9,所以1x+4y=19×1x+4y(2x+y)
=19(2+yx+8xy+4)≥6+429,
当且仅当yx=8xy,即x=9(2-1)2,y=9(2-2)时取等号,所以-1x-4y≤-6+429.
3.(5分)(2024·南昌模拟)放假期间,小明一家准备去淄博旅游,已知他家汽车行驶速度vkm/h与每千米油费w(元)的关系式为w=1300·v2v-4060≤v≤120,当每千米油费最低时,v=( )
A.60km/hB.80km/h
C.100km/hD.120km/h
【解析】选B.w=1300·v2v-40=1300·v-402+80v-40+1 600v-40=1300v-40+1 600v-40+80,
因为60≤v≤120,所以20≤v-40≤80,
则1300v-40+1 600v-40+80≥13002 v-40·1 600v-40+80=815,
当且仅当v-40=1 600v-40,即v=80时取等号,
所以当每千米油费最低时,v=80km/h.
4.(5分)若关于x的不等式4xa+1x-2≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的最大值
是( )
A.4B.3C.2D.1
【解析】选A.因为x>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4对任意x>2恒成立⇔4(x-2)a+1x-2+8a≥4对任意x>2恒成立⇔[4(x-2)a+1x-2+8a]min≥4,而4(x-2)a+1x-2≥2 4(x-2)a·1x-2=4 a,当且仅当4(x-2)a=1x-2时,取等号.所以原问题转化为4 a+8a≥4,解得01时,x+1x-1的最小值是3
B.x2+5 x2+4的最小值是2
C.当00,
所以x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2 (x-1)×1x-1+1=3,
当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立,故选项A正确;
对于选项B,因为x2+5 x2+4=x2+4+1 x2+4= x2+4+1 x2+4≥2,
等号成立的条件是x2=-3,显然不成立,所以等号不成立,不能使用基本不等式,即最小值不为2,令t= x2+4≥2,则y=t+1t在2,+∞上单调递增,所以t=2时取得最小值52,故选项B错误;
对于选项C,因为00,y>0,x+4y-xy=0,所以x+4y=xy,两边同除以xy,得4x+1y=1,
所以x+y=x+y4x+1y=5+xy+4yx≥5+2xy·4yx=9,
当且仅当xy=4yxx+4y-xy=0,即x=6y=3时,等号成立,所以x+y的最小值为9.
答案:9
9.(10分)(2024·南京模拟)已知正数x,y满足x+2y=1.
(1)当x,y取何值时,xy有最大值?
(2)若1x+2y≥3a恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为正数x,y满足x+2y=1,
由基本不等式得x+2y=1≥2 2xy,解得xy≤18,
当且仅当x=2y,即x=12,y=14时,等号成立,故xy的最大值为18.
(2)要想1x+2y≥3a恒成立,只需1x+2ymin≥3a,
正数x,y满足x+2y=1,
所以1x+2y=1x+2yx+2y=1+4+2yx+2xy≥5+2 2yx·2xy=9,
当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时,等号成立,
故9≥3a,解得a≤2,
所以实数a的取值范围是-∞,2.
【能力提升练】
10.(5分)(2024·红河模拟)公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果,写出了经典之作《圆锥曲线论》,在此著作第七卷《平面轨迹》中,有众多关于平面轨迹的问题,例如:平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足PA= 2PB,若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0m>0,n>0对称,则2m+5n的最小值是( )
A.10B.20C.30D.40
【解析】选B.设点P的坐标为x,y,因为PA= 2PB,则PA2=2PB2,
即x+12+y2=2x-22+y-12,
所以点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20,
因为P点的轨迹关于直线mx+ny-2=0m>0,n>0对称,
所以圆心5,2在此直线上,即5m+2n=2,
所以2m+5n=125m+2n2m+5n=12(20+4nm+25mn)≥10+12×2 4nm·25mn=20,
当且仅当4nm=25mn,即m=15,n=12时,等号成立,所以2m+5n的最小值是20.
11.(5分)(2024·西安模拟)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明,也称为“无字证明”.如图,AB是圆O的直径,点O为圆心,点C是线段AB上的一点,且AC=m,BC=n.过点C作垂直于AB的半弦DC,连接DA,DB,DO,过点C作CE垂直DO于点E,则根据该图形我们可以完成的无字证明有( )
①m2+n2≥2mn(m>0,n>0)
② mn≤m+n2(m>0,n>0)
③m2+n22≥m+n22(m>0,n>0)
④ mn≥21m+1n(m>0,n>0)
A.①②B.①③C.②③D.②④
【解析】选D.在给定的图中没有表示m2+n2的几何量,即①③不能根据给定图形完成无字证明;
对于②,AC+BC=m+n,AD⊥BD,由直角三角形得CD2=AC·BC=mn,
则CD= mn,由于圆上任意弦的长度不大于直径,即2DC≤AB,
于是得CD≤12AB,即 mn≤m+n2(m>0,n>0),②能完成无字证明;
对于④,因为CE⊥OD,OC⊥CD,由直角三角形得CD2=DE·OD,
DE=CD2OD=m·nm+n2=21m+1n,又CD≥DE,那么 mn≥21m+1n(m>0,n>0),④能完成无字证明.
12.(5分)(多选题)(2024·潮州模拟)设正实数x,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是 ( )
A.yx+3y的最小值为4
B.xy的最大值为98
C. x+ 2y的最小值为2
D.x2+4y2的最小值为92
【解析】选ABD.对于A,yx+3y=yx+x+2yy=yx+xy+2≥2 yx·xy+2=4,当且仅当x=y=1时取等号,故A正确;
对于B,xy=12·x·2y≤12×x+2y22=12×94=98,当且仅当x=2y,即x=32,y=34时取等号,故B正确;
对于C,( x+ 2y)2=x+2y+2 2xy≤3+2 2×98=3+3=6,则 x+ 2y≤ 6,当且仅当x=2y,即x=32,y=34时取等号,故C错误;
对于D,x2+4y2=(x+2y)2-4xy≥9-4×98=92,当且仅当x=32,y=34时取等号,故D正确.
13.(5分)若正实数a,b满足a+b+2=ab,则a+b-2的最小值为________;3a-1+7b-1的最小值是________.
【解题指南】将条件转化为a-1b-1=3后,由基本不等式求解.
【解析】由a+b+2=ab,得a=b+2b-1>0,所以b>1,同理可得a>1,所以b-1>0,a-1>0.
因为a+b+2=ab,所以a-1b-1=3,
所以a+b-2=a-1+b-1≥2a-1b-1=23,当且仅当a-1=b-1,即a=b=1+3时取等号.
又b-1=3a-1,所以3a-1+7b-1=b-1+7b-1≥2b-1·7b-1=27,当且仅当b-1=7b-1,即b=7+1时等号成立.
答案:23 27
【加练备选】
已知x+y=1,y>0,x>0,则12x+xy+1的最小值为____________.
【解析】将x+y=1代入12x+xy+1中,得x+y2x+xx+2y=12+y2x+11+2yx,设yx=t>0,则原式=1+t2+11+2t=2t2+3t+32(1+2t)=14·(1+2t)2+2t+1+41+2t=14[(1+2t)+41+2t+1]≥14×2(1+2t)·41+2t+14=54,当且仅当t=12,即x=23,y=13时,取“=”.
答案:54
14.(10分)(2024·深圳模拟)珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料,由于需求量大幅增加,某加工珍珠棉的公司经市场调研发现,若本季度在原材料上多投入x1