2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.观察如图每组图形，是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四个等式中，y不是x的函数的是( )
A. y=x2B. y=xC. y2=xD. y=1x
3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BCB. AB=AD，CB=CD
C. ∠A=∠C，∠B=∠DD. AB//CD，AB=CD
4.一次函数y=−12x+3图象经过点(a,2)，则a的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
6.函数y=ax−2与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是( )
A. x2=31B. (1+x)2=31
C. 1+x+x2=31D. 1+x+(1+x)2=31
8.南山区博物馆五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15(单位：岁)，则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是( )
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
9.已知二次函数y=(x−1)2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当−13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y110.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法错误的是( )
A. ∠BCE=∠ACDB. △ACD∽△BCE
C. 四边形ABCD面积的最大值为12D. AD//BC
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将正比例函数y=3x的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为______.
12.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们的周长比为______.
13.设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为______.
14.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−2,p)，B(4,q)两点，则不等式ax2−mx+c≤n的解集是______.
15.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD=58∘，则∠DHO的度数为______.
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0.下列四个结论：
①若抛物线经过点(−5,0)，则4a+b=0；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③若a>0，则方程ax2+bx+c=2一定有两个不相等的实数根；
④若A(x1,n)，B(x2,n)是抛物线上两点，当x=x1+x2时，则y=c.
其中正确的是______(填写序号).
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)3x(x−1)=x−1.
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，邻边AD，CD上的高相等，即BE=BF.求证：四边形ABCD是菱形.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1，BD=2，AC= 3，求证：∠ACD=∠ABC.
20.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数y的部分对应值如下表：
(1)求二次函数解析式及顶点坐标.
(2)点P为抛物线上一点，抛物线与x轴交于A、B两点，若S△PAB=12，求出此时点P的坐标.
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点．
(1)尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求DF的长．
22.(本小题10分)
4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生月阅读册数的中位数是______；
(2)求被调查的学生月平均阅读册数；
(3)若该中学有学生1000人，请估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的共有多少人？
23.(本小题10分)
某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的售价为x元时，销售量为y万件.要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元.经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x=21时，y=38；x=25时，y=30.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若某次销售刚好获得192万元的利润，则每件A型产品的售价是多少元？
24.(本小题10分)
已知四边形ABCD中，AB=8，E，F分别是AD，DC边上的点，BE⊥AF交于点G.
(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；
(2)如图2，若四边形ABCD是矩形，BC=10，BM平分∠ABC交AD于点M，交AF于点H.当E为AM的三等分点时，求HM的长.
(3)如图3，若AD=AB，BC=CD=6，∠ADC=90∘.请直接写出BEAF的值.
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l:y=kx−12k与抛物线C：y=x2.
(1)当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求k的值；
(2)若抛物线C向下平移t个单位后与直线l必有交点，求t的取值范围；
(3)设直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，其中点A在第二象限，过点A作x轴的垂线分别与抛物线y=−x2+k，直线OB交于点M，Q，求证：AQ=MQ.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
B.两图形形状相同，故是相似图形，符合题意；
C.两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
D.两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
故选：B.
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、y=x2中，y是x的函数，故此选项不合题意；
B、y=x中，y是x的函数，故此选项不合题意；
C、y2=x中，y不是x的函数，故此选项符合题意；
D、y=1x中，y是x的函数，故此选项不合题意；
故选：C.
利用函数概念可得答案．
此题主要考查了函数概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
3.【答案】B
【解析】解：A、AB//CD，AD//BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；
C、∠A=∠C，∠B=∠D能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、AB//CD，AB=CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据平行四边形的判定定理：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
4.【答案】C
【解析】解：∵一次函数函数y=−12x+3的图象经过点(a,2)，
∴2=−12a+3，
解得a=2.
故选：C.
把点(a,2)代入一次函数解析式，求出a的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B.
根据中点的定义和三角形中位线定理得，AD=2AE，AB=2OE，从而得出可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵在y=ax−2，
∴b=−2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
当a>0时，二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
当a<0时，二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选：A.
由题意分情况进行分析：当a>0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限；当a<0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限；据此判断即可．
本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
7.【答案】C
【解析】解：依题意得：1+x+x2=31.
故选：C.
根据在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵五位小讲解员的年龄分别为10，12，12，13，15岁，
∴该组数据的众数为12岁，
中位数为12(岁)，
平均数为15(10+12+12+13+15)=12.6(岁)，
方差为15[(10−12.6)2+(12−12.6)2++(12−12.6)2+(13−12.6)2+(15−12.6)2]
=2.68，
三年后这五位小讲解员的年龄数据13，15，15，16，18
∴该组数据的众数为15岁，
中位数为15(岁)，
平均数为15(13+15+15+16+18)=15.6(岁)，
方差为15[(13−15.6)2+(15−15.6)2++(15−15.6)2+(16−15.6)2+(18−15.6)2]
=2.68，
故选：A.
求出两组数据平均数，众数，中位数，方差，比较可得答案．
本题主要考查众数，中位数，平均数，方差，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2+2，
∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,2)，
∴当−13时，
观察图象可知：y2故选：B.
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，BC=1，
∴AB=AC= 22BC= 22，CD=DE= 22CE，
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45∘，
∵∠ACB=∠DCE=45∘，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，选项A不符合题意；
∵CDEC=ACBC= 22，
∴CDAC=CEBC，
∵∠BCE=∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，选项B不符合题意；
∴∠DAC=∠B=45∘，
∴∠DAC=∠BCA=45∘，
即AD//BC，选项D不符合题意；
∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值，
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由△ACD∽△BCE知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC= 22，AD=12，
故S梯形ABCD=12(1+12)×12=38，故选项C符合题意．
故选：C.
首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各选项是否正确．
本题考查的是相似三角形综合题，涉及到等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．
11.【答案】y=3x+3
【解析】解：将一次函数y=3x的图象沿y轴向上平移3个单位长度，平移后的直线表达式为y=3x+3，
∴平移后的直线对应的函数表达式为y=3x+3，
故答案为：y=3x+3.
根据一次函数图象的平移规律“上加下减”求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
12.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3.
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解．
本题考查对相似三角形性质的理解．(1)相似三角形周长的比等于相似比；(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
13.【答案】2023
【解析】解：∵m、n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，
∴m+n=−1，m2+m−2024=0，
∴m2+m=2024，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2024−1=2023.
故答案为：2023.
由于m、n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=−1，并且m2+m−2024=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，二元一次方程的解，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14.【答案】−2≤x≤4
【解析】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−2,p)，B(4,q)两点，
∴ax2+c≤mx+n的解集是−2≤x≤4.
∴不等式ax2−mx+c≤n的解集是−2≤x≤4.
故答案为：−2≤x≤4.
根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2−mx+c≤n的解集，本题得以解决．
本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】29∘
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB=AD，
∴∠BDA=∠ABD=12(180∘−58∘)=61∘，
∵DH⊥AB，
∴OH=OD=OB，∠ADH=90∘−58∘=32∘，
∴∠BDH=∠DHO=∠BDA−∠ADH=61∘−32∘=29∘.
故答案为：29∘.
根据菱形的性质求出∠BDA=∠ABD=65∘，再根据斜边中线等于斜边一半得出∠BDH=∠OHD=29∘即可．
本题主要考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，a+b+c=0，
∴(1,0)是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点(−3,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1+(−3)2=−1，
∴−b2a=−1，即b=2a，即①正确；
②若b=c，则二次函数y=cx2+bx+a的对称轴为直线：x=−b2c=−12，
且二次函数y=cx2+bx+a过点(1,0)，
∴1+m2=−12，解得m=−2，
∴y=cx2+bx+a与x轴的另一个交点为(−2,0)，即方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；故②正确；
③Δ=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且ca>1，
∴(1,0)在对称轴的左侧，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∴当x1y2.故④正确．
故答案为：①②④．
①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1+(−3)2=−1，即b=2a，即①正确；
②若b=c，则二次函数y=cx2+bx+a的对称轴为直线：x=−b2c=−12，则1+m2=−12，解得m=−2，即方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；故②正确；
③Δ=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，则当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且ca>1，则当x<1时，y随x的增大而减小，则当x1y2.故④正确．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．
17.【答案】解：(1)x2+4x−2=0，
x2+4x=2，
x2+4x+4=2+4，
(x+2)2=6，
x+2=± 6，
x1=−2+ 6，x2=−2− 6；
(2)3x(x−1)=x−1，
3x(x−1)−(x−1)=0，
(x−1)(3x−1)=0，
x−1=0或3x−1=0，
∴x1=1，x2=13.
【解析】(1)先移项，再利用配方法求解即可；
(2)先移项、然后提取公因式(x−1)，利用因式分解法解方程．
本题考查了一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BE，BF分别为邻边AD，CD上的高，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅BE=CD⋅BF，
∵BE=BF，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【解析】由平行四边形的面积得AD⋅BE=CD⋅BF，再证AD=CD，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AD=1，BD=2，AC= 3，
∴AB=3，
∴ACAB= 33，ADAC=1 3= 33，
∴ACAB=ADAC，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC.
【解析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，进而得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，(3,0)，
∴y=a(x+1)(x−3)，
把点(0,−3)代入得，−3=−3a，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点坐标为：(1,−4)；
(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵点P为抛物线上一点，S△PAB=12，
∴S△PAB=12AB⋅|yP|=12，
∴yP=±6，
∵抛物线y=x2−2x−3开口向上，顶点为(1,−4)，
∴y=−6不合题意，
把y=6代入y=x2−2x−3得，x2−2x−3=6，
解得x=1± 10，
∴点P的坐标为(1− 10,6)或(1+ 10,6).
【解析】(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
(2)利用三角形面积公式求得P点的纵坐标为6，把y=6代入函数解析式求得横坐标即可．
此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，利用待定系数法求得函数的解析式是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图，过点D作DF⊥AE即可；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90∘，
∵点E是BC的中点．
∴BE=12BC=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=5，
∵△ABE∽△DFA，
∴ADAE=DFAB，
∴65=DF4，
∴DF=245.
【解析】(1)过点D作DF⊥AE即可；
(2)根据相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查了相似变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出点F.
22.【答案】3
【解析】解：(1)把数据从小到大排列，中位数应为3，
故答案为：3；
(2)平均数为：1×5+2×14+3×14+4×10+5×750=3(册)；
(3)14+10+750×1000=620(人)，
答：四月份该校学生阅读课外书籍3本以上约有620人．
(1)根据中位数的概念求解；
(2)根据平均数的概念求解；
(3)用人数×平均数即可求解．
本题考查了平均数、中位数等知识，掌握平均数、中位数的概念是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=21时，y=38；x=25时，y=30；
∴21k+b=3825k+b=30，
解得k=−2b=80，
即y与x的函数关系式为y=−2x+80(20≤x≤30)；
(2)由题意可得，
(x−20)(−2x+80)=192，
解得x1=28，x2=32，
∵要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，
∴x=28，
答：每件A型产品的售价是28元．
【解析】(1)先设出y与x的函数关系式，然后根据当x=21时，y=38；x=25时，y=30；即可求得y与x的函数关系式；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的方程，然后求解，再根据要求每件A型产品的售价不低于20元且不高于30元，即可确定每件A型产品的售价．
本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的函数解析式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90∘，
∴∠AEB+∠ABE=90∘，
∵BE⊥AF，
∴∠AGE=90∘，
∴∠AEB+∠DAF=90∘，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADFAB=DA∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AE=DF；
(2)解：如图，作HI⊥AD于I，
∵四边形ABCD是矩形，BC=10，BM平分∠ABC，
∴∠BAE=∠AH=90∘，
∴∠ABM=∠CBM=∠AMB=45∘，∠AEB+∠ABE=90∘，
∴AM=AB=8，MI=HI，
∵BE⊥AF，
∴∠AGE=90∘，
∴∠AEB+∠IAH=90∘，
∴∠ABE=∠IAH，
∴△ABE∽△IAH，
设MI=HI=a，则AI=8−a，
∴当AE=13AM时，则AIHI=AMAE=3，
∴8−aa=3，
解得a=2，
∴MI=HI=2，
∴HM= 22+22=2 2；
当ME=13AM时，
则AE=23AM，AIHI=AMAE=32，
∴8−aa=32，
解得a=165，
∴MI=HI=165，
∴HM= (165)2+(165)2=16 25，
综上，HM=2 2或16 25；
(3)解：如图，连接AC，过点B作BP⊥AD于P，过点B作BQ⊥CD于Q，
∴∠BPD=∠PDQ=∠BQD=90∘，
∴四边形BPDQ是矩形，
∴BP=DQ，BQ=DP，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=CD,AC=AC
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠ABC=∠ADC=90∘，
∴∠DCB+∠BAD=360∘−90∘−90∘=180∘，
∵∠DCB+∠BCQ=180∘，
∴∠BAP=∠BCQ，
∴△BAP∽△BCQ，
∴APCQ=ABBC=86=43，
设CQ=3x，则AP=4x，BP=DQ=6+3x，
∵AP2+BP2=AB2，
∴(4x)2+(6+3x)2=82，
整理得25x2+36x−28=0，
解得x1=1425，x2=−2(舍去)，
∴BP=6+3×1425=19225，
∵BE⊥AF，BP⊥AD，
∴∠AGE=∠BPE=90∘，
∴∠DAF+∠AEB=∠PBE+∠AEB=90∘，
∴∠DAF=∠PBE，
又∵∠ADF=∠BPE=90∘，
∴△ADF∽△BPE，
∴BEAF=BPAD=19225÷8=2425.
【解析】(1)根据正方形的性质，得出AB=DA，∠BAE=∠ADF=90∘，推出∠ABE=∠DAF，利用ASA证明△ABE≌△DAF，即可得出AE=DF；
(2)作HI⊥AD于I，结合矩形的性质，证明△ABE∽△IAH，设MI=HI=a，则AI=8−a，分当AE=13AM时和当ME=13AM时两种情况讨论，根据AIHI=AMAE，求出MI、HI，根据勾股定理求出HM的长即可；
(3)连接AC，过点B作BP⊥AD于P，过点B作BQ⊥CD于Q，证明四边形BPDQ是矩形，得出BP=DQ，BQ=DP，利用SSS证明△ABC≌△ADC，得出∠ABC=∠ADC=90∘，推出△BAP∽△BCQ，APCQ=ABBC=86=43，设CQ=3x，则P=4x，BP=DQ=6+3x，根据勾股定理得出方程(4x)2+(6+3x)2=82求解，得到BP，推出△ADF∽△BPE，得出BEAF=BPAD，求解即可．
本题考查了相似型的综合应用，主要考查正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、分类讨论、数形结合是解题的关键．
25.【答案】(1)解：由题意得x2=kx−12k，即x2−kx+12k=0，
∵当直线l与抛物线C只有一个公共点时，则Δ=0，
∴Δ=k2−4×12k=k2−2k=k(k−2)=0，
∴k=0或k−2=0，
∴k的值为0或2；
(2)解：抛物线C向下平移t个单位后解析式为y=x2−t，
∵抛物线C向下平移t个单位后与直线l必有交点，
∴x2−t=kx−12k，
即x2−kx+12k−t=0，
∴Δ=k2−4(12k−t)=k2−2k+4t=k2−2k+1−1+4t=(k−1)2+4t−1，
∴Δ≥0，
∴4t−1≥0，
解得t≥14；
(3)证明：∵直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
∴x2=kx−12k，
即x2−kx+12k=0，
∴x=k± k2−2k2，
又∵点A在第二象限，
∴点A的横坐标=k− k2−2k2，点B的横坐标=k+ k2−2k2，
∴点B的纵坐标=(k+ k2−2k2)2，
设直线OB解析式为y=k1x，
∴k1×k+ k2−2k2=(k+ k2−2k2)2，
∴k1=k+ k2−2k2，
∴直线OB解析式为y=k+ k2−2k2x，
∵过点A作x轴垂线分别与抛物线y=−x2+k，直线OB交于点M，Q，
∴点A、M、Q的横坐标相同，
∴点A的纵坐标+点M的纵坐标=x2−x2+k=k，
∴点Q的纵坐标=k+ k2−2k2×k− k2−2k2=k2−( k2−2k)24=k2，
∴点A的纵坐标+点M的纵坐标=点Q的纵坐标×2，
∴点Q是AM的中点，
∴AQ=MQ.
【解析】(1)根据直线l与抛物线C只有一个公共点，得出方程x2=kx−12k，则Δ=k2−4×12k=k2−2k=k(k−2)=0，求出k的值即可；
(2)根据抛物线C向下平移t个单位后与直线l必有交点，得出解析式为y=x2−t，得出方程x2−t=kx−12k，则Δ=k2−4(12k−t)=k2−2k+4t=k2−2k+1−1+4t=(k−1)2+4t−1，Δ≥0，得出4t−1≥0，求出t的取值范围即可；
(3)根据直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，得出方程x2=kx−12k，求出x=k± k2−2k2，根据点A在第二象限，得出点A的横坐标=k− k2−2k2，点B的横坐标=k+ k2−2k2，则点B的纵坐标=(k+ k2−2k2)2，设直线OB解析式为y=k1x，求出k1=k+ k2−2k2，得到直线OB解析式为y=k+ k2−2k2x，推出点A、M、Q的横坐标相同，得出点A的纵坐标+点M的纵坐标=x2−x2+k=k，点Q的纵坐标=k2，可得点A的纵坐标+点M的纵坐标=点Q的纵坐标×2，推出点Q是AM的中点，即可证明AQ=MQ.
本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象的平移、一次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程，综合运用知识点推理证明是解题的关键．x
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月阅读册数(本)
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被调查的学生数(人)
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