2023-2024学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市长乐区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在▱ABCD中，∠B=30，则∠D的度数为( )
A. 30B. 60C. 70D. 150
2.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄(单位：岁)分别为：37，39，35，38，则这组数据的中位数是( )
A. 37B. 37.5C. 39D. 36
3.下列等式成立的是( )
A. 2+ 2=2 2B. 2× 2=4C. 2÷ 2=1D. (−2)2=−2
4.一元二次方程(x+2024)2=−1根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB=60∘，OB=8，则AB的长为( )
A. 4 5B. 8C. 4 3D. 16
6.若 24n是整数，则正整数n的最小值为( )
A. 4B. 6C. 12D. 24
7.在直角三角形中，如果有一个角是30∘，这个直角三角形的三边之比最有可能的是( )
A. 3：4：5B. 1：1： 2C. 5：12：13D. 1： 3：2
8.小明原来五次100米跑步成绩(单位：s)的平均数与方差分别为13.6，1.3，经过一段时间的训练后，再次对小明现在的五次100米跑步成绩进行统计分析，发现他的成绩比原来更快更稳定了，那么现在的平均数与方差可能是( )
A. 12.3，1.2B. 14.5，1.2C. 12.3，1.4D. 14.5，1.4
9.为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为y∼cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
那么课桌的高度y cm与椅子高度x cm之间的函数表达式为( )
A. y=1.6x+11B. y=1.5x+15C. y=1.5x+14.8D. y=1.6x+11.8
10.我国古代数学家赵爽(公元3∼4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程x2+2x−35=0，即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程(正根)的几何解法，则这个方程是( )
A. x2−3x−10=0B. x2+2x−8=0C. x2+4x−12=0D. x2+5x−6=0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算( 2024)2的结果是______.
12.若x1，x2是一元二次方程x2+x−6=0的两个根，则x1+x2的值是______.
13.八(1)班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票.根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量的是______.(填“平均数”“众数”或“中位数”)
14.命题“矩形的对角线相等”的逆命题是______.
15.如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为______m.
16.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,2−m)，则线段OP长的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 6÷ 2+3 13− 12.
18.(本小题8分)
解方程：x2−4x−1=0.
19.(本小题8分)
一根竹子高1丈，折断后顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺)
20.(本小题8分)
小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.从山脚出发后小西所走路程s(m)和所用时间t(min)之间的函数关系如图所示.(1)小西中途休息用了______min；上述过程中，小西所走的路程为______ m；
(2)若小西休息后爬山的平均速度是15m/min，求a的值.
21.(本小题8分)
某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格.经过试验发现，若每件按20元的价格销售时，每月能卖360件；若每件按25元价格销售时，每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)满足关系式为y=kx+b.
(1)求k与b的值；
(2)为了使每月该商品获得利润1920元，该商品应定为每件多少元？
22.(本小题10分)
科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.某校为弘扬科学精神，普及科学知识，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中，开展了科普知识竞赛.八(1)班的林老师对本班参加竞赛的同学的竞赛成绩进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
(1)八(1)班本次参加竞赛的同学共有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)八(1)班同学本次竞赛成绩的平均分是______分；
(4)八(1)班的小红同学请假未参加竞赛，返校后参加了补测，成绩为80分.加入她的成绩后，请你对八(1)班总体成绩的变化情况进行评价.(请从“众数”“中位数”“平均数”“方差”中任选两方面进行具体说明)
23.(本小题10分)
阅读下列材料并完成相应的任务.
任务：
(1)填空：材料中的依据是指______；
(2)将方法二的证明过程补充完整；
(3)如图4，在五边形ABCDE中，AE//CD，AB=AE=6，∠A=90，CD=4.F，G分别是边BC，DE的中点，则线段FG长的取值范围是______.
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+3分别交x轴，y轴于点A，B，直线l2：y=32x−2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，P是线段BD上的一动点，连接CP交OD于E.
(1)求BC的长；
(2)若S△BCP=52时，求证：P是BD的中点；
(3)若S△EOC=S△EPD，求直线CP的解析式.
25.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，点E在DP上，AE=AB，延长BE交CD于点F.
(1)求∠BED的度数；
(2)连接CE.
①当CE=CF时，求证：A，E，C三点在同一直线上；
②当CE⊥BF时，求BPPC的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B=30，
∴∠D=30∘，
故选：A.
根据平行四边形的对角相等即可求出∠D的度数．
本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：把这组数据从小到大排列为35，37，38，39，排在中间的两个数分别为37，38，所以这组数据的中位数为37+382=37.5，
故选：B.
根据中位数的定义进行解答，即可求出答案．
本题考查了中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：2与 2不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意；
2× 2=2，则B不符合题意；
2÷ 2=1，则C符合题意；
(−2)2=2，则D不符合题意；
故选：C.
利用二次根式的相关运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：因为(x+2024)2=−1，且−1没有平方根，
所以一元二次方程(x+2024)2=−1没有实数根．
故选：D.
利用直接开平方法即可解决问题．
本题主要考查了接一元二次方程-直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∵∠AOB=60∘，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=8，
故选：B.
根据矩形的性质得出OA=OC=OB=OD，由∠AOB=60∘得出△AOB是等边三角形，从而求出AB的长．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵ 24n= 4×6×n=2 6×n，
而 24n是整数，n为正数，
∴n为6的平方数倍，
∴正整数n的最小值为6×1=6.
故选：B.
先化简得到 24n=2 6×n，只有n为6的平方数倍时， 6n为整数，从而得到正整数n的最小值．
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式；关键是掌握二次根式的性质 a2=a(a≥0).
7.【答案】D
【解析】解：如图，设30∘角所对的直角边BC=a，
则AB=2BC=2a，
∴AC= AB2−BC2= 3a，
∴三边之比为a： 3a：2a=1： 3：2.
故选D.
设30∘角所对的直角边为a，根据30∘角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．
本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，勾股定理，是基础题，作出草图求解更形象直观．
8.【答案】A
【解析】解：小明的成绩比原来更快更稳定了，说明现在的平均数比原来小，方差比原来小，
故选：A.
根据算术平均数和方差的意义判断即可．
本题考查方差和算术平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9.【答案】A
【解析】解：设y与x的函数关系为y=kx+b，根据表格可得：
40k+b=7538k+b=71.8，
解得：k=1.6b=11，
所以可得：y=1.6x+11.
故选：A.
利用待定系数法求出一次函数的解析式．
本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：中间小正方形边长为(x+4)−x=4，其面积为42=16，
大正方形面积为(x+x+4)2=4x(x+4)+16=4×12+16=64，边长为8，
∴图2为：x(x+4)=12，
即x2+4x−12=0的几何解法，
故选：C.
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得出答案．
本题考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
11.【答案】2024
【解析】解：( 2024)2=2024，
故答案为：2024.
利用二次根式的性质即可求得答案．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−6=0的两个根，
∴x1+x2=−1.
故答案为：−1.
利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13.【答案】众数
【解析】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故答案为：众数．
根据众数的实际意义求解即可．
本题主要考查众数、算术平均数、中位数，解题的关键是掌握众数的意义．
14.【答案】如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
【解析】解：命题“矩形的对角线相等”的条件为“如果一个四边形是矩形”，结论为“那么这个四边形的对角线相等”．
则原命题的逆命题是“如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．
故答案为：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15.【答案】24
【解析】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120∘，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60∘，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2m，
同理可证：AF=EF=2m，
∴AB=BG+GF+AF=2×3=6(m)，
∴扩建后菱形区域的周长为6×4=24(m)，
故答案为：24.
根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2m，同理可证出AF=EF=2m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点P(m,2−m)，则线段OP长= m2+(2−m)2= 2(m−1)2+2，
当m=1时，OP的长最小，最小值为 2，
故答案为： 2.
根据勾股定理得出OP长的表达式，即可推出结果．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
17.【答案】解：原式= 3+ 9×13−2 3
= 3+ 3−2 3
=0.
【解析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：∵x2−4x−1=0，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，
∴(x−2)2=5，
∴x=2± 5，
∴x1=2+ 5，x2=2− 5.
【解析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19.【答案】解：如图，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为(10−x)尺，
由勾股定理得：x2+32=(10−x)2，
解得：x=4.55，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为(10−x)尺，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
20.【答案】5 450
【解析】解：(1)15−10=5(min)，
∴小西中途休息用了5min，上述过程中，小西所走的路程为450m.
故答案为：5，450.
(2)根据图象，得15(a−15)=450−300，
解得a=25，
∴a的值是25.
(1)根据图象直接作答即可；
(2)根据“速度×时间=路程”列方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得：20k+b=36025k+b=210，
解得：k=−30b=960，
∴k的值为−30，b的值为960；
(2)根据题意得：(x−16)(−30x+960)=1920，
整理得：x2−48x+576=0，
解得：x1=x2=24.
答：为了使每月该商品获得利润1920元，该商品应定为每件24元．
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出k与b的值；
(2)利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)代入给定数据，求出k，b的值；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】50 80
【解析】解：(1)12÷24%=50(人)，
故答案为：50；
(2)样本中“得分为70分”的学生人数为50×20%=10(人)，
样本中“得分为100分”的学生人数为50−5−10−19−12=4(人)，
补全条形统计图如下：
(3)八(1)班同学本次竞赛成绩的平均分是60×5+70×10+80×19+90×12+100×450=80(分)，
故答案为：80；
(4)根据题意得，小红加入前学生成绩的中位数是80分，小红加入后学生成绩的中位数还是80分，因此小红加入后中位数不变；
小红加入前学生成绩的众数是80分，小红加入后学生成绩的众数还是80分，因此小红加入后众数不变；
小红加入前学生成绩的平均数是80分，小红加入后学生成绩的平均数还是80分，因此小红加入后平均数不变；
小红加入前学生成绩的方差为5×(60−80)2+10×(70−80)2+19×(80−80)2+12×(90−80)2+4×(100−80)250=116，
小红加入后学生成绩的方差为5×(60−80)2+10×(70−80)2+20×(80−80)2+12×(90−80)2+4×(100−80)251≈113.7，
因此小红参加前后的方差发生变化．
(1)从两个统计图可知，样本中成绩为90分的有12人，占被调查人数的24%，由频率=频数总数进行计算即可求出被调查人数；
(2)求出样本中得分为70分的学生人数，得分是100分的学生人数，即可补全条形统计图；
(3)根据加权平均数的计算方法进行计算即可，
(4)分别求出加入前后学生成绩的中位数，众数，平均数以及方差即可得出答案．
本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差，掌握频率=频数总数，理解中位数、众数，平均数，方差的定义以及计算方法是正确解答的关键．
23.【答案】(1)三角形的中位线定理；
(2)证明：如图3，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF，
∵E，M分别是AD，AC的中点，
∴ME//CD，且ME=12CD，
同理MF//AB，且MF=12AB，
∵AB∴MF在△MEF中，ME−MF∴12(CD−AB)(3)3 2−2【解析】(1)解：材料中的依据是指：三角形的中位线定理，
故答案为：三角形的中位线定理；
(2)见答案；
(3)解：如图4，连接BE，
∵AB=AE=6，∠BAE=90∘，
∴BE= 2AB=6 2，
∵F是BC中点，G是DE中点，CD=4，
∴12(BE−CD)即3 2−2故答案为：3 2−2(1)根据题中证明过程即可完成填空；
(2)根据三角形的中位线定理得ME//CD，HME=12CD，MF//AB，且MF=12AB，然后利用三角形三边关系即可解决问题；
(3)如图4，连接BE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，然后结合(2)的结论即可解决问题．
本题主要考查了四边形综合题，熟练运用三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形三边的关系是本题解题的关键．
24.【答案】(1)解：将x=0代入y=−x+3得，
y=3，
所以点B的坐标为(0,3).
将x=0代入y=32x−2得，
y=−2，
所以点C的坐标为(0,−2)，
所以BC=3−(−2)=5，
即BC的长为5.
(2)证明：由−x+3=32x−2得，
x=2，
则y=−2+3=1，
所以点D的坐标为(2,1)，
则S△BCD=12×5×2=5.
因为S△BCP=52，
所以S△BCP=S△DCP，
所以BP=DP，
即P是BD的中点．
(3)解：因为S△EOC=S△EPD，
所以S△EOC+S四边形BOEP=S△EPD+S四边形BOEP，
即S△BPC=S△BOD.
因为S△BOD=12×3×2=3，
所以S△BPC=3，
则12×5×xP=3，
解得xP=65.
将x=65代入y=−x+3得，
y=95，
所以点P的坐标为(65,95).
令直线CP的解析式为y=kx+b，
则65k+b=95b=−2，
解得k=196b=−2，
所以直线CP的解析式为y=196x−2.
【解析】(1)分别求出点B和点C的坐标，即可得出BC的长．
(2)只需证明△BCP的面积与△DCP的面积相等即可解决问题．
(3)由△EOC与△EPD的面积相等，得出△BPC与△BOD的面积相等，进而可求出点P坐标，再结合点C坐标即可得出直线CP的解析式．
本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的图象与性质及待定系数法是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AD，∠BAD=90∘，
∵AE=AB，
∴AE=AD，∠ABE=∠AEB，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠BAD+∠ABE+∠BED+∠ADE=360∘，∠BED=∠AEB+∠AED，
∴90∘+2∠BED=360∘，
∴∠BED=135∘，
故∠BED的度数为135∘.
(2)①证明：∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD，
∴∠CFE=∠ABE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠AEB，
∵∠AEB+∠AEF=180∘，
∴∠CEF+∠AEF=180∘，
∴A，E，C三点共线，
②解：过点A作AG⊥BF于点G，则BG=GE，
∵CE⊥BF，
∴∠BEC=AGB=90∘，∠CBE+∠BCE=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，
∴∠ABG=∠CBE=90∘，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE(ASA)，
∴BG=CE，
∴BE=2CE，
∵∠BED=135∘，
∴∠BEP=45∘，
∵∠BEC=90∘，
∴∠BEP=∠CEP，
过点P分别作PM⊥BE于点M，PN⊥CN于点N，则PM=PN，
∵S△BPE：S△CPE=12BE⋅PM：12CE⋅PN，
∴BPPC=BECE=2.
故BPPC的长为2.
【解析】(1)四边形ABCD为正方形，AD=AD，∠BAD=90∘，由∠BAD+∠ABE+∠BED+∠ADE=360∘，∠BED=∠AEB+∠AED，得90∘+2∠BED=360∘，即可求解．
(2)①CE=CF，∠CEF=∠CFE，四边形ABCD为正方形，可得AB//CD，由∠ABE=∠AEB，∠CEF=∠CFE，得∠CEF=∠AEB，即可求证．
②过点A作AG⊥BF于点G，则BG=GE，CE⊥BF，得∠BEC=AGB=90∘，∠CBE+∠BCE=90∘，证明△ABG≌△BCE(ASA)，过点P分别作PM⊥BE于点M，PN⊥CN于点N，则PM=PN，即可求解．
本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的性质．第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
38.0
桌子高度y(cm)
75.0
71.8
四边形的中位线
我们学习过三角形的中位线，类似地，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线.如图1，在四边形ABCD中，设AB12(CD−AB)这个结论可以用下面的方法证明：
方法一：如图2，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG，DG，
∵E是AD的中点，
∴EF=12DG(依据)，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵∠BFA=∠CFG，
∴△AFB≌△GFC(SAS)，
∴AB=CG，
∵AB∴CD>CG，
在△CDG中，CD−CG∴CD−CG<2EF∴12(CD−AB)方法二：如图3，连接AC，取AC的中点M，连接ME，MF.