第62讲二项分布、超几何分布与正态分布--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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一、二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
二、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，
r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三、正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
考点1 二项分布
[名师点睛]
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
[典例]
(2022·武汉调研)为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为eq \f(3,5)，选择B组合的概率为eq \f(1,5)，选择C组合的概率为eq \f(1,5)，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.
(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；
(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.
解用Ai表示第i位同学选择A组合，用Bi表示第i位同学选择B组合，用Ci表示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3.
由题意可知，Ai，Bi，Ci互相独立，
且P(Ai)＝eq \f(3,5)，P(Bi)＝eq \f(1,5)，P(Ci)＝eq \f(1,5).
(1)三位同学恰好选择不同的组合共有Aeq \\al(3,3)＝6种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率P＝6×P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×eq \f(3,5)×eq \f(1,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(18,125).
(2)由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,5)))，
所以P(η＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(27,125)，
P(η＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(54,125)，
P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(1)＝eq \f(36,125)，
P(η＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(0)＝eq \f(8,125)，
所以η的分布列为
所以E(η)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5).
[举一反三]
1.(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq \f(2,3)，那么在本次运动会上：
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，
则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(20,27).
(2)由(1)可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列为
所以均值E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(8,27)＝2.
2.(2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．
(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；
(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．
解 (1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为eq \f(14,20)＝0.7.
(2)①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A，则P(A)＝Ceq \\al(1,3)×0.3×0.72＝0.441.
②因为X～B(3,0.7)，
所以E(X)＝3×0.7＝2.1，D(X)＝3×0.7×0.3＝0.63，eq \r(DX)≈0.8.
考点2 超几何分布
[名师点睛]
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
[典例]
2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接．据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录．如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生．
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值．
解 (1)设“所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员”为事件M，
则P(M)＝1－eq \f(C\\al(3,3)＋C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(6,7).
(2)女航天员人数X＝0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,3),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以X的分布列为
E(X)＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×3,7)＝eq \f(9,7).
[举一反三]
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).
解 (1)由已知，
有P(A)＝eq \f(Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(6,35).
所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,5)Ceq \\al(4－k,3),Ceq \\al(4,8))(k＝1，2，3，4).
故P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(0,3),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)＝1×eq \f(1,14)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(3,7)＋4×eq \f(1,14)＝eq \f(5,2).
考点3 正态分布
[名师点睛]
解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0
[典例]
(1)(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 D
解析对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．
(2)(2022·秦皇岛模拟)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝________.
答案 0.5
解析因为ξ～N(105，σ2)，
且P(ξ<120)＝0.75，
所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
[举一反三]
1.(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(04)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 A
解析由题意，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，
解得p＝0.3，则P(0所以P(Y>4)＝P(Y<0)＝0.5－P(02.(2022·深圳模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(ξP(ξ>a＋2)；
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξ如果只有一个假命题，则该命题为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 D
解析由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且，P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．
3.(2022·沈阳调研)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案 0.16 10
解析因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X＜82.5)＝eq \f(1－P（82.5≤X≤117.5）,2)≈eq \f(1－0.68,2)＝0.16.
又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X＞135)＝eq \f(1－P（65≤X≤135）,2)≈eq \f(1－0.96,2)＝0.02.
又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是eq \f(80,0.16)×0.02＝10.
4.(多选)(2021·青岛质检)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35
答案 ABD
解析对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；
对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；
对于选项D：P(280＜X＜320)＝P(μ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7×eq \f(1,2)≈0.341 35，正确.
η
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)