第64讲 用样本估计总体--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
2.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝
eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
考点1 百分位数
[名师点睛]
计算一组数据的第p百分位数的步骤
[典例]
1.如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )
A.－2 B.0 C.1 D.2
答案 D
解析 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，
因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是eq \f(2＋2,2)＝2.
2.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________.
答案 14.5 17
解析 ∵75%×20＝15，
∴第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.
∵86%×20＝17.2，
∴第86百分位数为第18个数据17.
[举一反三]
1.(多选)已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
答案 ABD
解析 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不正确，故选ABD.
2.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)
答案 124.44
解析 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%，
因此，80%分位数一定位于[120，130)内.
因为120＋eq \f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，
所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
考点2 总体的集中趋势估计
[名师点睛]
(1)众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.
(2)频率分布直方图的数字特征
①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
[典例]
1.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由.
解 (1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分).
甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分.
(2)由(1)知eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙＝85分，
所以seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋
(95－85)2]＝41.
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，所以甲的成绩较稳定；
④从数据来看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力.
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩.
2.首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
解 (1)由频率分布直方图的性质，
可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，
解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.
(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，
得分在130分以下的学生所占比例为
0．66＋0.014×20＝0.94，
所以第80百分位数位于[110,130)内，
由110＋20×eq \f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估计第80百分位数为120分．
(3)由图可得，众数估计值为100分．
平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．
[举一反三]
1.(2022·成都质检)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.乙射击的平均成绩比甲好
C.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D.甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数
答案 D
解析 由题意得，甲射击的平均成绩为eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6,7)＝8，众数为8，中位数为8；
乙射击的平均成绩为
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8,7)＝8，
众数为7，中位数为8；
故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数.
2.(多选)(2022·长沙模拟)某校高二年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组为：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.a＝0.045
B.这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160
C.这800名学生数学成绩的中位数约为121.4
D.这800名学生数学成绩的平均数为125
答案 BC
解析 由题意，(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A错误；
110分以下的人数为(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正确；
120分以下的频率是(0.01＋0.01＋0.025)×10＝0.45，设中位数为x，则eq \f(x－120,10)＝eq \f(0.005,0.035)，x≈121.4，C正确；
平均数为95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D错误.
考点3 总体离散程度的估计
[名师点睛]
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小.
[典例]
(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \x\t(x)和eq \x\t(y)，样本方差分别记为seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \x\t(y)－eq \x\t(x)≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表格中的数据易得eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝eq \r(\f(2,5)s\\al(2,1)＋s\\al(2,2))＝eq \r(0.030 4)，显然有eq \x\t(y)－eq \x\t(x)>2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
[举一反三]
(2022·蚌埠质检)某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲、乙两名学生的历次模拟测试成绩．
甲、乙两名学生测试成绩的平均数分别记作eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，方差分别记作seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2).
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)以这10次模拟测试成绩及(1)中的结果为参考，请你从甲、乙两名学生中选出一人代表班级参加比赛，并说明你作出选择的理由．
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.
(2)答案一：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)答案二：
由(1)可知，eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,1)甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
94
97
97
95
93
93
95
93
95
乙
92
94
93
94
95
94
96
97
97
98