第60讲 事件的相互独立性与条件概率--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.
考点1 相互独立事件的概率
[名师点睛]
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[典例]
1.(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[举一反三]
1.(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq \f(1,3)，投中壶耳的概率为eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为( )
A.eq \f(13,75) B.eq \f(3,75) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,75)
2.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
考点2 条件概率
[名师点睛]
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
[典例]
1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
2.(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
[举一反三]
1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
考点3 全概率公式的应用
[名师点睛]
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
[典例]
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
[举一反三]
1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21) C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
2.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．