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高考数学一轮复习全程复习构想·数学（理）【统考版】第二节 函数的单调性与最值（课件）
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这是一份高考数学一轮复习全程复习构想·数学（理）【统考版】第二节 函数的单调性与最值（课件），共57页。PPT课件主要包含了必备知识基础落实，关键能力考点突破，微专题，增函数，减函数，上升的，下降的，单调区间，f′x0，fx≤M等内容，欢迎下载使用。
·最新考纲·1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．
一、必记2个知识点1．函数的单调性(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当________时，f(x)在区间D上为增函数；当________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．[提醒] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
2．函数的最值[提醒] (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
(三)易错易混4．(忽视函数的定义域出错)函数f(x)＝ln (4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)
一题多变(变条件)若题2中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
反思感悟 由图象确定函数的单调区间需注意两点(1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
角度3 复合函数的单调区间3．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
反思感悟 复合函数单调性的确定方法若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
反思感悟 利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
反思感悟 利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合本节微专题理解)[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
角度3 解函数不等式[例3] 已知R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
反思感悟求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)
解析：根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2
名师点评 利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．
名师点评 在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
名师点评 在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．
·最新考纲·1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．
一、必记2个知识点1．函数的单调性(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当________时，f(x)在区间D上为增函数；当________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．[提醒] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
2．函数的最值[提醒] (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
(三)易错易混4．(忽视函数的定义域出错)函数f(x)＝ln (4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)
一题多变(变条件)若题2中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
反思感悟 由图象确定函数的单调区间需注意两点(1)单调区间必须是函数定义域的子集；(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
角度3 复合函数的单调区间3．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
反思感悟 复合函数单调性的确定方法若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
反思感悟 利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
反思感悟 利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合本节微专题理解)[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
角度3 解函数不等式[例3] 已知R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
反思感悟求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)
解析：根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2
名师点评 利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．
名师点评 在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
名师点评 在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．
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