2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式，共11页。试卷主要包含了理解同角三角函数的基本关系式等内容，欢迎下载使用。

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cs2α＝1，＝tan α.
2．掌握诱导公式并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 关系式sin2α＋cs2β＝1恒成立吗？
【问题2】 诱导公式可简记为奇变偶不变，符号看象限，“奇”与“偶”是什么意思？“变”与“不变”是什么意思？“符号看象限”指的是什么？
关键能力·题型剖析
题型一 诱导公式的应用
例 1 (1)的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2024·山东德州模拟]已知sin (＋x)＝，则cs (＋x)＝____________．
题后师说
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs (5π－α)＝cs (π－α)＝－cs α.
(3)用诱导公式求值时，要善于观察所给角与已知角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
巩固训练1
(1)[2024·江苏常州模拟]已知sin (－α)＝，则sin (＋α)＝( )
A． B．－ C．－ D．
(2)＝________．
题型二 同角三角函数的基本关系式的应用
角度一 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
例 2 [2024·江西吉安模拟]已知cs (＋α)＝－，且α是第四象限角，则cs (－3π＋α)的值为( )
A． B．－ C．± D．
题后师说
利用sin 2α＋cs 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．注意公式的逆用及变形应用．
巩固训练2
已知tan α＝2，π<α<，则cs α－sin α＝( )
A. B．－ C． D．－
角度二 弦切互化问题
例 3 (1)已知tan α＝2，则＝( )
A. B．
C． D．
(2)[2024·河北张家口模拟]已知sin α＝2sin (－α)，则sin2α－sinαcs α＝______．
题后师说
“弦化切”的两种常用的策略
巩固训练3
(1)[2024·安徽合肥模拟]已知＝2，则tan α＝( )
A． B．
C．－ D．－
(2)已知tan α＝－3，则＝________．
角度三 sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
例 4 [2024·河南荥阳模拟]已知sin α＋cs α＝.
(1)求sin α·cs α的值；
(2)若＜α＜π，求的值．
[听课记录]
题后师说
(1)对于三角函数式sin θ±cs θ，sin θ·cs θ之间的关系，可以通过(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θ·cs θ进行转化．
(2)若已知sin θ±cs θ，sin θ·cs θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cs θ的值，从而求出其余的三角函数值．
巩固训练4 已知α∈(0，)，且sin α＋cs α＝，则tan α的值为( )
A． B．－
C． D．－
1．化简＝( )
A． B．－
C．tanα D．
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
3．[2024·河北保定模拟]若α∈(π，)，且sin α＋cs α＝－，则sin α－cs α＝( )
A． B．－
C．± D．无法确定
4．[2023·全国乙卷]若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cs θ＝________．
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不恒成立．当角α和角β为同一个角时恒成立．
【问题2】 提示：“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k是偶数，则函数的名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)原式＝＝－1.故选B.
(2)cs (＋x)＝cs (π＋＋x)＝－cs (＋x)＝－sin (＋x)＝－sin (＋x)＝－.
答案：(1)B (2)－
巩固训练1 解析：(1)sin (＋α)＝sin ＝sin (－α)＝，故选A.
(2)因为tan (－150°)＝tan (30°－180°)＝tan 30°，cs (－570°)＝cs 570°＝cs (30°＋540°)＝－cs 30°，
cs (－1 140°)＝cs 1 140°＝cs (60°＋1 080°)＝cs 60°，
tan (－210°)＝－tan 210°＝－tan (30°＋180°)＝－tan 30°，
sin (－690°)＝sin (30°－720°)＝sin 30°，
所以
＝
＝＝cs 30°＝.
答案：(1)A (2)
例2 解析：∵cs (＋α)＝－，
∴sin α＝－.由α是第四象限角，
∴cs (－3π＋α)＝－cs α＝－＝－.故选B.
答案：B
巩固训练2 解析：因为tanα＝＝2，且sin 2α＋cs 2α＝1，π<α<，
所以sin α＝－，cs α＝－，
所以cs α－sin α＝－－(－)＝.故选A.
答案：A
例3 解析：(1)因为tan α＝2，所以cs α≠0.
所以＝＝＝＝.故选C.
(2)由题知sin α＝2sin (－α)，即sin α＝2cs α，
∴tan α＝2，且cs α≠0，
∴sin2α－sinαcs α＝
＝＝＝.
答案：(1)C (2)
巩固训练3 解析：(1)因为＝2，
所以cs α＋2sin α＝2，且cs α≠0，
所以cs2α＋4sinαcs α＋4sin2α＝4，
即4sinαcs α＝3cs2α，csα≠0，
所以tan α＝.故选B.
(2)因为tan α＝－3，所以＝＝＝＝.
答案：(1)B (2)
例4 解析：(1)(sinα＋cs α)2＝＝1＋2sin αcs α，
∴sin αcs α＝－.
(2)原式＝＝，
∵(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝1－2·(－)＝，
又∵α∈(，π)，∴cs α<0，sin α>0，cs α－sin α<0，
∴cs α－sin α＝－，
∴原式＝＝.
巩固训练4 解析：由sin α＋cs α＝，两边平方得sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝，
因为sin2α＋cs2α＝1，所以2sinαcs α＝，
又(sin α－cs α)2＝sin2α＋cs2α－2sinαcs α＝1－＝，
又因为α∈(0，)，所以sin α联立sin α－cs α＝－与sin α＋cs α＝，
求得sin α＝，cs α＝，故tan α＝＝.故选C.
答案：C
随堂检测
1．解析：＝＝＝tan α，故选C.
答案：C
2．解析：将式子进行齐次化处理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝＝＝＝.故选C.
答案：C
3．解析：α∈(π，)，所以sin α<0，cs α<0，
由
消去cs α并化简得sin2α＋sinα＋＝0，即(sin α＋)(sin α＋)＝0，
所以解得或，
所以sin α－cs α＝或sin α－cs α＝－.故选C.
答案：C
4．解析：由
，且θ∈，解得，故sin θ－cs θ＝－.
答案：－