2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式，共11页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式．，故选A等内容，欢迎下载使用。

1.会推导两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式．
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】 请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcs α＝________；sin2α＝________；cs2α＝________．
(2)升幂公式：1±sin2α＝________；1＋cs 2α＝________；1－cs 2α＝________．
关键能力·题型剖析
题型一 公式的直接应用
例 1 (1)[2024·河南新乡模拟]已知cs (α－β)＝，cs αcs β＝，则cs (α＋β)＝( )
A．－ B． C．－ D．
(2)[2024·河北张家口模拟]已知tan (α＋)＝－2，则cs 2α的值为( )
A． B．－ C．－ D．
题后师说
(1)熟记公式的结构特征和符号变化规律是应用公式求值的关键．
(2)应用公式求值时，应注意与诱导公式、同角三角函数的基本关系式相结合．
巩固训练1
(1)[2024·山西朔州模拟]已知α为锐角，且sin (α＋)＝sin (α－)，则tan α＝( )
A. B．2＋ C． D．
(2)[2024·福建泉州模拟]已知2sin 2α＝1＋cs 2α，α∈(－)，则tan α＝( )
A．－2 B．－ C． D．2
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是( )
A．cs 82°sin 52°＋sin 82°cs 128°＝－
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cs215°－sin215°＝
D．＝
(2)已知2cs2α－sin2α＝sinαcs α，则cs (2α＋)＝______．
题后师说
(1)逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)降幂扩角公式通常可以将二次式转化为一次式，同时对应的角扩大为原来的2倍，通过这种次数的降低、角的扩大，达到化简与求值的目的．
(3)两角和与差的正切公式及其变形将tan (α±β)，tan α±tan β，tan αtan β三者联系在一起，已知其中的两个或两个之间的关系，即可求出另外一个的值．
巩固训练2
(1)α＋β＝－(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则1－tan α－tan β＋tan αtan β＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
(2)已知2cs α－1＝2sin α，则cs (2α＋)＝______．
题型三 变换求值
角度一 角的变换
例 3 [2024·安徽滁州模拟]已知sin α＝，cs (α－β)＝，且0<α<，0<β<，则sin β＝( )
A． B．
C． D．或－
题后师说
利用角的变换求三角函数值的策略
角度二 三角函数名的变换
例 4 [2024·山东济宁模拟]已知cs (α＋)＝，则sin (2α－)＝( )
A. － B． C. － D．
题后师说
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
巩固训练3
(1)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知sin (x＋)＝－，则cs (－2x)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)[2024·广东汕头模拟]已知α，β为锐角，tan (α＋β)＝－，cs β＝，则sin α＝________．
1．[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A． B． C． D．
2．[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2cs (α＋)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
3．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cs αsin β＝，则cs (2α＋2β)＝( )
A． B． C．－ D．－
4．[2024·河北秦皇岛模拟]已知α∈(0，)，sin (α－)＝，则cs 2α＝____________．
第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
及二倍角公式
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z.
如题图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cs α，sin α)，A1(cs β，sin β)，P(cs (α－β)，sin (α－β))．
连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合．根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而＝，所以AP＝A1P1.
根据两点间的距离公式，得[cs (α－β)－1]2＋sin2(α－β)
＝(csα－cs β)2＋(sin α－sin β)2，
化简得cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β.
当α＝2kπ＋β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．所以，对于任意角α，β有cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β.
【问题2】 提示：(1)sin 2α
(2)(sin α±cs α)2 2cs2α 2sin2α
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)由cs(α－β)＝，可得cs αcs β＋sin αsin β＝，因为cs αcs β＝，可得sin αsin β＝，又因为cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝＝.故选B.
(2)由题意得，tan (α＋)＝tan (α＋)＝＝－2，解得tan α＝3，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝＝＝＝－.故选C.
答案：(1)B (2)C
巩固训练1 解析：(1)因为sin(α＋)＝sin (α－)，所以sin α＋cs α＝sin α－cs α，
所以(＋1)cs α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
故选B.
(2)因为2sin 2α＝1＋cs 2α，所以4sin αcs α＝2cs2α，
因为α∈(－)，所以csα>0，所以2sin α＝cs α，则tan α＝＝.故选C.
答案：(1)B (2)C
例2 解析：(1)cs 82°sin 52°＋sin 82°cs 128°
＝cs 82°sin 52°＋sin 82°cs (180°－52°)
＝cs 82°sin 52°－sin 82°cs 52°
＝sin (52°－82°)＝－sin 30°＝－，所以A选项正确；
sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cs 15°＝sin 30°＝，B选项正确；
cs215°－sin215°＝cs30°＝，C选项正确；
＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，D选项错误．故选D.
(2)因为2cs2α－sin2α＝sinαcs α，∴1＋cs 2α－＝sin 2α，
∴3cs 2α－sin 2α＝－1，则2(cs 2αcs －sin 2αsin )＝－1，即cs (2α＋)＝－.
答案：(1)D (2)－
巩固训练2 解析：(1)因为α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1.
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)．
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故选A.
(2)∵2cs α－1＝2sin α，∴2cs α－2sin α＝1，
所以4(cs α－sin α)＝1，
∴cs (α＋)＝，
所以cs (2α＋)＝2cs2(α＋)－1＝－.
答案：(1)A (2)－
例3 解析：因为sinα＝<且0<α<，所以0<α<，
所以cs α＝＝，
又0<β<，所以－<α－β<，又cs(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝±＝±.
当sin(α－β)＝时，
sin β＝sin ＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)＝＝－，
因为0<β<，所以sin β>0，所以sin β＝－不合题意，舍去；
当sin (α－β)＝－，
sin β＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)
＝×(－)＝，符合题意；
综上所述sin β＝.故选B.
答案：B
例4 解析：sin (2α－)＝sin ＝－cs 2(α＋)＝1－2cs2(α＋)＝1－2×＝.故选D.
答案：D
巩固训练3 解析：(1)因为sin(x＋)＝－，所以cs (－2x)＝－cs (π－＋2x)＝－cs (＋2x)＝－＝－＝－.故选A.
(2)因为α，β为锐角，且tan(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈(，π)，
sin β＝＝，
sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cs β－sin βcs (α＋β)
＝×(－)＝.
答案：(1)A (2)
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1．解析：因为α∈(0，)，所以tan 2α＝＝⇒＝⇒2cs2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cs2α－1＝4sinα⇒sin α＝⇒tan α＝.
答案：A
2．解析：方法一 设β＝0，则sin α＋cs α＝0，即tan α＝－1.取α＝，排除A，B.设α＝0，则sin β＋cs β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝，排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2·cs (α＋)sin β，所以sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2sin β(cs α－sin α)＝2sin βcs α－2sin αsin β，所以cs αcs β＋sin αsin β＝－sin αcs β＋sin βcs α，所以cs (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
答案：C
3．解析：依题意，得，所以sin αcs β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝＝，所以cs (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
答案：B
4．解析：cs2α＝sin (－2α)＝－sin (2α－)＝－2sin (α－)cs (α－)．
由α∈(0，)，sin (α－)＝，则0<α－<，故cs (α－)＝，所以cs 2α＝－.
答案：－