备考2024届高考数学一轮复习强化训练第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦余弦正切公式与二倍角公式

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A.－2B.－1C.33D.2
解析 因为tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的两个实数根，
所以tan（α＋β）＋tan（α－β）＝－4，tan（α＋β）·tan（α－β）＝－3，所以sin2αcs2β＝sin[(α＋β）＋（α－β)]cs[(α＋β）－（α－β)]＝sin（α＋β）cs（α－β）＋cs（α＋β）sin（α－β）cs（α＋β）cs（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1+tan（α＋β）·tan（α－β）＝－41+(－3）＝2.
2.[命题点1/2023河北沧州部分学校联考]1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作图作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cs（π－α）cs 2αcs 4αcs 8α的值为 116 .
解析 cs（π－α）cs 2αcs 4αcs 8α＝－sin2α2sinα·sin4α2sin2α·sin8α2sin4α·sin16α2sin8α＝－sin16α16sinα，易知α＝2π17，所以cs（π－α）·cs 2αcs 4αcs 8α＝－sin32π1716sin2π17＝－sin（2π－2π17）16sin2π17＝sin2π1716sin2π17＝116.
3.[命题点2]已知sin 2α＝23，则cs2（α＋π4）＝（ A ）
A.16B.13C.12D.23
解析 解法一 cs2（α＋π4）＝12[1＋cs（2α＋π2）]＝12（1－sin 2α）＝16.
解法二 cs（α＋π4）＝22cs α－22sin α，所以cs2（α＋π4）＝12（cs α－sin α）2＝
12（1－2sin αcs α）＝12（1－sin 2α）＝16.
4.[命题点3]已知角α，β∈（0，π），cs α＝－33，sin（α＋β）＝14，则tan β＝ 162－31513 .
解析 因为α，β∈（0，π），cs α＝－33，sin（α＋β）＝14，所以α∈（π2，π），α＋β∈（π2，π），可得sin α＝63，cs（α＋β）＝－154，所以tan α＝－2，tan（α＋β）＝
－1515.tan β＝tan[（α＋β）－α]＝tan（α＋β）－tanα1+tan（α＋β）·tanα＝－1515＋21+1515×2＝162－31513.
5.[命题点3/2023乌鲁木齐质监]已知3sin α＋cs α＝23，则cs（2π3－2α）＝（ B ）
A.－1718B.－89C.89D.1718
解析 3sin α＋cs α＝2sin（α＋π6）＝23，设θ1＝α＋π6，则sin θ1＝26，设θ2＝2π3－
2α，则θ2＝π－2θ1，所以cs θ2＝cs（π－2θ1）＝－cs 2θ1＝2sin2θ1－1＝－89，故选B.