第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增，
又，所以在内存在一个零点，使.
故选：C.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.
【详解】依题意，，而且，
所以.
故选：D
3．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增B．函数值域为
C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，
所以函数的值域为，故B正确；
，，
所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：C.
4．函数的部分图象大致为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案.
【详解】由，得，则的定义域是，排除B；
由，
得，
所以函数是奇函数，排除C；
，排除D.
故选：A．
5．若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
6．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由的单调性和最值可证明，再构造，由的单调性和最值可证明，即可得出答案.
【详解】令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故.
令，则.
当时，，单调递减，
则，即.
故.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数，和即可得出答案.
8．已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（ ）
A．为奇函数B．为奇函数C．D．
【答案】D
【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出；B选项，由得，故B错误；D选项，计算出，，故，结合函数的周期得到答案.
【详解】A选项，因为，所以，
又，则有，
因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，
所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数.
因为且. 所以，
所以为偶函数. 故A错误，
C选项，由是奇函数，则，
因为，所以，
又，是周期为4的周期函数，
故，
所以，所以C错误；
B选项，由得，故不是奇函数，所以B错误；
D选项，因为，所以，
.
所以，
所以，所以D选项正确
故选：D
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
10．已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．
【答案】AC
【分析】由得出的图象关于点对称，由和得出可判断A；由和可判断B；根据的定义域均为和图象关于点对称可判断C；记，，，结合选项A知数列和数列均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.
【详解】，
的图象关于点对称，即，
对于A，，①，
，②，
②-①得，故A正确；
对于B，，③，
④，
③-④得，的图象关于点对称，故B错误；
对于C，的定义域为且图象关于点对称，，故C正确；
对于D，的定义域为且图象关于点对称，，
由②知，当时，，，
当时，，，
，，，
记，，，
由选项A知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，，
，故D错误.
故选：AC.
11．著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导．根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A．
B．的图象关于轴对称
C．的图象关于轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在的图象上
【答案】BCD
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.
【详解】对于A，当，时，，，，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
若是无理数，则是无理数，所以，；
若是有理数，则是有理数，所以，；
所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，B正确；
对于C，由B可知，，所以，
故是偶函数，图象关于轴对称，C正确；
对于D，设， ，，
则，所以是等边三角形，
又因为，，，所以的顶点均在的图象上，D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若是偶函数，则实数 ．
【答案】
【分析】因为是偶函数，所以，据此即可求解,注意检验.
【详解】因为是偶函数，定义域为，
所以，所以，
所以，所以，此时，
满足题意.
故答案为：.
13．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将可看作由复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】设，则可看作由复合而成，
由于在上单调递增，
故要使得函数在区间上单调递减，
需满足在区间上恒成立，且在区间上单调递减，
故，解得，
故a的取值范围为，
故答案为：
14．已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，
可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为.
(1)求证：若，则；
(2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？
【答案】(1)证明见解析
(2)8个月
【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案；
（2）根据题意可得，求解指数不等式即可.
【详解】（1）证明：∵，∴.
∴.
由，得，∴.
（2）令，又，，
∴，即至少需要经过8个月．
16．已知指数函数的图象过点．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；
（2）首先求出的解析式，令， ，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由题意，设（，且），
∵的图象过点，
∴，解得，
故函数的解析式．
（2）∵，
∴，
令，因为，所以，
∴，，
函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，
则，即，解得，
故实数的取值范围为．
17．已知函数.
(1)求函数的定义域.
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数为非奇非偶函数，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；
（2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；
（3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到，
法一：转化为，令，求得，即可求解；
法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，
解得，所以函数的定义域为.
（2）解：因为的定义域为，不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数.
（3）解：由“对，不等式恒成立”，
可得，
当时，
由在上单调递减，，
根据题意得，对
法一：可转化为，
令，由在上单调递减得，可得，
实数的取值范围为.
法二：设函数，
①当，即时，在上单调递减，
可得，解得，则；
②当，即时，在上单调递增，
可得，解得，则；
③当，即时，在先减后增，
可得，解得，所以，
综上，实数的取值范围为.
18．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间的最小值；
(3)解关于的不等式：．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证；
(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；
(3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
令得，解得，
令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，
（2）任取，且，则.因为当时，，所以.
，即，所以在上单调递增，
所以在区间的最小值为，
因为，令得，
令，得，
在区间的最小值为，
（3）由，
得，
由得，
由在上单调递增得整理得，即，
当时，，解得；当时，，
当时，，，解集为，
当时，，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为．
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
19．已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．
(1)已知，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若满足性质，且定义域为．
已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；
若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．
【答案】(1)不满足，理由见解析
(2)，没有正整数解，理由见解析；在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可；
（2）通过可求得函数的解析式，先假设方程有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；任取，计算判断的正负即可证明．
【详解】（1）因为不恒成立，
所以不满足性质；
（2）当时，，
此时，
又当时，，所以，
所以，
假设方程有正整数解，
则，
要使上式能成立，则必有，，，
所以，
明显为单调递增函数，
又当时，，
当时，，
故方程没有正整数解；
证明：任取，则，
则，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
即
所以在上单调递增．
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对（1）问求解，然后结合新定义及函数的单调性从而可对（2）问进行求解.