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高中数学压轴题小题专项训练专题41圆锥曲线中满足条件的直线条数问题含解析答案
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这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题41圆锥曲线中满足条件的直线条数问题含解析答案，共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．经过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直线有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
6．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
7．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
8．给出以下命题，其中真命题的个数是
①若“或”是假命题，则“且”是真命题；
②命题“若，则或”为真命题；
③若，则！
④直线与双曲线交于,两点，若，则这样的直线有3条；
A．1B．2C．3D．4
9．直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点使得的面积等于，这样的点共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．直线y＝k（x＋）与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．0条
12．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
13．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有（ ）
A．4个B．1个C．2个D．3个
14．过点与抛物线只有一个交点的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
15．过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
16．直线与椭圆相交于、两点,该椭圆上点,使得的面积等于3．这样的点共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
18．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．0条
19．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．0B．2C．3D．4
20．已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是( )
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．弦长存在最大值，且最大值为4
D．弦长不存在最小值
21．已知直线与椭圆相交于两点，若该椭圆上点使的面积等于6，则这样的点共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多选题
22．下列四个结论，其中正确的为（ ）
A．动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线
B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条
C．双曲线与双曲线有相同的渐近线
D．点在圆内
23．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
24．已知圆：上有且只有三点到双曲线：的一条渐近线的距离为2，双曲线的焦距为10，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．直线：与双曲线的两支各有一个交点
C．双曲线与双曲线的渐近线方程不同
D．过点至少能作两条与双曲线有且只有一个交点的直线
25．已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．若，记，则
C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条
D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F
26．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ）
A．过点与只有一个公共点的直线有2条
B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
27．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
C．存在实数，使曲线C为双曲线，且离心率为
D．当时，过点且与双曲线C仅有一个公共点的直线有3条
28．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则的最小值为
D．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条
29．已知双曲线E：，则（ ）
A．E的焦距为6
B．E的虚轴长为
C．E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值
D．过点与E有且只有一个公共点的直线共有3条
30．已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积为2
C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条
D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点
31．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B．设点，则的最大值为
C．点到直线的最小距离为
D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为
32．已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A．最小值为
B．两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为，则
C．当轴时，
D．
三、填空题
33．设平面内到点和直线的距离相等的点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若直线与曲线相交于不同两点，，与圆相切于点，且为线段的中点．在的变化过程中，满足条件的直线有条，则的所有可能值为 ．
34．若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有 条.
35．过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线有 条．
36．已知双曲线，且，，依次成公比为的等比数列，则过焦点与相交所得弦长为的直线有 条.
37．过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出 条.
38．若直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有 条
39．过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有 条.
40．设抛物线，点(是常数)，过点作一直线，若与有且只有一个公共点，则这样的直线共有 条.
41．过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 条.
42．过抛物线上的点且与圆有且只有一个公共点的直线有 条．
43．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有___________条
44．过点与双曲线：有且只有一个公共点的直线共 条.
45．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
参考答案：
1．D
【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.
2．C
【分析】分直线斜率存在与不存在进行讨论，斜率存在时联立曲线借助计算即可得.
【详解】设过点的直线为，当该直线斜率不存在时，，则，
即其与抛物线有唯一公共点，符合要求；
当该直线斜率存在时，设，
联立有，即，
，因为，
故有两个不同的实数解，
即有两条不同的直线，与抛物线有且仅有一个公共点，
综上所述，共3条.
故选：C.
3．D
【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.
【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；
故可设，
与双曲线联立可得，
，
由弦长公式知，
则或.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
4．B
【详解】由题意得,=,
∴
∴到的距离,
设直线与直线平行,且与椭圆相切,方程为
把直线的方程代入椭圆的方程,得=,
由,解得.
故直线的方程为
∵=与直线的距离为=,
=与直线的距离为=,
故这样的点共2个.
故选B．
5．C
【分析】对直线与轴是否垂直、与双曲线左右支的交点情况分类讨论，即可判断出结论．
【详解】由双曲线，可得左焦点，顶点，
若轴，则，不符合题意，舍去；
若与轴不垂直，与的左支交于，两点，则，存在两条直线；
若与轴不垂直，与的左、右支各交于一个点，则只有，为顶点时满足，存在一条直线．
综上可得：满足条件的直线有3条，
故选：C．
6．C
【分析】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案.
【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
故选：C
7．D
【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可.
【详解】由题可设双曲线C的方程为（），
将点代入上式得：，
故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意，
综上，这样的直线共有3条.
故选：D.
8．C
【分析】根据复合命题真假判断，即可得出①是正确的；由四种命题关系即可判断②；根据乘积求导法则，即可求得；讨论直线与双曲线交点的不同情况，得到直线的数量．
【详解】①命题“或”是假命题，所以为真命题，是假命题．则“且”是真命题，所以①正确．
②命题“若，则或”的逆否命题为 “若且，则”，逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，所以②正确．
③
则
所以，所以③正确．
④直线经过双曲线的右焦点．当直线与双曲线两支各交于一点时，若k=0，此时,所以当斜率发生变化时，过右焦点会有两条直线（这两条直线关于x轴对称）满足．
当直线交双曲线右支于两个点时，若直线与x轴垂直，此时两交点的距离为5，而此时斜率不存在，所以满足条件的直线有2条．因而④是错误的．
所以有3个是正确的，选C．
【点睛】本题考查了逻辑连接词、命题的简单应用，导数的运算法则，直线与圆锥曲线的位置关系，知识点综合性强，属于难题．
9．B
【分析】联立直线与椭圆方程，得、，得，结合的面积等于，可得到的距离为为，然后求出与已知直线平行，且与椭圆相切的直线与，算出两条直线中一条与椭圆有两个交点而另一条与椭圆无交点，由此即可得到使的面积等于的点个数，即可求得答案.
【详解】联立直线直线与椭圆，
得或，
直线与椭圆的交点为和，
可得
设点到的距离为，
则，即
解之得
设平行于直线与椭圆相切的直线为
联立与椭圆
即： 联立消去
可得：
可得
由此可得两条平行于直线的切线分别为：
和
与直线的距离
与直线的距离
与中，与椭圆相交，有两个交点，而与椭圆相离，没有交点.
有个点使的面积等于，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和点到直线的距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
10．D
【详解】试题分析：联立方程，即，当时，，满足题意；当时，△=0得k有两解，则k的不同取值有4个
考点：直线与圆锥曲线的关系
11．B
【分析】过的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.
【详解】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，与联立得，
当时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.
故满足题意的直线有2条.
故选：B
12．B
【分析】直线与双曲线只有一个公共点,分直线与双曲线渐近线平行时与双曲线交于一点，以及直线与双曲线切于一点两种情况，分别
【详解】
如图，根据双曲线的方程可知，该双曲线为等轴双曲线，因此点在一条渐近线上，
因此过点的直线与双曲线只有一个公共点，分两种情况：
(1)直线与另一条渐近线平行，此时直线方程为
(2)直线与双曲线相切，设该直线斜率为，则直线方程为,联立直线方程与双曲线方程,整理得：，
令,解得或,因为，所以当且仅当时，直线与双曲线相切.
因此综上，满足条件的直线有2条
故选：B.
13．C
【解析】根据内切圆的周长等于，可得其内切圆的半径，再根据椭圆的定义可求得的周长，用面积相等法可得的纵坐标，根据的纵坐标与椭圆方程即可求得满足条件的点的个数得选项.
【详解】由椭圆方程得,.
设的内切圆的半径为，所以的内切圆的周长为，
所以，，
又因为，所以，
所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点.
故选：C.
14．C
【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．
【详解】解：由题意可知点在抛物线外
故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：
①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；
②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；
则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.
故选：C．
15．D
【分析】直线方程与双曲线方程联立消元后可得，根据二次项系数或且求得，可得直线条数.
【详解】设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为，
代入双曲线方程，消去整理得，
时, ，
时，，直线与渐近线平行也成立.
故过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，
故选D.
【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的几何性质，突出考查了数形结合、分类讨论思想的应用，意在考查方程思想以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
16．B
【分析】设出的坐标，表示出四边形面积，利用辅角公式整理化简，再利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得的最大值，利用判断出点不可能在直线的上方，进而推断出在直线的下方有两个点．
【详解】设，即点在第一象限的椭圆上，
考虑四边形面积，
，
∴．
∵为定值，
∴的最大值为．
∵，
∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
17．C
【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解.
【详解】当时，，所以，故点在双曲线上，
因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点，
设（且）
将其代入双曲线方程可得，化简得，
令，化简得，
解得，
故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
或者由得，
当时，，故，故处的切线斜率为，
故过点经过点的直线方程为，即，
联立与可得，解得，
因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点，
故选：C
18．C
【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得.
【详解】当直线斜率存在时，
设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为，
满足直线与抛物线仅有一个公共点，
当时，设直线的方程为，
代入抛物线的方程可得：，
有，解得，故切线方程为，
当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切，
故满足条件的直线方程有三条.
故选：C．
19．D
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，
化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故选:.
20．D
【分析】考虑两直线中一个斜率为0，一个斜率不存在，计算可判断A；设直线的斜率为，则直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，再将其中的换为，可得，再由，计算弦长之和，可判断B；考虑时，求得弦长，可判断；讨论弦的斜率是否存在，求得最小值，可判断．
【详解】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；
当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程消去得，设，，由韦达定理知：，，所以，同理，特别地当时，，即，则正确 ；
由，故当时，取到最大值，则C正确；
由，但当弦的斜率不存在时，，故存在最小值，故D选项不对.
故选:D．
21．B
【分析】联立直线与椭圆方程求出，结合三角形面积公式求出点P到直线AB的距离d，设与直线平行且与椭圆相切的直线，联立椭圆方程，利用求出m的值，根据题意和平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】由题意知，
，解得或，
所以直线与椭圆的交点为，
得，设点P到直线AB的距离为d，
则，即，解得，
设与平行且与椭圆相切的直线为，
得，消去y，得，
由，得，解得，
所以切线方程，切线方程，
所以直线与直线的距离为，
直线与直线的距离为，
所以过点P且与平行的直线，与椭圆相交，有两个交点，
过点P且与平行的直线，不满足题意，
故有两个P点使的面积等于6.
故选：B
22．BD
【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可.
【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误；
对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条，
一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确；
对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误；
对于D，因为，所以点在圆内，故D正确.
故选：BD
23．AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
24．AD
【分析】求得圆的圆心和半径，由题意可得圆心到渐近线的距离为2，求得，可得离心率，可判断A；直线与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线有且只有一个公共点可判断B；求出双曲线的渐近线方程可判断C；考虑过点的直线与渐近线平行可判断D.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为5．
因为圆上有且只有三点到双曲线的一条渐近线的距离为2，
则圆心到直线的距离，所以，
解得．易知，得．双曲线的离心率为，A正确；
直线与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线有且只有一个公共点，B错误；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，C错误；
双曲线的标准方程为，因为，所以点不在双曲线上，
所以过点作与双曲线的两条渐近线都平行的直线，
这两条直线都与双曲线只有一个公共点，D正确．
故选：AD.
25．ABD
【分析】对于A，由抛物线的定义即可判定；对于BC，利用直线与抛物线的位置关系即可判定；对于D，由抛物线的性质即可判定.
【详解】
如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A，
对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确；
对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点，
则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P，
都有，故，所以B正确；
对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确；
对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确.
故选：ABD.
26．BCD
【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；
对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；
对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；
对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.
【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，
解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；
对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；
对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．
故选:BCD．
27．AB
【分析】根据圆的方程特征判断A，根据椭圆的方程特征列不等式求解的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断B，根据双曲线方程特征列不等式求的范围，再根据离心率列方程求解判断C，根据直线与双曲线的位置关系判断D.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为表示圆，正确；
对于B，若曲线C表示椭圆，则，解得的范围为，
所以“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，正确；
对于C，若曲线C为双曲线，则，解得或，
若离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即，无解，
故不存在这样的实数k，错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，其渐近线为，
设过点的直线为，当直线的斜率不存在时，，
因为，所以直线与双曲线C有两个交点，不合题意；
当直线的斜率存在时，设为即，
联立得
当即时，易知点在渐近线，
所以当时，直线与另一条渐近线平行，此时与曲线C只有一个公共点，
当即时，由题意，，
化简得，解得或（舍去），
综上，与双曲线仅有一个公共点的直线有1条切线和1条平行于渐近线，共2条，错误；
故选：AB
28．AB
【分析】A选项，根据焦点弦公式求出；B选项，当过点的直线斜率不存在时，不合要求，设过点的直线方程为，联立抛物线与直线，得到两根之和，两根之积，求出的中点，得到圆心和半径，求出到准线的距离等于半径，得到B正确；C选项，设，表达出，得到最小值；D选项，点在抛物线内部，故只有一个公共点的直线有1条.
【详解】A选项，由题意得，准线方程为，
根据焦点弦公式得，A正确；
B选项，当过点的直线斜率不存在时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设过点的直线方程为，
联立与得，，
则，
则，，
故，
故的中点，
，
故圆的半径为，
圆心到准线的距离为，
故以为直径的圆与准线相切，B正确；
C选项，设，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为9，
故的最小值为3，C错误；
D选项，如图，因为，所以点在抛物线内部，
故过点与抛物线有且只有一个公共点的直线只有1条，
即与轴垂直的直线，D错误.
故选：AB
29．AC
【分析】根据双曲线方程，得到，从而可判断出选项A和B的正误；
对于选项C，设出，求出双曲线的渐近线方程为，再直接求出到两渐近距离的乘积，再结合条件，即可判断出选项C的正误；
对于选项D，借助几何图形，再结合双曲线的性质，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为双曲线E：，所以，
对于选项A，因为焦距为，故选项A正确；
对于选项B，因为虚轴长为，故选项B错误；
对于选项C，双曲线E：的渐近线方程为，即或，
设，则E的两条渐近线的距离之积为，
又，整理得，所以为定值；
对于选项D，如图，由双曲线的性质知，当直线过且与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，
又双曲线的右顶点为，所以直线与双曲线只有一个交点，
当直线与渐近线不平行时，且斜率存在时，
设直线方程为，联立，
消得到，
由，
化简得到，得到，
综上，有4条直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误，
故选：AC.
30．AB
【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可.
【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确；
对B，因为，，则，
又，故，即，
故，故B正确；
对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有
与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误；
对D，设存在两点，为中点，则，
即，又，故，
，故，即.
由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点，
故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.
故选：AB
31．BCD
【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出的最大值，可判断B选项；设点，其中，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点到直线与点到轴距离之和的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设过点的直线为，若直线方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
联立可得，
若直线与抛物线相切，则，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；
对于B选项，如下图所示：
易知点，，
当且仅当点为射线与抛物线的交点时，等号成立，
故的最大值为，B对；
对于C选项，设点，其中，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，等号成立，故点到直线的最小距离为，C对；
对于D选项，如下图所示：
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，设交轴于点，
过点作直线的垂线，垂足为点，连接，
则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为点到直线的距离，
因此，，
故点到直线与点到轴距离之和的最小值为，D对.
故选：BCD.
32．ABC
【分析】对选项A，利用抛物线的焦半径公式转化求得最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对选项B，先找到是其中的一条公切线，分别在两个曲线上设切线方程，然后根据公切线定义，则设立的两个切线方程重合而建立方程，然后将方程转化为函数，研究该函数的零点即可；对选项C，先设动点（）的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可；对选项D，考虑轴时，进而建立目标函数（），通过求该函数的最小值就能说明
【详解】
对选项A，如图所示，易知，根据抛物线的焦半径公式可得：
故有：
，则有：
设点的坐标为：
则有：
令，则可得：
再次求导可得：
故在区间上单调递增
又
可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；
故
则
故
故选项A正确；
对选项B，不妨设外公切线分别与，（）切于点，
则曲线的切线为：
则曲线的切线为：
根据与表示同一直线，则有：
解得：
令（）
则有：
可得：在区间上单调递增；在区间上单调递减
则有：，，（注意：实际上取不到该点）
，因为，故
根据零点存在性定理可知：在区间上存在一个零点，即存在一条公切线；
当时，，则在函数的处的切线方程为：
联立
可得：，故此时与切于点，也满足
由图易知：当时，不可能存在公切线
综上可得：两曲线有且仅有2条公切线不妨取（）
则有：
又，可得：
在上单调递增，则有：
故选项B正确；
对选项C，当轴时，设（），则
则有：
记，则有：
令，解得：
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有：
故
故选项C正确；
对选项D， 不妨设（）上点，（）上点
则有：，
可得：
若轴时，（）
令 （）
则有：
易知：在区间上单调递增
可得：
令，下面证明：
可化简为
进而可化简为：
故在区间存在一个零点，令
则当时，，即在区间上单调递减；
当时，，即在区间上单调递增；
故
而
又
下面证明：
即证：
只需证明：
又：
故成立
从而，而且以上还仅仅考虑轴时的情况，故选项D错误
故答案选：ABC
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
33． 1,2,4
【分析】（1）根据题意知曲线的轨迹为抛物线，直接根据抛物线的定义求解即可；
（2）设出直线的方程 然后与抛物线的方程联立可得，再利用根与系数的关系求解.
【详解】（1）由抛物线定义知，曲线C是以（1，0）为焦点、为准线的抛物线，∴曲线C的方程为：；
（2）设直线
与方程联立可得
设，
则 中点点坐标为，
又若直线与圆相切于点，
由得，
， ，
又 ， ，而又圆心到直线的距离为半径，即，故：
当时，直线有4条；
当或时，直线有2条；
当时直线有1条；
故答案为：(1) (2) 1,2,4
【点睛】本题利用直线与抛物线进行联立，得出中点坐标，利用直线与圆相切得出切点与圆心连线与直线垂直得出所设变量的等量关系，利用判别式大于0得出半径的范围即可得解，注意斜率不存在时的直线符合题意.
34．3
【解析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．
【详解】（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，
（2）①当过点且直线抛物线的对称轴平行，即斜率为0时，显然与抛物线有且只有一个交点，
②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程 ，消得：，由已知有，则 ，解得：，即直线线方程为，
综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条
故答案为：3
35．4
【分析】设直线，与双曲线方程联立，根据交点只有一个求参数的取值，判断直线的个数.
【详解】设直线与双曲线方程联立
即 ，
当时，即时，此时方程只有一解，满足条件；
当时，
解得：，
当不存在时，不满足条件；
综上可知，满足条件的有或，共4条直线.
故答案为：4
【点睛】本题考查已知直线与双曲线的交点个数，判断满足条件的直线条数，意在考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题型.
36．
【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，通过最短弦长和对称性即可求解.
【详解】因为，，依次成公比为的等比数列，所以，，
所以的方程可化为，则，所以两焦点坐标分别为，，
由题意知过焦点的直线与双曲线交于同一支时，弦长最小时为直线垂直轴时，此时直线为，弦长为，
当直线与双曲线交于两支时，弦长最小时直线为，此时弦长最小为，
所以根据对称性可知过焦点与相交所得弦长为的直线有条.
故答案为：.
37．
【分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．
【详解】解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，
（2）①当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为时，显然与抛物线有且只有一个交点，
②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，
设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，
由已知有，则 ，解得，即直线方程为，
综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条
故答案为：3
38．
【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足条件．
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，
方程为，满足条件，此时满足条件的有一条直线；
当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，
也能满足与双曲线有且仅有一个公共点，此时满足条件的有两条直线；
综上，满足条件的直线共有3条．
故答案为：3
39．4
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故答案为：4．
40．2或3
【解析】当m=0时，数形结合，即可得答案；当时，若直线l的斜率不存在时，经检验满足题意，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，将直线方程与抛物线C联立，可得关于x的一元二次方程，根据有一个公共点，可得判别式，即可求得结果，综合即可得答案.
【详解】当m=0时，M（0,0），此时直线y=0与抛物线相切，有一个公共点，
直线x=0，即y轴，为抛物线的对称轴，与抛物线有一个公共点，
所以此时有2条直线满足题意；
当时，当直线l的斜率不存在时，直线x=m与抛物线有一个公共点，
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：，
与抛物线联立，可得，
因为有一个公共点，所以，解得或，
即l：y=0或，故有两条线满足题意，
所以此时共有3条直线满足条件.
故答案为：2或3
41．3
【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程.
【详解】双曲线的标准方程为，右焦点
设直线与双曲线交于，
当直线斜率不存在时，直线方程的方程为，
令，则，得，此时弦长为，符合题目；
当直线斜率存在时，设直线方程为
联立，可得，
，解得且
，
解得
综上，总共有三条直线符合条件
故答案为：3.
42．3
【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】由题意可知，，解得，则点或，
且圆的圆心，半径.
①当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，
此时直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，整理可得，解得，
所以直线方程为；
②当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，
此时直线方程为，即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，整理可得，解得，
所以直线方程为；
综上所述：直线方程为或或，共有3条.
故答案为：3.
43．4
【分析】根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当不存在斜率时，求出交点坐标，看是否符合题意，当直线存在斜率时，设出点斜式方程与双曲线联立，消元，得到方程，根据方程解的情况，得出正确答案
【详解】当直线不存在斜率时，直线方程为，显然与双曲线只有一个公式点；
当直线存在斜率时，设直线方程为，与双曲线方程联立，消得：
，
当时，即，方程有唯一实根，符合题意；
当时，即，方程有唯一实根，故，解得，故满足与有且只有一个公共点的直线共有4条.
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了分类思想.
44．4
【分析】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．
【详解】解；双曲线方程为2x2﹣y2＝2，化为标准形式：1，
当k不存在时，直线为x＝1，与1的图象有且只有一个公共点，
当k存在时，直线为：y＝k（x﹣1）+2，代入双曲线的方程可得：
（2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0，
（1）若2﹣k2＝0，k时，y＝（x﹣1）+2与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0
即k，此时直线y（x﹣1）+2与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（1，2）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．
故答案为4
【点睛】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与双曲线的位置关系，突出考查了双曲线的几何性质，属于中档题和易错题．
45． 和
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案．
【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，
整理得到，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件，
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和．
故答案为：；和.
一、单选题
1．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．经过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直线有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
6．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
7．设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
8．给出以下命题，其中真命题的个数是
①若“或”是假命题，则“且”是真命题；
②命题“若，则或”为真命题；
③若，则！
④直线与双曲线交于,两点，若，则这样的直线有3条；
A．1B．2C．3D．4
9．直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点使得的面积等于，这样的点共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．直线y＝k（x＋）与双曲线有且只有一个公共点，则k的不同取值有
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．0条
12．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
13．已知，分别是椭圆的左，右焦点，若P为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点P有（ ）
A．4个B．1个C．2个D．3个
14．过点与抛物线只有一个交点的直线有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
15．过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
16．直线与椭圆相交于、两点,该椭圆上点,使得的面积等于3．这样的点共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
18．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．0条
19．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条．
A．0B．2C．3D．4
20．已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是( )
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．弦长存在最大值，且最大值为4
D．弦长不存在最小值
21．已知直线与椭圆相交于两点，若该椭圆上点使的面积等于6，则这样的点共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、多选题
22．下列四个结论，其中正确的为（ ）
A．动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线
B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条
C．双曲线与双曲线有相同的渐近线
D．点在圆内
23．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
24．已知圆：上有且只有三点到双曲线：的一条渐近线的距离为2，双曲线的焦距为10，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．直线：与双曲线的两支各有一个交点
C．双曲线与双曲线的渐近线方程不同
D．过点至少能作两条与双曲线有且只有一个交点的直线
25．已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．若，记，则
C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条
D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F
26．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ）
A．过点与只有一个公共点的直线有2条
B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
27．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
C．存在实数，使曲线C为双曲线，且离心率为
D．当时，过点且与双曲线C仅有一个公共点的直线有3条
28．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则的最小值为
D．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条
29．已知双曲线E：，则（ ）
A．E的焦距为6
B．E的虚轴长为
C．E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值
D．过点与E有且只有一个公共点的直线共有3条
30．已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积为2
C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条
D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点
31．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B．设点，则的最大值为
C．点到直线的最小距离为
D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为
32．已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A．最小值为
B．两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为，则
C．当轴时，
D．
三、填空题
33．设平面内到点和直线的距离相等的点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若直线与曲线相交于不同两点，，与圆相切于点，且为线段的中点．在的变化过程中，满足条件的直线有条，则的所有可能值为 ．
34．若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有 条.
35．过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线有 条．
36．已知双曲线，且，，依次成公比为的等比数列，则过焦点与相交所得弦长为的直线有 条.
37．过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出 条.
38．若直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有 条
39．过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有 条.
40．设抛物线，点(是常数)，过点作一直线，若与有且只有一个公共点，则这样的直线共有 条.
41．过双曲线的右焦点且弦长为8的直线有 条.
42．过抛物线上的点且与圆有且只有一个公共点的直线有 条．
43．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有___________条
44．过点与双曲线：有且只有一个公共点的直线共 条.
45．过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
参考答案：
1．D
【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.
2．C
【分析】分直线斜率存在与不存在进行讨论，斜率存在时联立曲线借助计算即可得.
【详解】设过点的直线为，当该直线斜率不存在时，，则，
即其与抛物线有唯一公共点，符合要求；
当该直线斜率存在时，设，
联立有，即，
，因为，
故有两个不同的实数解，
即有两条不同的直线，与抛物线有且仅有一个公共点，
综上所述，共3条.
故选：C.
3．D
【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.
【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；
故可设，
与双曲线联立可得，
，
由弦长公式知，
则或.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
4．B
【详解】由题意得,=,
∴
∴到的距离,
设直线与直线平行,且与椭圆相切,方程为
把直线的方程代入椭圆的方程,得=,
由,解得.
故直线的方程为
∵=与直线的距离为=,
=与直线的距离为=,
故这样的点共2个.
故选B．
5．C
【分析】对直线与轴是否垂直、与双曲线左右支的交点情况分类讨论，即可判断出结论．
【详解】由双曲线，可得左焦点，顶点，
若轴，则，不符合题意，舍去；
若与轴不垂直，与的左支交于，两点，则，存在两条直线；
若与轴不垂直，与的左、右支各交于一个点，则只有，为顶点时满足，存在一条直线．
综上可得：满足条件的直线有3条，
故选：C．
6．C
【分析】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案.
【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
故选：C
7．D
【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可.
【详解】由题可设双曲线C的方程为（），
将点代入上式得：，
故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意，
综上，这样的直线共有3条.
故选：D.
8．C
【分析】根据复合命题真假判断，即可得出①是正确的；由四种命题关系即可判断②；根据乘积求导法则，即可求得；讨论直线与双曲线交点的不同情况，得到直线的数量．
【详解】①命题“或”是假命题，所以为真命题，是假命题．则“且”是真命题，所以①正确．
②命题“若，则或”的逆否命题为 “若且，则”，逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，所以②正确．
③
则
所以，所以③正确．
④直线经过双曲线的右焦点．当直线与双曲线两支各交于一点时，若k=0，此时,所以当斜率发生变化时，过右焦点会有两条直线（这两条直线关于x轴对称）满足．
当直线交双曲线右支于两个点时，若直线与x轴垂直，此时两交点的距离为5，而此时斜率不存在，所以满足条件的直线有2条．因而④是错误的．
所以有3个是正确的，选C．
【点睛】本题考查了逻辑连接词、命题的简单应用，导数的运算法则，直线与圆锥曲线的位置关系，知识点综合性强，属于难题．
9．B
【分析】联立直线与椭圆方程，得、，得，结合的面积等于，可得到的距离为为，然后求出与已知直线平行，且与椭圆相切的直线与，算出两条直线中一条与椭圆有两个交点而另一条与椭圆无交点，由此即可得到使的面积等于的点个数，即可求得答案.
【详解】联立直线直线与椭圆，
得或，
直线与椭圆的交点为和，
可得
设点到的距离为，
则，即
解之得
设平行于直线与椭圆相切的直线为
联立与椭圆
即： 联立消去
可得：
可得
由此可得两条平行于直线的切线分别为：
和
与直线的距离
与直线的距离
与中，与椭圆相交，有两个交点，而与椭圆相离，没有交点.
有个点使的面积等于，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和点到直线的距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
10．D
【详解】试题分析：联立方程，即，当时，，满足题意；当时，△=0得k有两解，则k的不同取值有4个
考点：直线与圆锥曲线的关系
11．B
【分析】过的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.
【详解】易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为，与联立得，
当时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.
故满足题意的直线有2条.
故选：B
12．B
【分析】直线与双曲线只有一个公共点,分直线与双曲线渐近线平行时与双曲线交于一点，以及直线与双曲线切于一点两种情况，分别
【详解】
如图，根据双曲线的方程可知，该双曲线为等轴双曲线，因此点在一条渐近线上，
因此过点的直线与双曲线只有一个公共点，分两种情况：
(1)直线与另一条渐近线平行，此时直线方程为
(2)直线与双曲线相切，设该直线斜率为，则直线方程为,联立直线方程与双曲线方程,整理得：，
令,解得或,因为，所以当且仅当时，直线与双曲线相切.
因此综上，满足条件的直线有2条
故选：B.
13．C
【解析】根据内切圆的周长等于，可得其内切圆的半径，再根据椭圆的定义可求得的周长，用面积相等法可得的纵坐标，根据的纵坐标与椭圆方程即可求得满足条件的点的个数得选项.
【详解】由椭圆方程得,.
设的内切圆的半径为，所以的内切圆的周长为，
所以，，
又因为，所以，
所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点.
故选：C.
14．C
【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．
【详解】解：由题意可知点在抛物线外
故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：
①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；
②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；
则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.
故选：C．
15．D
【分析】直线方程与双曲线方程联立消元后可得，根据二次项系数或且求得，可得直线条数.
【详解】设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为，
代入双曲线方程，消去整理得，
时, ，
时，，直线与渐近线平行也成立.
故过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，
故选D.
【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的几何性质，突出考查了数形结合、分类讨论思想的应用，意在考查方程思想以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
16．B
【分析】设出的坐标，表示出四边形面积，利用辅角公式整理化简，再利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得的最大值，利用判断出点不可能在直线的上方，进而推断出在直线的下方有两个点．
【详解】设，即点在第一象限的椭圆上，
考虑四边形面积，
，
∴．
∵为定值，
∴的最大值为．
∵，
∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
17．C
【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解.
【详解】当时，，所以，故点在双曲线上，
因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点，
设（且）
将其代入双曲线方程可得，化简得，
令，化简得，
解得，
故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
或者由得，
当时，，故，故处的切线斜率为，
故过点经过点的直线方程为，即，
联立与可得，解得，
因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点，
故选：C
18．C
【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得.
【详解】当直线斜率存在时，
设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为，
满足直线与抛物线仅有一个公共点，
当时，设直线的方程为，
代入抛物线的方程可得：，
有，解得，故切线方程为，
当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切，
故满足条件的直线方程有三条.
故选：C．
19．D
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，
化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故选:.
20．D
【分析】考虑两直线中一个斜率为0，一个斜率不存在，计算可判断A；设直线的斜率为，则直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，再将其中的换为，可得，再由，计算弦长之和，可判断B；考虑时，求得弦长，可判断；讨论弦的斜率是否存在，求得最小值，可判断．
【详解】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；
当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程消去得，设，，由韦达定理知：，，所以，同理，特别地当时，，即，则正确 ；
由，故当时，取到最大值，则C正确；
由，但当弦的斜率不存在时，，故存在最小值，故D选项不对.
故选:D．
21．B
【分析】联立直线与椭圆方程求出，结合三角形面积公式求出点P到直线AB的距离d，设与直线平行且与椭圆相切的直线，联立椭圆方程，利用求出m的值，根据题意和平行线之间的距离公式计算即可.
【详解】由题意知，
，解得或，
所以直线与椭圆的交点为，
得，设点P到直线AB的距离为d，
则，即，解得，
设与平行且与椭圆相切的直线为，
得，消去y，得，
由，得，解得，
所以切线方程，切线方程，
所以直线与直线的距离为，
直线与直线的距离为，
所以过点P且与平行的直线，与椭圆相交，有两个交点，
过点P且与平行的直线，不满足题意，
故有两个P点使的面积等于6.
故选：B
22．BD
【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可.
【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误；
对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条，
一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确；
对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误；
对于D，因为，所以点在圆内，故D正确.
故选：BD
23．AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
24．AD
【分析】求得圆的圆心和半径，由题意可得圆心到渐近线的距离为2，求得，可得离心率，可判断A；直线与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线有且只有一个公共点可判断B；求出双曲线的渐近线方程可判断C；考虑过点的直线与渐近线平行可判断D.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为5．
因为圆上有且只有三点到双曲线的一条渐近线的距离为2，
则圆心到直线的距离，所以，
解得．易知，得．双曲线的离心率为，A正确；
直线与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线有且只有一个公共点，B错误；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，C错误；
双曲线的标准方程为，因为，所以点不在双曲线上，
所以过点作与双曲线的两条渐近线都平行的直线，
这两条直线都与双曲线只有一个公共点，D正确．
故选：AD.
25．ABD
【分析】对于A，由抛物线的定义即可判定；对于BC，利用直线与抛物线的位置关系即可判定；对于D，由抛物线的性质即可判定.
【详解】
如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A，
对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确；
对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点，
则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P，
都有，故，所以B正确；
对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确；
对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确.
故选：ABD.
26．BCD
【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；
对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；
对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；
对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.
【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线的对称点为，则，
解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；
对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；
对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．
故选:BCD．
27．AB
【分析】根据圆的方程特征判断A，根据椭圆的方程特征列不等式求解的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断B，根据双曲线方程特征列不等式求的范围，再根据离心率列方程求解判断C，根据直线与双曲线的位置关系判断D.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为表示圆，正确；
对于B，若曲线C表示椭圆，则，解得的范围为，
所以“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，正确；
对于C，若曲线C为双曲线，则，解得或，
若离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即，无解，
故不存在这样的实数k，错误；
对于D，当时，曲线C的方程为，其渐近线为，
设过点的直线为，当直线的斜率不存在时，，
因为，所以直线与双曲线C有两个交点，不合题意；
当直线的斜率存在时，设为即，
联立得
当即时，易知点在渐近线，
所以当时，直线与另一条渐近线平行，此时与曲线C只有一个公共点，
当即时，由题意，，
化简得，解得或（舍去），
综上，与双曲线仅有一个公共点的直线有1条切线和1条平行于渐近线，共2条，错误；
故选：AB
28．AB
【分析】A选项，根据焦点弦公式求出；B选项，当过点的直线斜率不存在时，不合要求，设过点的直线方程为，联立抛物线与直线，得到两根之和，两根之积，求出的中点，得到圆心和半径，求出到准线的距离等于半径，得到B正确；C选项，设，表达出，得到最小值；D选项，点在抛物线内部，故只有一个公共点的直线有1条.
【详解】A选项，由题意得，准线方程为，
根据焦点弦公式得，A正确；
B选项，当过点的直线斜率不存在时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设过点的直线方程为，
联立与得，，
则，
则，，
故，
故的中点，
，
故圆的半径为，
圆心到准线的距离为，
故以为直径的圆与准线相切，B正确；
C选项，设，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为9，
故的最小值为3，C错误；
D选项，如图，因为，所以点在抛物线内部，
故过点与抛物线有且只有一个公共点的直线只有1条，
即与轴垂直的直线，D错误.
故选：AB
29．AC
【分析】根据双曲线方程，得到，从而可判断出选项A和B的正误；
对于选项C，设出，求出双曲线的渐近线方程为，再直接求出到两渐近距离的乘积，再结合条件，即可判断出选项C的正误；
对于选项D，借助几何图形，再结合双曲线的性质，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为双曲线E：，所以，
对于选项A，因为焦距为，故选项A正确；
对于选项B，因为虚轴长为，故选项B错误；
对于选项C，双曲线E：的渐近线方程为，即或，
设，则E的两条渐近线的距离之积为，
又，整理得，所以为定值；
对于选项D，如图，由双曲线的性质知，当直线过且与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，
又双曲线的右顶点为，所以直线与双曲线只有一个交点，
当直线与渐近线不平行时，且斜率存在时，
设直线方程为，联立，
消得到，
由，
化简得到，得到，
综上，有4条直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误，
故选：AC.
30．AB
【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可.
【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确；
对B，因为，，则，
又，故，即，
故，故B正确；
对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有
与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误；
对D，设存在两点，为中点，则，
即，又，故，
，故，即.
由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点，
故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.
故选：AB
31．BCD
【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出的最大值，可判断B选项；设点，其中，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点到直线与点到轴距离之和的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设过点的直线为，若直线方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
联立可得，
若直线与抛物线相切，则，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；
对于B选项，如下图所示：
易知点，，
当且仅当点为射线与抛物线的交点时，等号成立，
故的最大值为，B对；
对于C选项，设点，其中，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，等号成立，故点到直线的最小距离为，C对；
对于D选项，如下图所示：
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，设交轴于点，
过点作直线的垂线，垂足为点，连接，
则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为点到直线的距离，
因此，，
故点到直线与点到轴距离之和的最小值为，D对.
故选：BCD.
32．ABC
【分析】对选项A，利用抛物线的焦半径公式转化求得最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对选项B，先找到是其中的一条公切线，分别在两个曲线上设切线方程，然后根据公切线定义，则设立的两个切线方程重合而建立方程，然后将方程转化为函数，研究该函数的零点即可；对选项C，先设动点（）的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可；对选项D，考虑轴时，进而建立目标函数（），通过求该函数的最小值就能说明
【详解】
对选项A，如图所示，易知，根据抛物线的焦半径公式可得：
故有：
，则有：
设点的坐标为：
则有：
令，则可得：
再次求导可得：
故在区间上单调递增
又
可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；
故
则
故
故选项A正确；
对选项B，不妨设外公切线分别与，（）切于点，
则曲线的切线为：
则曲线的切线为：
根据与表示同一直线，则有：
解得：
令（）
则有：
可得：在区间上单调递增；在区间上单调递减
则有：，，（注意：实际上取不到该点）
，因为，故
根据零点存在性定理可知：在区间上存在一个零点，即存在一条公切线；
当时，，则在函数的处的切线方程为：
联立
可得：，故此时与切于点，也满足
由图易知：当时，不可能存在公切线
综上可得：两曲线有且仅有2条公切线不妨取（）
则有：
又，可得：
在上单调递增，则有：
故选项B正确；
对选项C，当轴时，设（），则
则有：
记，则有：
令，解得：
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有：
故
故选项C正确；
对选项D， 不妨设（）上点，（）上点
则有：，
可得：
若轴时，（）
令 （）
则有：
易知：在区间上单调递增
可得：
令，下面证明：
可化简为
进而可化简为：
故在区间存在一个零点，令
则当时，，即在区间上单调递减；
当时，，即在区间上单调递增；
故
而
又
下面证明：
即证：
只需证明：
又：
故成立
从而，而且以上还仅仅考虑轴时的情况，故选项D错误
故答案选：ABC
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
33． 1,2,4
【分析】（1）根据题意知曲线的轨迹为抛物线，直接根据抛物线的定义求解即可；
（2）设出直线的方程 然后与抛物线的方程联立可得，再利用根与系数的关系求解.
【详解】（1）由抛物线定义知，曲线C是以（1，0）为焦点、为准线的抛物线，∴曲线C的方程为：；
（2）设直线
与方程联立可得
设，
则 中点点坐标为，
又若直线与圆相切于点，
由得，
， ，
又 ， ，而又圆心到直线的距离为半径，即，故：
当时，直线有4条；
当或时，直线有2条；
当时直线有1条；
故答案为：(1) (2) 1,2,4
【点睛】本题利用直线与抛物线进行联立，得出中点坐标，利用直线与圆相切得出切点与圆心连线与直线垂直得出所设变量的等量关系，利用判别式大于0得出半径的范围即可得解，注意斜率不存在时的直线符合题意.
34．3
【解析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．
【详解】（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，
（2）①当过点且直线抛物线的对称轴平行，即斜率为0时，显然与抛物线有且只有一个交点，
②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程 ，消得：，由已知有，则 ，解得：，即直线线方程为，
综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条
故答案为：3
35．4
【分析】设直线，与双曲线方程联立，根据交点只有一个求参数的取值，判断直线的个数.
【详解】设直线与双曲线方程联立
即 ，
当时，即时，此时方程只有一解，满足条件；
当时，
解得：，
当不存在时，不满足条件；
综上可知，满足条件的有或，共4条直线.
故答案为：4
【点睛】本题考查已知直线与双曲线的交点个数，判断满足条件的直线条数，意在考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题型.
36．
【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，通过最短弦长和对称性即可求解.
【详解】因为，，依次成公比为的等比数列，所以，，
所以的方程可化为，则，所以两焦点坐标分别为，，
由题意知过焦点的直线与双曲线交于同一支时，弦长最小时为直线垂直轴时，此时直线为，弦长为，
当直线与双曲线交于两支时，弦长最小时直线为，此时弦长最小为，
所以根据对称性可知过焦点与相交所得弦长为的直线有条.
故答案为：.
37．
【分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．
【详解】解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，
（2）①当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为时，显然与抛物线有且只有一个交点，
②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，
设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，
由已知有，则 ，解得，即直线方程为，
综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条
故答案为：3
38．
【分析】讨论直线的斜率，当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足条件．
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，
方程为，满足条件，此时满足条件的有一条直线；
当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，
也能满足与双曲线有且仅有一个公共点，此时满足条件的有两条直线；
综上，满足条件的直线共有3条．
故答案为：3
39．4
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故答案为：4．
40．2或3
【解析】当m=0时，数形结合，即可得答案；当时，若直线l的斜率不存在时，经检验满足题意，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，将直线方程与抛物线C联立，可得关于x的一元二次方程，根据有一个公共点，可得判别式，即可求得结果，综合即可得答案.
【详解】当m=0时，M（0,0），此时直线y=0与抛物线相切，有一个公共点，
直线x=0，即y轴，为抛物线的对称轴，与抛物线有一个公共点，
所以此时有2条直线满足题意；
当时，当直线l的斜率不存在时，直线x=m与抛物线有一个公共点，
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：，
与抛物线联立，可得，
因为有一个公共点，所以，解得或，
即l：y=0或，故有两条线满足题意，
所以此时共有3条直线满足条件.
故答案为：2或3
41．3
【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线方程.
【详解】双曲线的标准方程为，右焦点
设直线与双曲线交于，
当直线斜率不存在时，直线方程的方程为，
令，则，得，此时弦长为，符合题目；
当直线斜率存在时，设直线方程为
联立，可得，
，解得且
，
解得
综上，总共有三条直线符合条件
故答案为：3.
42．3
【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】由题意可知，，解得，则点或，
且圆的圆心，半径.
①当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，
此时直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，整理可得，解得，
所以直线方程为；
②当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，
此时直线方程为，即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，整理可得，解得，
所以直线方程为；
综上所述：直线方程为或或，共有3条.
故答案为：3.
43．4
【分析】根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当不存在斜率时，求出交点坐标，看是否符合题意，当直线存在斜率时，设出点斜式方程与双曲线联立，消元，得到方程，根据方程解的情况，得出正确答案
【详解】当直线不存在斜率时，直线方程为，显然与双曲线只有一个公式点；
当直线存在斜率时，设直线方程为，与双曲线方程联立，消得：
，
当时，即，方程有唯一实根，符合题意；
当时，即，方程有唯一实根，故，解得，故满足与有且只有一个公共点的直线共有4条.
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了分类思想.
44．4
【分析】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．
【详解】解；双曲线方程为2x2﹣y2＝2，化为标准形式：1，
当k不存在时，直线为x＝1，与1的图象有且只有一个公共点，
当k存在时，直线为：y＝k（x﹣1）+2，代入双曲线的方程可得：
（2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0，
（1）若2﹣k2＝0，k时，y＝（x﹣1）+2与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0
即k，此时直线y（x﹣1）+2与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（1，2）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．
故答案为4
【点睛】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与双曲线的位置关系，突出考查了双曲线的几何性质，属于中档题和易错题．
45． 和
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案．
【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，
整理得到，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件，
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和．
故答案为：；和.
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