高中数学压轴题小题专项训练专题40求圆锥曲线的离心率含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题40求圆锥曲线的离心率含解析答案，共46页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线，在双曲线上任意一点处作双曲线的切线，交在第一､四象限的渐近线分别于两点.当时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．8C．D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，点P是两曲线的一个公共点，且，若，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线与C交于A，B两点（不在坐标轴上），坐标原点为O，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
10．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
11．已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数．根据以上信息，下列说法中正确的有（ ）
①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同；
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为；
③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内．
A．①③B．②④C．①②D．③④
二、多选题
13．已知椭圆的右焦点为在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是（ ）
A．B．C．D．
14．已知为坐标原点，，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，设，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．若当时恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为
D．当时若直线与圆相切，则双曲线的离心率为
15．法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．面积的最大值为
C．到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
16．已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．的内心为，到轴的距离为
D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
17．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的方程为
C．若，则
D．若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
18．已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P在椭圆C上，点Q在圆M上，则下列说法正确的有（ ）
A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点P使得，则
D．若存在点Q使得，则
19．已知椭圆C：过点，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的方程为
C．若，则
D．若，则椭圆上不存在两点，使得关于直线对称
20．设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线离心率的最小值为4
B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
21．已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为
B．若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
C．若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是
D．若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是
三、填空题
22．已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是的中点，若，则椭圆的离心率的范围是 ．
23．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
24．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
25．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
26．已知双曲线的左、右焦点分别是，点A是圆上的一个动点，且线段的中点B在E的一条渐近线上．若E的焦距为4，则E的离心率的最小值是 ．
27．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆为其左、右焦点，是上的动点，点，若的最大值为．动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，则椭圆的离心率为 ；的取值范围为 ．
28．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为 ．
29．已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是 .
30．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 .
31．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ．
参考答案：
1．C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
2．D
【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率.
【详解】椭圆的左焦点为，，
过作轴，垂足为，由，
得，，有，
设，则有，，
由，两式相减得，
则有，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值.
3．A
【分析】利用导数求出双曲线C在点处的切线方程，与两渐近线联立求出两点坐标，由此证明点是线段的中点，可得，即得，计算求得，得解.
【详解】如图，设双曲线C在点处的切线为，切线与轴交于点，
根据题意点在双曲线第一象限，由，得，
所以，则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为，
令，得，所以点，
设点，，渐近线方程为，
联立，解得，
所以点，同理可得，
又，，
所以点是线段的中点，
所以，，即，解得.
又，所以，即，
所以.
故选：A.
，
【点睛】关键点睛：本题关键在求出两点坐标，证明点是线段的中点，可得，求得.
4．D
【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.
【详解】如下图所示：

（1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形，
此时，有个满足条件的等腰；
（2）当构成以为一腰的等腰三角形时，
以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限，
由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形，
不妨设点在第一象限，则，其中，
则，
或，
由可得，所以，，解得，
由可得，所以，，解得，
综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
5．B
【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果.
【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且，
则可得，解得，则，
整理得，则，
故可得，
当且仅当且时，即时取得最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线中焦点三角形的面积涉及均值不等式求最小值，属综合困难题.
6．C
【详解】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．
详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，，
设，则，为锐角．
外接圆面积为，则其半径为，∴，
∴，，
∴，，
设点坐标为，则，，
即点坐标为，
由点在双曲线上，得，整理得，
∴．
故选C．
点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．
7．C
【分析】根据椭圆定义得到，由得到⊥，设，由勾股定理得到，求出或，分两种情况，结合勾股定理列出方程，求出离心率，由题目条件排除不合要求的解，得到答案.
【详解】由椭圆定义得，又，故，
因为，故，故，
又，
故，即⊥，
设，则，，
由勾股定理得，即，
解得或，
当时，，则，
由勾股定理得，即，解得，
此时A，B两点不在坐标轴上，满足要求，
当时，，则，
此时A在轴上，不合要求，舍去，
综上，离心率为.
故选：C
【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
8．A
【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于的齐次不等式，解之即可得解.
【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，
四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，
设四边形的外接圆半径为.
在中，由正弦定理，知，
记椭圆的上顶点为，坐标原点为，
易知，又，则，，
，即为锐角，
，
又
又，，则，
所以，则，即，
则椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
9．C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，

又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．
10．B
【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．
【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
11．B
【分析】由题意可推得要使，只需，由此设直线方程，并联立椭圆方程，求出点的坐标，进而得到，令，，即可得到的不等关系，求得答案.
【详解】要使，只要，只要，
因为直线的斜率为，
即只要，
设直线方程为：，
联立，整理可得：
因为为方程的一个根，
故，
所以点，
可得，
由于，故，
令，可得，
可得，可得离心率，
所以离心率的取值范围是．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
12．D
【分析】利用已知条件求出第天和第天的方程即可判断A，根据椭圆上点到焦点的距离的最大值为，求出的范围即可判断B，求出离心率的表达式判断C，利用离心率的表达式，求出农历初六至初八时的的范围即可判断D.
【详解】由方程知：
A：当时，椭圆方程为，
当时，椭圆方程为，
化简为，即，所以①错误；
B：月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：
，
因为，所以，
所以，所以②错误；
C：月相外边缘的离心率为：，
而，所以当时，最大，
即月相外边缘的离心率第8天时取最大值，所以③正确；
D：农历初六至初八，即时，即，
此时月相外边缘离心率：，即，
因为，，所以，，所以，故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求得，由此即可顺利得解.
13．CD
【分析】方法一直曲联立，得到的横纵坐标，用表示，再用向量的数量积为零，求出离心率的取值范围；方法二用中点坐标公式，表示出，再用向量的数量积为零，求出的轨迹方程，与椭圆有交点，求出取值范围；方法三用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到的关系，再计算离心率的范围.
【详解】
方法一：设直线，其中，联立
解得，不妨设，
则，，
而，故，
将代入并除化简整理得，故，
观察可知，
故选：CD.
方法二：依题意，可得，又有，
故，即，；
又有，即圆与椭圆有公共点且公共点不在坐标轴上，
故，即，故，
故选：CD.
方法三：依题意，，
故分别是线段的中点，故；
又有，故，
则；因为，故，
即，得，
故选：CD.
【点睛】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养. 方法一直曲联立，得到的横纵坐标，用表示，再用向量的数量积为零，求出离心率的取值范围；方法二用中点坐标公式，表示出，再用向量的数量积为零，求出的轨迹方程，与椭圆有交点，求出取值范围；方法三用三角形中位线性质，再用向量垂直的条件得到的关系，再计算离心率的范围.
14．ABD
【分析】根据题意利用焦半径公式可知长度的最小值为，可判断A；利用点到直线的距离公式可得，再利用点M在双曲线上即可判断B；由利用直角三角形的性质和为等边三角形可得，，再根据双曲线定义即可求得离心率，可判断C；当时，直线与圆相切根据勾股定理和双曲线定义可得的关系，即可判断D.
【详解】对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点，
所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A正确；
对于B，设，两渐近线方程分别为，，
所以，
又因为满足，可得，
所以为定值，故B正确；
对于C，因为，所以，
而（为坐标原点）恰好为等边三角形，
因此由知，，
所以由双曲线的定义知：，
即，即双曲线的离心率，故C错误；
对于D，如图，
设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且，
作于点B，则，
又因为，所以，，
因此在中，，
又点在双曲线右支上，所以，
整理得，即，
因此双曲线的离心率，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在双曲线离心率和渐近线方程以及焦点三角形综合问题求解过程中，经常会用到勾股定理和双曲线定义，根据三角形边长之间的关系得出双曲线中的关系式即可实现问题求解.
15．ACD
【分析】根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解.
【详解】对于A:依题意，过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线，则这两条垂线的交点在 上，
所以 ，得 ，
所以椭圆 的离心率 ，故A正确；
对于B：因为点 ， ， 都在 上，且 ，
所以 为 的直径，所以 ，
所以 面积的最大值为 ，故B错误；
对于C：设 ， 的左焦点为 ，连接 ，因为 ，
所以
又 ，所以 ，
则 到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确；
对于D：由直线 经过坐标原点，易得点 ， 关于原点对称，
设 ， ，则 ，又 ， ，
又 两式相减得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD.
16．AC
【分析】由椭圆、双曲线定义及余弦定理得到，即可判断A；再由离心率公式及基本不等式“1”的代换求最小值判断B；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断C；延长交于，若为中点，连接，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断D.
【详解】若椭圆、双曲线半焦距为，则，且分别为左右焦点，
中，令，则，
，
所以，则，
上式消去，得，而，
若，即，则，A对；
由上知，故，
当且仅当，即时取等号，B错；
若为内切圆与各边切点，如下图，则，
又，
所以，即切点为双曲线右顶点，有轴，
所以到轴的距离为，C对；
延长交于，若为中点，连接，
由题意且平分，故为等腰三角形且，
所以，在中为中位线，则，
且，故为平行四边形，令，则，
所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，D错.

故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用椭圆、双曲线定义、余弦定理得到判断A、B的关键，由圆切线性质和双曲线定义判断C的关键，找到点与某定点的距离并写出方程为关键.
17．AC
【分析】利用点差法确定，关系，结合，有求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆上存在，两点并设其中点坐标利用点差法确定，验证，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称.
【详解】设，，则，即，
因为，在椭圆上，所以，，两式相减，
得，即，
又，所以，即，又，
所以，离心率，故A正确；
因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，由得，所以，，，故C正确；
若，则直线的方程为.假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，设，，的中点为，所以，.因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即.又，在椭圆上，所以，.两式相减.得，即，所以，即，联立解得即.又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误.
故选：AC
【点睛】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定.
18．ACD
【分析】A根据已知，数形结合得时椭圆C和圆M没有交点，进而求离心率范围；B令，求得，结合椭圆有界性得，即可判断；C由题设，令，进而得到，结合点在椭圆上得到公共解求范围；D将问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点.
【详解】由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆C和圆M没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，
由，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点Q存在，
则，可得，且，即，对；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C，根据已知得到，设，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解为关键；对于D，问题化为圆心为，半径为的圆与圆有交点为关键.
19．ACD
【分析】利用点差法，结合椭圆的离心率、标准方程、弦长、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，，则，即.
因为M，N在椭圆C上，所以，，
两式相减，得，
即，又，所以，
即，所以，离心率，故A正确；
因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，由，得，
所以，，，故C正确；
若，则直线l的方程为.
假设椭圆上存在两点，使得关于直线对称，
设，，的中点为，
所以，，因为关于直线对称，
所以且点Q在直线l上，即.
又在椭圆上，所以，，
两式相减，得，
即，
所以，即.
联立，解得，即.
又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在两点，使得关于直线对称，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用点差法，可以求解中点弦有关的问题. 求解椭圆离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
20．BCD
【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D.
【详解】由题知，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，的最小值为2，故A错误；
当时，双曲线方程为，
此时渐近线方程为，即，B正确；
若直线的斜率不存在，由对称性可知；当斜率存在时，设直线方程为，，AB的中点为，CD的中点为
则，由点差法可得，所以，
所以，
又双曲线渐近线方程为，联立分别求解可得，
所以，
所以M，N重合，则，或，故C正确；

若，则双曲线方程为，渐近线方程为，
不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为，
，得切线斜率为，方程为，
设点E，F坐标分别为，分别作垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，
则
又，所以，
联立渐近线方程和切线方程可解得，
整理得，
两式相乘得，所以，
所以，D正确.
故选：BCD

【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解时，要结合式子的结构特征灵活处理.
21．BCD
【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，A错误；
B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；
C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；
D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设，，则，
，
，
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；
若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，
线段长度的最小值为，
综上：A错误；
如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，
显然上下顶点能够使得为等腰三角形，
要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，
以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，
则要满足，且，
即，解得：，且，
故椭圆的离心率的取值范围是，B正确；
若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即；
若，即时，如图所示：
连接OP，OB，显然，，则，
因为在上单调递增，要想最大，只需最大，
故当最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大，
故当时满足要求，所以，
即，所以，解得：，所以，
综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；
设，，则，
椭圆上存在点P使得，即在上有解，
即在上有解，
令，注意到，
，
故只需满足，
由①得：，由②得：或，
综上：
则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.
故选：BCD
【点睛】离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且根据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：
一、借助平面几何图形中的不等关系；
二、利用函数的值域求解范围；
三、根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.
22．
【分析】如图，设椭圆的右焦点为,连接，证明四边形是矩形. 设得到，再利用得解.
【详解】
解：如图，设椭圆的右焦点为,连接.
因为,所以.同理.
因为，所以.
因为,所以四边形是矩形.
设，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
23．
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
24．
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
25．/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
26．2
【分析】设，，由条件出点的轨迹，根据所求曲线与双曲线渐近线有公共点，求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.
【详解】设，且E的焦距为4，则，
因为点A是圆上的一个动点，
所以．
因为B是的中点，
所以，即，
所以，
所以B点在圆上，同时B在E的一条渐近线上．
设E的渐近线：，所以直线与圆有公共点，
即，
又．
故答案为：2．
27． /0.75
【分析】利用椭圆定义将转化为，再利用三点共线取得最大值求c，根据椭圆的光学性质得到P点的轨迹方程，再利用点到直线距离的几何意义求解.
【详解】根据椭圆定义可知，，所以，
当三点共线时，有最大值，为，所以的最大值，
所以，由可知，，
解得：，因为，所以，
所以离心率；
设切点为A，由椭圆的光学性质可知，三点共线，
所以，
所以P点的轨迹是以为圆心，8为半径的圆，
则表示P点到直线的距离的5倍，
圆心到直线的距离为，
所以P点到直线的距离最大值为，最小值为，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
28．/0.5
【分析】由题， ，设，由题可得，进而可得，后由可得答案.
【详解】由题， ，设.
则，又点P在双曲线上，则.
，又点M在椭圆上，则.
注意到，则.
即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故.
设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得.
则，又，则.
则.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：常见求解椭圆或双曲线离心率的方法.
（1）由题直接求出a,c的值，由离心率定义确定答案；
（2）构建关于a,c的二元齐次方程，后转化为关于e的方程求解；
（3）通过取特殊点或特殊值求出离心率.
29．
【分析】设，设，由题意可得，再根据进一步求出关系式，进而可求得的关系式，再根据点在双曲线上得出的关系，即可得解.
【详解】由题意，设，
，则，
则设，
故，
因为以为直径的圆交直线于点，所以，即，
所以，所以，
因为三点共线，
所以，即，
所以，
即，
因为点在双曲线上，所以，所以，
所以，
所以离心率.

故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
30．
【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设，，则，
由题意得，，，
则，
两边平方得，整理得，
又，
所以，
变形得到，
即上式在上有解，
其中，
令，
则，
，
要想使得在上有解，
只需要开口向上，即，
即，所以，，解得
故离心率的取值范围是.

故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
31． /
【分析】第一空：设，由题意可求得，结合求得，从而解，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率.
第二空，过P点的切线与双曲线切于点，设，表示出，利用双曲线的切线方程联立渐近线方程求得，从而根据三角形面积求得b，即可求得双曲线方程.
【详解】设，则有，又垂直于渐近线即，,
∴，而,
∴，
在中,，由正弦定理：，
∴,∴，∴，
∴，∴，
另解：依题意，可得的方程为，联立，
可得 ，
∴，
又，
在中，，
即，化简得，
∴.
如图，过P点的切线与双曲线切于点，设，
又P，Q均在双曲线的渐近线上，故设，
又，∴，
∴，
过M点的切线方程为，即，
代入，化简得，
又，∴，
即，∴，
∴，
∴，∴，故双曲线的方程为,
故答案为: ,
【点睛】难点点睛:该题考查双曲线离心率的求解以及双曲线标准方程,由题意可以求得 的关系，而难点在于利用求得a或b的值，此时解答时设出，关键要利用过双曲线上一点的切线方程联立渐近线方程求得，进而利用三角形面积求得答案.