高中数学压轴题小题专项训练专题27分段数列问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题27分段数列问题含解析答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
2．已知正项数列，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在有理数a，对任意正整数m，都有
B．对于任意有理数a，存在正整数m，使得
C．存在无理数a与正整数m，使得
D．对于任意无理数a，存在正整数m，使得
3．已知数列，满足，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知数列满足：，（，），数列是递增数列，则实数的可能取值为（ ）
A．2B．C．D．4
5．若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A．21B．22C．23D．24
6．已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
7．已知符号函数，设，为数列的前n项和，则使的所有n值的和为（ ）
A．15B．16C．17D．18
8．已知数列与满足，，，且，下列正确的是（ ）
A．B．
C．是等差数列D．是等比数列
9．已知数列，满足，，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列满足，，，给出下列两个命题，则（ ）
命题①：对任意和，均有
命题②：存在和，使得当时，均有
注：和分别表示与中的较大和较小者.
A．①正确，②正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①错误，②错误
11．已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
12．已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（ ）
A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误
二、填空题
13．在等差数列中，，，为数列的前项和，则 ．
14．已知数列的各项均为正整数，其前项和为.若且，则 ； .
15．已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和 .
16．设为数列的前项和，，则 ； ．
17．已知数列满足，，则的最大值为 ．
18．已知数列满足，，则 ；数列的前20项和 ．
19．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为 ．
20．已知数列满足：①；②.则的通项公式 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示）
21．在数列中，，则使对任意的恒成立的的最大值为 .
22．已知数列，数列的前n项和为，若存在正整数使得，则正整数m的取值集合为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围.
【详解】由数列的前n项和为且，得，
于是，
两式相减得：，
因此，，显然数列是递增数列，
当为奇数时，，由恒成立，得，则，
当为偶数时，，由恒成立，得，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
2．B
【解析】根据数列的定义，以及有理数和无理数的运算分析判断．
【详解】首先若，则，否则，于是，（舍去），
（1）若是无理数，则是无理数，也是无理数，不论还是，仍然是无理数，这样数列中各项均为无理数，所以不可能有，C、D均错误．
（2）①若是正整数，则或，如果某一项大于1就减去1，得数列的下一项，经过这种操作都可以减小到1，所以存在正整数，使得，从而，
②若不是正整数，设，互质的正整数，），若，则为正整数，回到①的情形；
③若不是正整数，设，互质的正整数，），若，
若，则，若，则，不妨记，则，由得到称为一次操作，经过有限次减1操作后，一定有，在时，这样再继续刚才的操作，，…，由此可得到一列数：，首先分子逐渐减小，然后分母减小，再分子逐渐减小，再分母减小．是确定的正整数，此操作步骤一定是有限的，最后都会变成（是大于1的正整数），那么数列的下一项为，又回到①的情形，所以一定存在正整数，使得，从而．由此A错误，B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查实数的运算，解题方法是对正实数进行分类，无理数，有理数，有理数又分为整数和分数，分别利用递推公式得出数列的下一项，这称为一次操作，对所有的有理数经过有限次操作后都会得到1，即数列中总会出现1，而以后每一项都是1．这是一种无限与有限的结合．有理数是有无限个，但对每一个有理数又是有限的操作，从而完成证明．
3．D
【分析】根据递推关系式，可知，可知，即可判断A是否正确；根据递推关系可知，即可知，由此可知，再根据不等式放缩即可判断B是否正确；由递推公式可知，两边平方化简整理，即可判断C是否正确；根据递推关系可知两边平方化简整理，即可判断D是否正确；
【详解】因为，所以，
所以，故A正确；
由题意得：，
当且仅当时，取等号；
所以，即
所以
，
又，，所以，，故B正确；
又
所以
所以
所以，故C正确；
所以
即
所以，故D错误.
故选：D.
4．C
【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.
【详解】因为，，且为递增数列，
所以，即，解得，
结合选项可知符合题意，
故选：C.
5．C
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.
【详解】依题意，，则，
又，则，，
等差数列的公差，因此数列单调递减，
，且，
即任意正整数，恒成立，
所以对任意正整数，都有成立的.
故选：C
6．B
【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值．
【详解】解：an（n∈N*），
即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，
n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，
两式相除可得an，
则an2＝an+1﹣an+1，n≥6，
由a62＝a7﹣a6+1，
a72＝a8﹣a7+1，
…，
ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，
可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5
a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，
且a1a2…ak＝1+ak+1，
正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，
则ak+1+k﹣16＝ak+1+1，
则k＝17，
故选：B．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出．
7．A
【解析】令,求得函数的零点,并根据函数单调性增长的快慢,即可求得时的值,进而即可求得所有满足的的和.
【详解】令
则函数的零点为,
当时,
当时, ,根据指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度可知, 函数只有这两个零点
而当时,
当时,
当时,
而由符号函数,,为数列的前n项和
因为
所以,即
同理可得时, ,即
而时,
若,则需
所以
综上可知,满足时的值分别为和
所以时的值的和为
故选:A
【点睛】本题考查了新定义的应用,符号函数的用法,数列中片段求和的应用,属于中档题.
8．D
【解析】令、 可判断A B；由已知得和，l两式相减可判断D；利用得的通项公式，结合可得的通项公式可判断C.
【详解】因为数列与满足，
令，，由，所以，
令，，由，所以，
所以，故A错误；
令，，由，所以，
所以，故B错误；
由已知得，即，
，即，
两式相减得，，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列，故D正确；
由得
，
由，得，
所以，
不是常数，
不是等差数列，故C错误.
故选：D.
【点睛】本题考查了由递推数列证明数列是等差数列或等比数列，关键点是掌握等差数列或等比数列的定义以及理解数列中下角标的意义，考查了学生的推理能力、运算能力，
9．D
【分析】求得的值判断选项A；求得的范围判断选项B；求得与的关系判断选项C；求得的范围判断选项D.
【详解】选项A：，，则
又，则，
则.判断正确；
选项B：
（当且仅当时等号成立）
则
.判断正确；
选项C：，
则
则，
则.判断正确；
选项D：，
则
则，
而，
则.判断错误.
故选：D
【点睛】关键点点睛：推导出化简求解出和是关键
10．A
【分析】命题①先证，再证即可得出命题为真;命题②根据条件，构造指数为等比数列，即可求得，进而判断命题②正确.
【详解】因为，，对任意和，
所以，，以此类推，，即可得：，
所以所有分母均为大于1的正数，
所以，，以此类推可得，即可得 (当且仅当时等号成立),所以命题命题①为真；
当，即，令，则，
当数列为等比数列符合题意，
则有：，解得：，
当时，， ，当时，均有.
所以，存在和，使得当时，均有，命题②正确.
故选：A
【点睛】本题考查递推公式构成的新数列问题，考查逻辑推理能力和数学抽象思维，属于难题.
11．C
【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律，计算得出结果.
【详解】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
12．A
【分析】设出数列中的一项，然后分被3除余1，余2，余0三种情况进行讨论，借助给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到符合的形式，然后保证即可判断②．
【详解】不妨设数列中的一项为，
①若被3除余1，则由已知可得，
若被3除余2，则由已知可得，
若被3除余0，则由已知可得，
所以对任意的，，则，
所以对数列中的任一项，若，则，
因为，所以，所以数列中必存在某一项（否则与上述结论矛盾），
若，结论得证；
若，则，，结论得证；
若，则，得证；
所以不论论取何值，总有；故①正确；
②若是3的倍数，则，
若被3除余1，则由已知可得，
若被3除余2，则由已知可得，
所以连续7项构成的等比数列的公比为，
因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项）
设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得，
因为，所以或，
由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于等于2022的项只有：
或，或
所以首项的所有可能取值的集合为，
故的所有可能取值有6个，故②正确．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题．
13．112
【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，即可求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，
所以，解得，所以，
令，解得，
所以，
所以
.
故答案为：
14．
【分析】根据为奇数，且当是奇数时，是偶数，可得、、中必有两个偶数，一个奇数，然后分类讨论可得，最后求出数列的周期性，分类讨论求和即可.
【详解】为奇数，且当是奇数时，是偶数，
、、中必有两个偶数，一个奇数，
若为奇数，、是偶数，
，解得，
，，，，，，
为从第四项起，数列是以为周期的数列，且一个周期内的和为7，
若为偶数，为偶数，则为奇数，且，解得矛盾（舍去），
若为偶数，为奇数，则为偶数，且，解得矛盾（舍去），
则时，；当时，，
则，
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题的关键是对分奇偶数讨论，从而确定的值以及其从第4项开始的周期性，最后求和即可.
15．
【分析】根据题意结合等比数列同向公式可得，进而可得，结合等差数列求和公式分析求解.
【详解】由题意可得：，解得或，
注意到，则，可得，
则，
当时，则
，
即当时，.
故答案为：.
16． /
【分析】由，得到，然后分为奇偶讨论，得到数列的通项，求出，再利用分组求和求出.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，，
即，
当为偶数时，，所以，即当是奇数时，；
当是奇数时，，，即当是偶数是，．
所以；
所以
.
故答案为：；.
17．
【分析】根据递推关系求出n为奇数或者偶数时的通项公式，然后再以分类讨论的方式分别代入中，利用单调性求出最大值.
【详解】令奇数，偶数，，所以有，即
同时也有，
所以可得，故为等差数列，
所以，
同时也可求出，
所以，
当n为奇数时，，所以，此时显然是递减数列，
故当时最大，；
当n为偶数时，，所以，此时显然也是递减数列，
故当时最大，.
综上所述，最大值为
故答案为：
18．
【分析】根据题意，求得，得到，得出数列为等比数列，得到，进而求得和，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由数列满足，，
可得，
又由，所以
因为，可得，
所以，
由，可得，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，可得，
所以，则，
因为，适合上式，所以，
所以数列的前20项的和为：.
【点睛】方法总结：解决数列的新定义问题的要点分析：
1，准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂题设中新定义的含义，将题目中所给的定义转化为题目要求的形式，切忌同已有的概念或定义相混淆；
2、方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项（或特殊项，特定项）体会题意，仔细观察、对比、分析，从整体到局部多角度归纳、联想、抓住相邻项的联系、拆项后的各部分的特征、以及符号特征，从而找到恰当的解决方法.
19．
【分析】由下标和性质得到，从而求出、，即可求出的通项公式，再由等比数列求和公式求出，化简不等式解得，最后确定满足条件的最大正整数的值.
【详解】因为数列为正项的递增等比数列，所以，
又，
所以、是关于方程的两根，
解得，，
所以或（舍去），
设公比为，则，解得或（舍去），
所以，所以，
所以，则，
所以，即，即，
又函数在定义域上单调递增，，，，
所以，故正整数的最大值为.
故答案为：
20．
【分析】当为奇数时令可得，当为偶数时令，可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【详解】当为奇数时，令，则，
当为偶数时，令，则，
则，
当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，则，
当为奇数时，由，则，所以，
当为偶数时，由，则，所以，
所以，
所以
故答案为：，
21．1211
【分析】根据规律原数列分为三个等差数列，分别计算通项公式，得到三个不等式，分别解不等式得到，，，，，得到答案.
【详解】数列.将原数列分为三个等差数列：
，通项为；
通项为；
通项为.
由，得；
由，得；
由，得.
则，，，，，
所以满足对任意的恒成立的的最大值为1211.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据数列的规律将数列分为三个等差数列分别求通项再解不等式是解题的关键.
22．/
【分析】根据数列通项公式利用分组求和求出通项公式，然后根据已知结合数列求和可得，其中，，即可分析出l可能为1，2，3，然后分别讨论即可求出结果．
【详解】解：因为列，可得

，
所以，
因为
所以，其中，
变形得，
因为，
所以，又，则l可能为1，2，3
当时，，
所以不成立，
当时，由，得，
若，则，
令，
则，
因为，所以，
所以，
因为
故只有，此时，
当时，由，得，，
故正整数m的取值集合为，
故答案为：．