2023-2024学年陕西省西安市碑林区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3⋅a2=a6C. (a2)3=a5D. a6÷a2=a4
3.在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A. 5cmB. 7cmC. 15cmD. 17cm
4.如果(x+3)2=x2+ax+9，那么a的值为( )
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
5.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB//OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为( )
A. 85∘
B. 70∘
C. 75∘
D. 60∘
6.某校初一数学兴趣小组利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如表所示：
根据表格提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 支撑物的高度为40cm，小车下滑时间为2.13s
B. 支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小
C. 若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间
D. 若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s的任意值
7.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的.下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是( )
A. 守株待兔B. 缘木求鱼C. 水涨船高D. 拔苗助长
8.如图，A、C、E三点在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，连接AD，BE，分别交BC、CD于点P、Q.AD与BE相交于点O，连接PQ，下列结论中其中正确的个数为( )
①△ACD≌△BCE；
②CP=CQ；
③∠AOE=120∘；
④PQ//AE；
⑤DP=DE.
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元，则总收费y(元)与制作纪念册的册数x(册)之间的关系式为______.
10.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为42∘，则顶角的度数为______.
11.“红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，如此循环往复，按照交通规则，则小明驾车行驶至该路口时恰好遇到绿灯的概率为______.
12.已知2x+y−4=0，则4x⋅2y=______.
13.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60∘，∠ABD=24∘，则∠ACF=______.
14.如图在△ABC中，AD平分∠BAC，AC=13，△ABC的面积为78，M、N分别是AD、AB上的点，则BM+MN的最小值是______.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
计算：
(1)(−13)−2+(−2)2−(π−3.14)0；
(2)(3m+n)(m−2n)−(3m+2n)(3m−2n).
16.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠A=60∘，∠B=80∘，在边AC上找一点P，使得PB=PC.(保留作图痕迹，不写作法)
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(2x−y)2−y(y−4x)−8xy]÷8x，其中x=−1，y=12.
18.(本小题6分)
如图所示，已知∠1+∠2=180∘，∠A=∠C，DA平分∠BDF，BC平分∠DBE，为什么？
19.(本小题7分)
一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种色的质地相同的小球，若红球个数是黑球个数的2倍多3个，从袋中任取一个球是白球的概率是110.
(1)求袋中红球的个数．
(2)求从袋中任取一个球是黑球的概率．
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF.
(1)求证：△AEC≌△AEF.
(2)若∠AEB=50∘，求∠BEF的度数.
21.(本小题7分)
如图，已知△ABC的三个顶点在格点上.
(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；
(2)在直线MN上找出一点D，使得∠BDM=∠CDN，并说明理由.
22.(本小题8分)
阅读材料后解决问题.小明遇到下面一个问题：
计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)
=(24−1)(28+1)
=216−1.
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)；
(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1).
23.(本小题10分)
快车与慢车分別从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y(km)与所用的时x(h)的关系如图所示．
(1)甲乙两地之间的路程为__________km；快车的速度为______km/h；慢车的速度为_______km/h；
(2)出发________h，快慢两车距各自出发地的路程相等；
(3)快慢两车出发___________h相距150km.
24.(本小题12分)
问题背景：“半角模型”问题.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120∘，∠B=∠ADC=90∘，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60∘，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系.
(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：______；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180∘，E、F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180∘，E、F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.由于a2、a3不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；
B.a3⋅a2=a3+2=a5≠a6，故选项B计算错误；
C.(a2)3=a2×3=a6≠a5，故选项C计算错误；
D.a6÷a2=a6−2=a4，故选项D计算正确．
故选：D.
利用同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：
12−5解得：7只有15cm适合，
故选：C.
首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式可得出答案．
【解答】
解：∵(x+3)2=x2+6x+9，
∴a=6.
故选：C.
5.【答案】C
【解析】解：∵AB//OC，∠A=60∘，
∴∠A+∠AOC=180∘，
∴∠AOC=120∘，
∴∠BOC=120∘−90∘=30∘，
∴∠DEO=∠C+∠BOC=45∘+30∘=75∘；
故选：C.
由平行线的性质求出∠AOC=120∘，再求出∠BOC=30∘，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．
本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、由图可知，当h=40cm时，t=2.13s，故A正确；
B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B正确；
C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C正确；
D、若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s，但不是任意值，故D错误．
故选：D.
根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意；
C、水涨船高，是必然事件，符合题意；
D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意；
故选：C.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8.【答案】C
【解析】解：①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60∘，CD=CE=DE，∠DCE=60∘，
∴∠BCD=180∘−∠ACB−∠DCE=60∘，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=120∘，∠BCE=∠BCD+∠DCE=120∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
故结论①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠ACB=60∘，∠BCD=60∘，
∴∠ACB=∠BCD，
在△ACP和△BCQ中，
∠CAP=∠CBQ，AC=BC，∠ACB=∠BCD，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴CP=CQ，
故结论②正确；
③∵∠APB=∠CBQ+∠BOP=∠CAP+∠ACB，∠CAP=∠CBQ，
∴∠BOP=∠ACB=60∘，
∴∠AOE=180∘−∠BOP=120∘，
故结论③正确；
④∵CP=CQ，∠BCD=60∘，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠CPQ=60∘，
∴∠CPQ=∠ACB=60∘，
∴PQ//AE，
故结论④正确；
⑤∵∠CPQ=60∘，
∴∠DPC=∠CPQ+∠OPQ=60∘+∠OPQ>60∘，
又∵∠BCD=60∘，
∴∠DPC>∠BCD，
∴DP>CD，
∵CD=DE，
∴DP>DE，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选：C.
①根据等边三角形性质得AC=BC，∠ACB=60∘，CD=CE=DE，∠DCE=60∘，则∠BCD=60∘，进而得∠ACD=∠BCE，由此可依据“SAS”判定△ACD和△BCE全等，据此可对结论①进行判断；
②由△ACD≌△BCE得∠CAP=∠CBQ，再根据∠ACB=∠BCD可依据“ASA”判定△ACP和△BCQ全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；
③根据∠APB=∠CBQ+∠BOP=∠CAP+∠ACB，∠CAP=∠CBQ得∠BOP=∠ACB=60∘，据此可对结论③进行判断；
④根据CP=CQ，∠BCD=60∘得△CPQ为等边三角形，则∠CPQ=∠ACB=60∘，然后根据平行线的判定可对结论④进行判断；
⑤根据∠CPQ=60∘得∠DPC=∠CPQ+∠OPQ>60∘，进而得∠DPC>∠BCD，则DP>CD，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9.【答案】y=4x+300
【解析】解：根据题意，得y=4x+300.
故答案为：y=4x+300.
根据“总收费=每册收取的材料费×制作纪念册的册数+设计费与加工费”作答即可．
本题考查函数关系式，根据“总收费=每册收取的材料费×制作纪念册的册数+设计费与加工费”写出y与x的关系式是本题的关键．
10.【答案】48∘或132∘
【解析】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=42∘，
∴∠A=48∘，
即顶角的度数为48∘.
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=42∘，
∴∠BAD=48∘，
∴∠BAC=180∘−∠BAD=132∘.
故答案为：48∘或132∘.
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为48∘.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为132∘.
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
11.【答案】512
【解析】解：∵每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，
∴小明驾车行驶至该路口时恰好遇到绿灯的概率为2530+25+5=512.
故答案为：512.
直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：∵2x+y−4=0，
∴2x+y=4，
∴4x⋅2y=22x+y=24=16.
故答案为：16.
由已知条件可得2x+y=4，再利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
13.【答案】48∘
【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24∘，
∴∠ABC=2∠ABD=48∘，∠DBC=∠ABD=24∘，
∵∠A=60∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠ABC=180∘−60∘−48∘=72∘，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24∘，
∴∠ACF=∠ACB−∠FCB=72∘−24∘=48∘，
故答案为：48∘.
根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48∘，∠DBC=∠ABD=24∘，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
14.【答案】12
【解析】解：如图，过B作BB′⊥AD于G交AC于B′，
则∠AGB=∠AGB′=90∘，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAG=∠B′AG，
∵AG=AG，
∴△ABG≌△AB′G(AAS)，
∴BG=B′G，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=13，S△ABC=78，
∴12×13⋅BE=78，
解得BE=12，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=12，
即BM+MN的最小值是1.
故答案为：12.
根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N=BE，从而得解．
本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
15.【答案】解：(1)(−13)−2+(−2)2−(π−3.14)0
=9+4−1
=12；
(2)(3m+n)(m−2n)−(3m+2n)(3m−2n)
=3m2−6mn+mn−2n2−(9m2−4n2)
=3m2−5mn−2n2−9m2+4n2
=−6m2−5mn+2n2.
【解析】(1)根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的运算法则分别计算即可；
(2)根据多项式乘多项式、平方差公式分别计算即可．
本题考查了实数的运算，多项式乘多项式，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键．
16.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作线段BC的垂直平分线交AC于点P，连接PB即可．
本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
17.【答案】解：原式=(4x2−4xy+y2−y2+4xy−8xy)÷8x
=(4x2−8xy)÷8x
=12x−y，
当x=−1，y=12时，
原式=12×(−1)−12
=−1.
【解析】直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用相关运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：∵∠1十∠2=180∘，∠1+∠EBD=180∘，
∴∠2=∠EBD，
∴AE//CF，
∴∠FDB=∠DBE，∠BAD=∠ADF，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD=∠ADF，
∴AD//BC，
∴∠DBC=∠BDA=12∠FDB=12∠DBE，
∴BC平分∠DBE.
【解析】由已知易得∠1=∠BDC，则AE//CF，所以∠EBC=∠BCD，又∠BAD=∠BCD，故∠EBC=∠BAD，可得AD//BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可．
此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义，要充分利用已知条件．
19.【答案】解：(1)∵一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种色的质地相同的小球，从袋中任取一个球是白球的概率是110，
∴白球的个数为：290×110=29(个)，
设黑球的个数为x个，
则2x+3+x=290−29，
解得：x=86，
则2x+3=172，
答：袋中红球的个数为172个；
(2)由(1)得：从袋中任取一个球是黑球的概率为：86290=43145.
【解析】(1)直接根据从袋中任取一个球是白球的概率是110，得出白球的个数，进而利用红球个数是黑球个数的2倍多3个，求出答案；
(2)利用黑球个数除以总数得出答案．
本题考查了概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn.
20.【答案】(1)证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEC≌△AEF(SAS)；
(2)解：∵△AEC≌△AEF(SAS)，
∴∠C=∠F，
∵∠AEB=∠CAE+∠C=50∘，
∴∠FAE+∠F=50∘，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180∘，
∴∠BEF=80∘，
∴∠BEF为80∘.
【解析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF(SAS)；
(2)由△AEC≌△AEF(SAS)，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50∘，则∠FAE+∠F=50∘，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180∘，计算求解即可．
本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点D即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的出现在分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)连接CB1交直线MN于点D，连接BD，点D即为所求．
本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
22.【答案】解：(1)原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)
=(216−1)(216+1)
=232−1；
(2)原式=12×[(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)]
=12×[(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)]
=12×[(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)]
=12×[(38−1)(38+1)(316+1)]
=12×[(316−1)(316+1)]
=332−12.
【解析】(1)根据题中例题可得，在本题式子前面可乘以(2−1)，然后利用平方差公式即可算出答案；
(2)根据题中例题可得，在整体的式子前面乘以(3−1)，要想保持结果不变，再在式子前面乘以12，然后利用平方差公式即可运算．
本题考查的是平方差公式的应用，解题关键是掌握平方差公式．
23.【答案】(1)420；140 ；70；
(2)143；
(3)97或197或417.
【解析】【分析】
本题考查了用图像表示变量之间的关系，主要利用了时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，难点在于(2)表示出快车距离出发地的路程．
(1)先得两地的距离，根据速度=路程÷时间列式计算即可求出快车和慢车的速度；
(2)根据两车的速度等条件可得出答案；
(3)分别根据两车相遇前、两车相遇后以及快车从乙往甲返回途中，三种情况两车距离为150km时，列方程可解答．
【解答】
解：(1)由图可知：甲乙两地之间的路程为420km；
快车的速度为：4204−1=140km/h；
由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地，
则慢车的速度为：4206=70km/h；
故答案为：420，140，70；
(2)设经过t小时后，快、慢两车距各自出发地的路程相等，
则70t=140(7−t)
解得：t=143，
答：出发143小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；
故答案为：143；
(3)第一种情形第一次没有相遇前，相距150km，
则140x+70x+150=420，
解得：x=97，
第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x−420=150，
解得：x=197，
第三种情形是快车从乙往甲返回途中：70x−140(x−4)=150，
解得：x=417，
综上所述：快慢两车出发97h或197h或417h相距150km.
故答案为：97或197或417.
24.【答案】EF=BE+FD
【解析】解：(1)EF=BE+FD.
延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，如图1，
∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90∘，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60∘.
∴∠GAF=∠EAF=60∘.
又∵AF=AF，
∴△AGF≌△AEF(SAS).
∴FG=EF.
∵FG=DF+DG.
∴EF=BE+FD.
故答案为：EF=BE+FD；
(2)(1)中的结论仍然成立．理由如下：
如图2中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM.
∵∠ABC+∠D=180∘，∠1+∠ABC=180∘，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，
AB=AD∠1=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF(SAS).
∴AF=AM，∠2=∠3.
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF.
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF.
在△AME与△AFE中，
AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，
∴△AME≌△AFE(SAS).
∴EF=ME，即EF=BE+BM，
∴EF=BE+DF；
(3)结论：EF=BE−FD.理由如下：
如图3中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.
∵∠B+∠ADC=180∘，∠ADF+∠ADC=180∘，
∴∠B=∠ADF.
在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD.
(1)延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；
(2)延长CB至M，使BM=DF，连接AM.证明△ABM≌△ADF，由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3.△AME≌△AFE，由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；
(3)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.证明△ABG≌△ADF.由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF.证明△AEG≌△AEF，由全等三角形的性质得出结论．
本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．支撑物高度h/cm
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑时间t/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59