2023-2024学年重庆市渝中区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市渝中区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在− 3，3.14， 16，π3，157中，无理数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3 个
2.化简3−8的结果是( )
A. ±2B. 2C. −2D. −2 2
3.在下列四项调查中，调查方式合理的是( )
A. 了解某一品牌家具的甲醛含量，采用全面调查
B. 了解神舟飞船设备的质量情况，采用抽样调查
C. 了解某市每天的流动人口数，采用全面调查
D. 了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查
4.小雨同学的座位是第2列第6排，小丽同学的座位是第4列第3排，若小雨的座位用有序数对(2,6)表示，则小丽的座位用有序数对表示是( )
A. (4,4)B. (3,3)C. (3,4)D. (4,3)
5.以下奥运会比赛项目中，按点到直线的距离来评定成绩的是( )
A. 跳远B. 链球C. 铅球D. 铁饼
6.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于点A，点B，AC⊥AB交直线b于点C.若∠ACB=50∘，则∠1的度数为( )
A. 40∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 60∘
7.关于x的一元一次不等式x+2≤m的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 6
8.某乡村引进电商平台后，大量农副产品得以外销，全年经济总收入比前一年增加了一倍.为更好地了解该乡村收入变化情况，统计了引进电商平台前后的经济收入相关数据，得到下面的统计图.下列关于引进电商平台后的说法中，错误的是( )
A. 养殖收入比引进电商平台前增加了一倍
B. 种植收入比引进电商平台前减少了
C. 养殖收入与第三产业收入的总和超过了当年经济收入的一半
D. 其它收入比引进电商平台前增加了一倍以上
9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子去量竿，却比竿子短一托.”已知一托等于5尺，若设竿长为x尺，绳索长为y尺，则可列方程组是( )
A. x−y=512y−x=5B. x−y=5x−12y=5C. y−x=512y−x=5D. y−x=5x−12y=5
10.对于任意实数x，其整数部分记为[x]，小数部分记为{x}，即：x=[x]+{x}，其中[x]表示不超过x的最大整数.如[1.2]=1，{1.2}=0.2；[−1.2]=−2，{−1.2}=0.8.下列结论正确的个数是( )
①{−0.5}=−0.5；
②若x+y=n(n是整数)，则[x]+[y]=n；
③若[x]=1，[y]=2，[z]=3，则[x+y+z]所有可能的值为6，7，8；
④方程3[x]−1={x}+2x的解为x=1或x=73.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若点P(2,m)在第四象限，则m的值可以是______(写出一个即可).
12.命题“同旁内角互补”是一个______命题(填“真”或“假”)
13.一个瓶子中装有一些豆子，从瓶子中取出50粒豆子，给这些豆子做记号，把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀，从瓶子中再取出30粒豆子，其中有记号的有2粒，则瓶子中的豆子总数约为______粒.
14.一个数的立方根是4，这个数的平方根是______.
15.已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by=3的解，则4a−2b−5的值为______.
16.如图，将直径为10cm的半圆向上平移4cm，则图中阴影部分面积为______cm2.
17.若关于x，y的方程组x−y=m−13x+2y=4m+5的解满足x+4y≤3，且关于z的不等式组z−4<−15z−m>0有解且最多3个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为______.
18.如果一个四位自然数的百位数字大于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则称这个四位数为“奇异数”，例如：自然数7523，其中5>2，7=5+2，3=5−2，所以7523是“奇异数”，最小的奇异数是______；若一个“奇异数”的后三位数字所表示的数减去千位数字的7倍得到的结果被13除余1，则符合要求的“奇异数”是______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) (−4)2−3−27+|1− 2|；
(2) 214+ 3( 3−1 3).
20.(本小题10分)
如图，点P，点Q分别在∠ABC的内部和外部.
(1)请按要求完成下列画图：过点P作PD//BC，交AB于点D.过点Q作QE⊥BC，垂足为E，直线QE交PD于点F.
(2)在(1)的条件下，求证：QF⊥PD.
请补充完整下面的证明过程或依据：
证明：∵QE⊥BC(已知)，
∴∠BEQ=______(垂直的定义).
∵PD//BC(已知)，
∴∠DFE=______(两直线平行，同位角相等).
∴______=90∘(______).
∴QF⊥PD(______).
21.(本小题10分)
解方程组：
(1)2x−y=24x+5y=11；
(2)x2+y3=−23x−4y=6.
22.(本小题10分)
解不等式(组)：
(1)x−32−4x−14≥1；
(2)3(x+2)≤5x+8x−423.(本小题10分)
学校为加强学生的安全意识，提高学生自我防护能力，组织全校学生参加安全知识测试，然后抽取了部分学生的成绩(满分100分)进行统计.成绩(记为x)分成五个等级，A：50≤x<60；B：60≤x<70；C：70≤x<80；D：80≤x<90；E：90≤x≤100.
下面给出两幅不完整的成绩统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)a=______，n=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)测试成绩在70分以下的学生需进一步加强安全教育，该校共有1200名学生，那么该校约有多少名学生需进一步加强安全教育？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC先向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，点C的对应点C1的坐标为(4,1).
(1)画出三角形A1B1C1，并写出点A，B1的坐标(A1,B1分别是A，B的对应点)；
(2)已知PA1//x轴，且三角形OPA1的面积为三角形ABC面积的43倍，求点P的坐标.
25.(本小题10分)
五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型.
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元.
(1)顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了______张 B型优惠券.
(2)顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
(3)小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费(部分未使用)，共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？(请写出具体解答过程)
26.(本小题10分)
已知，直线AC//BD，AE平分∠BAC交BD于点E.
(1)如图1，若∠B=68∘，求∠AED的度数；
(2)如图2，点F在线段AE上，∠DFC=∠FCD+∠FDE，求证：CF平分∠ACD；
(3)如图3，点F是线段AE上，∠ABF=3∠FBE，CD⊥BD，DG//EA交AC于点G.在射线AE上另取一点P，使∠PBF=∠CDG，直接写出∠ABP∠EBP的所有值，并写出其中一个值的求解过程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵− 3，π3是无理数，3.14， 16，157是有理数，
∴所给实数中，无理数有2个，
故选：C.
运用有理数和无理数的定义进行辨别、求解．
此题考查了有理数和无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】C
【解析】解：∵(−2)3=−8，
∴3−8=−2，
故选：C.
根据立方根的定义直接求解即可．
本题考查立方根，关键是立方根定义的熟练掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A、了解某一品牌家具的甲醛含量，采用抽样调查，故A不符合题意；
B、了解神舟飞船设备的质量情况，采用全面调查，故B不符合题意；
C、了解某市每天的流动人口数，采用抽样调查，故C不符合题意；
D、了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查，故D符合题意；
故选：D.
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵小雨同学的座位是第2列第6排，用有序数对(2,6)表示，
∴小丽同学的座位是第4列第3排，用有序数对表示是(4,3)，
故选：D.
根据题意，可以用有序数对表示出小丽的位置．
本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，写出相应的坐标．
5.【答案】A
【解析】解：按点到直线的距离来评定成绩的是跳远．
故选：A.
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是明确点到直线的距离是指垂线段的长度．
6.【答案】A
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90∘，
∵∠ACB=50∘，
∴∠CBA=40∘，
∵直线a//b，
∴∠1=∠CBA=40∘，
故选：A.
先根据垂直的定义和余角的性质求出∠CBA的度数，再根据平行线的性质即可求解．
本题主要考查了平行线的性质，垂线，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
7.【答案】C
【解析】解：∵x+2≤m，
∴x≤m−2，
由图可知，该不等式的解集为x≤3，
∴m−2=3，
解得：m=5，
故选：C.
先求出x≤m−2，根据数轴得出x≤3，则m−2=3，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集的方法．
8.【答案】B
【解析】解：设引进电商平台前的收入为x，则引进电商平台后收入为2x，
则A.引进电商平台前养殖收入为30%x=0.3x，引进电商平台后养殖收入为2x×30%=0.6x，养殖收入比引进电商平台前增加了一倍，此选项正确，不符合题意；
B.引进电商平台前种植收入为60%x=0.6x，引进电商平台后种植收入为37%×2x=0.74x，增加了，此选项错误，符合题意；
C.养殖收入与第三产业收入的总和所占百分比为30%+28%=58%>50%，所以养殖收入与第三产业收入的总和超过了当年经济收入的一半，此选项正确，不符合题意；
D.其它收入为5%×2x=0.1x，引进电商平台前其它收入为4%x=0.04x，其它收入比引进电商平台前增加了一倍以上，此选项正确，不符合题意；
故选：B.
设引进电商平台前的收入为x，则引进电商平台后收入为2x，再根据扇形统计图的概念逐一判断即可．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
9.【答案】D
【解析】解：设竿长为x尺，绳索长为y尺，
∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；
∴y=x+5，
∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺，
∴x−12y=5，
∴y−x=5x−12y=5，
故选：D.
根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺列方程．
此题主要考查古代问题与二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①∵−0.5=[−0.5]+{−0.5}=−1+0.5，
∴{−0.5}=0.5；①错误；
②∵x−1<[x]≤x，y−1<[y]≤y
∴x+y−2<[x]+[y]≤x+y，
则[x]+[y]=n或n−1，故②错误；
③∵[x]≤x<[x]+1，
[y]≤y<[y]+1，[z]≤z<[z]+1，[x]+[y]+[z]≤x+y+z<[x]+1+[y]+1+[z]+1
..6≤x+y+z<9，
则[x+y+z]所有可能的值为6，7，8，故③正确；
④3[x]−1={x}+2x，
3[x]−1=3x−[x]
4[x]=3x+1，
∵x−1<[x]≤x，
∴x−1<3x+14≤x，
∴4x−4<3x+13x+1≤4x，
∴1≤x<5.
故④错误；
故选：A.
根据x=[x]+{x}，[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分依次判断即可．
本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．
11.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵点P(2,m)在第四象限内，
∴m<0，
则m的值可以为：−2(答案不唯一).
故答案为：−2(答案不唯一).
直接利用第四象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
12.【答案】假
【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；
故答案为：假．
根据平行线的性质判断命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13.【答案】750
【解析】解：根据题意可得记号豆子的比例为230=115，
此时瓶中的豆子总粒数大约是：50÷115=750(粒).
故答案为：750.
首先计算出第二次取出的记号豆子占所有记号豆子的比例，再用第二次取出的豆子数除以记号豆子的比例即可求出．
本题主要考查了应用抽样调查的方法计算总数，注意要理解抽样调查和普查的区别．
14.【答案】±8
【解析】解：设这个数为x，则根据题意可知3x=4，解之得x=64；
即64的平方根为±8.
故答案为±8.
根据立方根的定义可知，这个数为64，故这个数的平方根为±8.
本题综合考查的是平方根和立方根的计算，要求学生能够熟练掌握和应用．
15.【答案】1
【解析】解：∵x=2y=−1是二元一次方程ax+by=3的解，
∴2a−b=3.
∴原式=2(2a−b)−5=2×3−5=1.
故答案为：1.
将x=2y=−1代入二元一次方程ax+by=3中得出2a−b=3，然后整体代入可得结论．
本题主要考查了二元一次方程的解．利用整体代入可使运算简便．
16.【答案】40
【解析】解：∵半径为10cm的半圆的直径长为20cm，
∴平移后阴影部分的面积恰好是长为4cm，宽为10cm的矩形，
∴S阴影=10×4=40cm2.
故答案为：40.
先求出半径为10cm的半圆的直径长，再根据平移后阴影部分的面积恰好是长为10cm，宽为4cm的矩形，再根据矩形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是图形平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
17.【答案】−14
【解析】解：由方程组{x−y=m−1①3x+2y=4m+5②得，
②-①×2得，
x+4y=2m+7，
因为x+4y≤3，
所以2m+7≤3，
解得m≤−2.
解不等式z−4<−1得，
z<3，
解不等式5z−m>0得，
z>m5，
因为关于z的不等式组z−4<−15z−m>0有解且最多3个整数解，
所以−1≤m5<3，
解得−5≤m<15，
综上所述，m的取值范围是：−5≤m≤−2，
所以满足条件的所有整数m的值之和为：−5−4−3−2=−14.
故答案为：−14.
根据所给关于x，y的方程组及x+4y≤3，得出关于m的不等式，再由关于z的不等式组有解，且最多3个整数解得出关于m的不等式，最终求出m的取值范围即可解决问题．
本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解、解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式(组)及解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
18.【答案】1101 5413或9909
【解析】解：设四位自然数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d(a、b、c、d是整数，且1≤a，b，c，d≤9)
由题意知，b≥c，a=b+c，d=b−c，且a、b、c、d都是自然数，
求最小的“奇异数”，当a最小时，即a=1时，
∵b≥c，b最小为1，
∴b+c=a=1
∴c=0，d=b−c=1，
则最小的“奇异数“是1101.
设这个数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d(a、b、c、d是整数，且1≤a，b，c，d≤9)
这个数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差表示为：100b+10c+d−7a，
∵a=b+c，d=b−c，
100b+10c+d−7a
=100b+10c+b−c−7(b+c)
=94b+2c
由题意得：94b+2c−113=7b+3b+2c−113为整数，即3b+2c−1为13的倍数．
∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c为整数，且1≤b+c≤9，
∴1≤3b+2c−1≤26∴3b+2c−1=13或26，
①当3b+2c−1=13时(b≥c)，得b=4，c=1，
∴a=4+1=5，d=4−1=3这个数为5413.
②若3b+2c−1=26时(b≥c)，则b=9，c=0，
∴a=9+0=9，d=9−0=9.
∴这个数是9909.
故答案为：1101；5413，9909.
求最小的数，即求千位上的数字最小时的数．先确定a−1，再根据a=b+c，d=b−c确定b，c，d的值，从而可得最小的奇异数．根据题意表示将式子化为关于b和c的代数式，一个“奇异数”的后三位数字所表示的数减去千位数字的7倍得到的结果被13除余1，因为a=b+c，d=b−c，列出式子，100b+10c+d−7a=94b+2c，因此94b+2c−113=7b+3b+2c−113为整数，1至9的自然数对94b+2c进行分析，分情况讨论3b+2c−1的值可得结论．
本题考查了整式的加减，解决本题的关键根据“奇异数”定义列出代数式并解答．
19.【答案】解：(1) (−4)2−3−27+|1− 2|
=4−(−3)+ 2−1
=4+3+ 2−1
=6+ 2.
(2) 214+ 3( 3−1 3)
=32+3−1
=72.
【解析】(1)首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)首先计算开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20.【答案】90∘∠BEQ∠DFE等量代换 垂直的定义
【解析】(1)解：如图所示．
(2)证明：∵QE⊥BC(已知)，
∴∠BEQ=90∘(垂直的定义).
∵PD//BC(已知)，
∴∠DFE=∠BEQ(两直线平行，同位角相等).
∴∠DFE=90∘(等量代换).
∴QF⊥PD(垂直的定义).
故答案为：90∘；∠BEQ；∠DFE；等量代换；垂直的定义．
(1)根据题意直接作图即可．
(2)结合垂直的定义、平行线的性质填空即可．
本题考查作图-复杂作图、垂线、平行线的性质，熟练掌握垂直的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)由①，得y=2x−2.③
把③代入②，得4x+5(2x−2)=11.
解得x=32，
把x=32代入③，得y=1.
所以这个方程组的解是x=32,y=1.
(2)由①，得3x+2y=−12.③，
③-②，得6y=−18，
y=−3.
把y=−3代入③，得3x−6=−12.
解得x=−2.
所以这个方程组的解是x=−2,y=−3.
【解析】(1)方程组利用代入消元法求解即可；
(2)把方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)x−32−4x−14≥1，
2(x−3)−(4x−1)≥4，
2x−6−4x+1≥4，
2x−4x≥4+6−1，
−2x≥9，
x≤−4.5；
(2){3(x+2)⩽5x+8①x−4解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x<3，
所以不等式组的解集是−1≤x<3.
【解析】(1)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
(2)先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集是解(2)的关键．
23.【答案】15 10
【解析】解：(1)样本容量为18÷30%=60，
C组的频数为60×25%=15，
n=660×100=10；
故答案为：15，10；
(2)B组的人数是60×20%=12.
补全频数分布直方图如图所示：
(3)样本A、B两组的百分比的和为6+1260×100%=30%，
1200×30%=360(名)，
答：该校约有360名学生需进一步加强安全教育．
(1)根据D组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义即可求解；
(2)根据B组的百分比求出B组的人数，即可补全频数分布直方图；
(3)利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解．
本题考查读扇形统计图、频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，解题的关键是利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求．
由图可得，A(−2,−1)，B1(−1,1).
(2)∵PA1//x轴，A1(1,4)，
∴点P的纵坐标为4.
设点P的坐标为(m,4)，
∵三角形OPA1的面积为三角形ABC面积的43倍，
∴12|m−1|×4=43×12×5×3，
解得m=6或−4，
∴点P的坐标为(6,4)或(−4,4).
【解析】(1)根据平移的性质作图即可，由图可得答案．
(2)由题意可知，点P的纵坐标为4.设点P的坐标为(m,4)，则可列方程为12|m−1|×4=43×12×5×3，求出m的值，即可得出答案．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
25.【答案】5
【解析】解：(1)根据题意得：(640−100×2−20×5)÷68
=(640−200−100)÷68
=340÷68
=5(张)，
∴还用了5张B型优惠券．
故答案为：5；
(2)设顾客乙用了x张A型优惠券，y张B型优惠券，
根据题意得：x+y=6100x+68y=536，
解得：x=4y=2.
答：顾客乙用了4张A型优惠券，2张B型优惠券；
(3)设小丽使用a张A型优惠券，b张B型优惠券，c张C型优惠券．
①若小丽使用A，B两种不同类型的优惠券消费，则100a+68b=708，
∴a=177−17b25，
∵a，b均正整数，且a≤15，b≤15，
∴a=3，b=6，
∴小丽使用3张A型优惠券，6张B型优惠券；
②若小丽使用B，C两种不同类型的优惠券消费，则68b+20c=708，
∴c=177−17b5，
∵b，c均为正整数，且b≤15，c≤15，
∴b=6，c=15，
∴小丽使用6张B型优惠券，15张C型优惠券；
③若小丽使用A，C两种不同类型的优惠券消费，则100a+20c=708，
∴c=177−25a5，
∵a，c均为正整数，且a≤15，c≤15，
∴方程无解．
综上所述，小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：使用3张A型优惠券，6张B型优惠券；
方法2：使用6张B型优惠券，15张C型优惠券．
(1)利用使用B型优惠券的张数=(优惠的总钱数−100×使用A型优惠券的张数−20×使用C型优惠券的张数)÷68，即可求出结论；
(2)设顾客乙用了x张A型优惠券，y张B型优惠券，根据“顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设小丽使用a张A型优惠券，b张B型优惠券，c张C型优惠券，分①小丽使用A，B两种不同类型的优惠券消费、②小丽使用B，C两种不同类型的优惠券消费及③小丽使用A，C两种不同类型的优惠券消费三种情况考虑，根据共优惠了708元，可列出关于a，b(b,c或a，c)的二元一次方程，结合a，b均正整数且a≤15，b≤15(b,c均为正整数且b≤15，c≤15或a，c均为正整数且a≤15，c≤15)，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
26.【答案】(1)解：∵AC//BD，
∴∠B+∠BAD=180∘，∠CAE+∠AED=180∘，
∵∠B=68∘，
∴∠BAD=180∘−∠B=180∘−68∘=112∘.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAD=12×112∘=56∘.
∴∠AED=180∘−∠CAE=180∘−56∘=124∘；
(2)证明：过点F作FM//AC，如图2所示：
∵AC//BD，
∴AC//FM//BD，
∴∠CFM=∠ACF，∠MFD=∠FDE，
∴∠CFM+∠MFD=∠ACF+∠FDE，
即∠DFC=∠ACF+∠FDE，
∵∠DFC=∠FCD+∠FDE，
∴∠ACF=∠FCD
∴CF平分∠ACD；
(3)解：∵∠ABF=3∠FBE，
设∠FBE=α，则∠ABF=3α.
∴∠ABE=4α.
∵AC//BD，
∴∠ABE+∠BAC=180∘，∠CAE=∠AEB，
∴∠BAC=180∘−∠ABE=180∘−4α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=12∠BAC=90∘−2α，
∴∠AEB=∠AEB=90∘−2α，
∵DG//EA，
∴∠GDB=∠AEB=90∘−2α
∵CD⊥BD，
∴∠CDB=90∘
∴∠CDG=90∘−∠GDB=90∘−(90∘−2α)=2α.
∴∠PBF=∠CDG=2α.
①当点P在线段AF上时，如图3①所示：
∠ABP=∠ABF−∠PBF=3α−2α=α，∠EBP=∠FBE+∠PBF=2α+α=3α，
∴∠ABP∠EBP=α3α=13，
②当点P在线段AF的延长线上时，如图3②所示：
∠ABP=∠ABF+∠PBF=3α+2α=5α，∠EBP=∠PBF−∠FBE=2α−α=α，
∴∠ABP∠EBP=5α5=5.
∴∠ABP∠EBP的值为13或5.
【解析】(1)由AC//BD得∠B+∠BAD=180∘，∠CAE+∠AED=180∘，则∠BAD=180∘−∠B=112∘，由AE平分∠BAD得∠BAE=∠CAE=56∘.由此可得∠AED的度数；
(2)过点F作FM//AC，证明AC//FM//BD，则∠CFM=∠ACF，∠MFD=∠FDE，进而得∠DFC=∠ACF+∠FDE，再根据∠DFC=∠FCD+∠FDE得∠ACF=∠FCD据此可得出结论
(3)设∠FBE=α，则∠ABF=3α.则∠ABE=4α.根据AC//BD得∠BAC=180∘−∠ABE=180∘−4α，则∠CAE=90∘−2α，∠AEB=∠AEB=90∘−2α，再根据DG//EA，CD⊥BD得∠GDB=∠AEB=90∘−2α，∠CDG=90∘−∠GDB=2α.则∠PBF=∠CDG=2α.①当点P在线段AF上时，则∠ABP=∠ABF−∠PBF=α，∠EBP=∠FBE+∠PBF=3α，由此可求出∠ABP∠EBP的值，②当点P在线段AF的延长线上时，则∠ABP=∠ABF+∠PBF=5α，∠EBP=∠PBF−∠FBE=α，由此可求出∠ABP∠EBP的值，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，垂线定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，垂线定义是解决问题的关键．