2024年重庆市铜梁区中考数学一模试卷

这是一份2024年重庆市铜梁区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在﹣2.5，1，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2.5B．1C．0D．2
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．（ab）3＝ab3D．a6÷a2＝a3
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似三角形，点O为位似中心．OA＝AD，则△ABC与△DEF的位似比为（ ）
A．1：1B．2：3C．1：2D．1：3
5．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，若OA＝5，AB＝12，则BC的长为（ ）
A．5B．7C．8D．13
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．（4分）如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动，第①个图案由2个等边三角形组成，第②个图案由6个等边三角形组成，第③个图案由10个等边三角形组成…按照这样的规律排列下去，则第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为（ ）
A．17B．22C．27D．32
8．（4分）一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ）
A．B．
C．x（x+1）＝30D．x（x﹣1）＝30
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF．若∠BEF＝α，则∠CDP一定等于（ ）
A．90°﹣αB．2αC．180°﹣3αD．45°+α
10．（4分）对于三个整式A、B、C按顺序组成“A□B□C”，在每个“□”中任意添加“+、﹣、x”中的一个符号组成算式，并按运算法则计算结果，称为对A、B、C进行“添号操作”．例如：对三个整式x、x﹣2、x+2的“添号操作”可以是：x+（x﹣2）+（x+2）＝3x，也可以是x•（x﹣2）﹣（x+2）＝x2﹣3x﹣2．给出下列说法：
①对三个整式x+2、x、x﹣2进行“添号操作”后的结果可能是x；
②当x＝1时，对三个整式x、x+1、x+2进行“添号操作”后，得到的整式的值可能是﹣5；
③对三个整式x+2、x、x进行多次“添号操作”后，最多可得到8个不同的整式．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）据统计，2024年春节期间，重庆接待外地游客约2380000人次．数字2380000用科学记数法表示为 ．
12．（4分）计算：＝ ．
13．（4分）某校开展课后延时服务，组建了四个棋类社团：中国象棋、围棋、跳棋、国际象棋，规定每人只能选择参加其中一个社团，小李和小张准备随机选择一个社团报名，则两人刚好选择同一个社团的概率为 ．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，直线OA的解析式为，若点A的横坐标是2，则k＝ ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E，F分别是边BC，CD上两点，△AEF是等腰直角三角形，则DF的长为 ．
16．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，以点C为圆心，CB长为半径画弧BD，连接BF，DF．若AB＝1，则阴影部分的面积为 ．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞9，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（4分）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数M＝，若各个数位上的数字均不为0．且满足|﹣|＝66．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵|92﹣26|＝66，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵|26﹣89|＝63≠66，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；如果将一个“双顺数”M＝的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数M′＝，并且规定：F（M）＝．若是整数，则符合条件的M的最小值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小最必须给出必要的演算过程玻推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（a+b）（a﹣b）+b（b+2）；
（2）．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥BC，垂足为点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AF＝AE，求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝① ．
又∵AE⊥CD，AF⊥BC，
∴∠AFB＝② ＝90°．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（AAS）．
∴④ ．
∴平行四边形ABCD是菱形（⑤ ）．
21．（10分）2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．为增强学生国家安全意识，某校开展了国家安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：88，89，89．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：64，71，73，80，82，85，90，90，91，91，91，92，95，95，100．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校八年级有450人参赛、九年级有500人参赛，请你估计该校两个年级参加此次竞赛活动中成绩为优秀的总人数．
22．（10分）某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？
（2）实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5，动点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣A运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y．请解答下列问题：
（1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y的图象；
（2）根据函数图象，写出函数y的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y＝7时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
24．（10分）星期天早上，小明和小华在人民公园晨跑，相约在D处见面．小明从A入口进入公园，并向正北方向跑200m后到达E处，再从E处沿着东北方向跑步一段距离后到达D处．入口B在入口A的正东方向，小华从B入口进入公园后，沿着正北方向跑步100m后到达C处，然后从C处沿着北偏西37°的方向跑400m到达D处．
（参考数据：≈1.41，sin37°≈，cs37°≈）
（1）求DE的长度；（结果精确到1m）
（2）小明和小华在D处见面后，约定继续晨跑，同时出发前往A处，小明以200m/min的速度沿D﹣C﹣B﹣A路线跑步，小华以100m/min的速度沿D﹣E﹣A路线跑步；请通过计算说明他们谁先到达A处？（结果精确到0.1min）
25．（10分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y′上一点，连接CM，当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
26．（10分）已知如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上两点（不与端点重合），且BD＝CE，CD与AE相交于点F．
（1）如图1，求∠AFC的度数；
（2）如图2，将线段AF绕点A逆时针旋转120°后得到AG，连接BG交AE于点K，求证：DF+AK＝KE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CK，当CK最小时，请直接写出的值．
2024年重庆市铜梁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分；共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）在﹣2.5，1，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2.5B．1C．0D．2
【解答】解：∵2＞1＞0＞﹣2.5，
∴在﹣2.5，1，0，2这四个数中，最大的数是2．
故选：D．
2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从物体正面看，是一个直角梯形．
故选：B．
3．（4分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．（ab）3＝ab3D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A．∵a2•a3＝a5，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
B．∵（a2）3＝a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（ab）3＝a3b3，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵a6÷a2＝a4，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似三角形，点O为位似中心．OA＝AD，则△ABC与△DEF的位似比为（ ）
A．1：1B．2：3C．1：2D．1：3
【解答】解：∵OA＝AD，
∴＝，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：2，
故选：C．
5．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，若OA＝5，AB＝12，则BC的长为（ ）
A．5B．7C．8D．13
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OB＝＝＝13，
∴BC＝OB﹣OC＝13﹣5＝8．
故选：C．
6．（4分）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【解答】解：，
∵，即，
∴，
故选：C．
7．（4分）如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动，第①个图案由2个等边三角形组成，第②个图案由6个等边三角形组成，第③个图案由10个等边三角形组成…按照这样的规律排列下去，则第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为（ ）
A．17B．22C．27D．32
【解答】解：由题目可知：
第①个图案由2个等边三角形组成，即2＝2×1；
第②个图案由6个等边三角形组成，即6＝2×2+2×1；
第③个图案由10个等边三角形组成，即10＝2×3+2×2；
…，
则第n个图案中所包含的等边三角形的个数为：2n+2（n﹣1）＝4n﹣2，
∴第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为：4×6﹣2＝22，
故选：B．
8．（4分）一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ）
A．B．
C．x（x+1）＝30D．x（x﹣1）＝30
【解答】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有（x﹣1）件礼物，
根据题意，得 x（x﹣1）＝30．
故选：D．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF．若∠BEF＝α，则∠CDP一定等于（ ）
A．90°﹣αB．2αC．180°﹣3αD．45°+α
【解答】解：连接BP交EF于O，如图：
由正方形的对称性可知，∠CDP＝∠CBP，
∵四边形ABCD是正方形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形BFPE是矩形，
∴OE＝OB，
∴∠EBP＝∠BEF＝α，
∴∠CBP＝90°﹣∠EBP＝90°﹣α，
∴∠CDP＝90°﹣α；
故选：A．
10．（4分）对于三个整式A、B、C按顺序组成“A□B□C”，在每个“□”中任意添加“+、﹣、x”中的一个符号组成算式，并按运算法则计算结果，称为对A、B、C进行“添号操作”．例如：对三个整式x、x﹣2、x+2的“添号操作”可以是：x+（x﹣2）+（x+2）＝3x，也可以是x•（x﹣2）﹣（x+2）＝x2﹣3x﹣2．给出下列说法：
①对三个整式x+2、x、x﹣2进行“添号操作”后的结果可能是x；
②当x＝1时，对三个整式x、x+1、x+2进行“添号操作”后，得到的整式的值可能是﹣5；
③对三个整式x+2、x、x进行多次“添号操作”后，最多可得到8个不同的整式．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对三个整式x+2、x、x﹣2进行“添号操作”后可以是：（x+2）﹣x+（x﹣2）＝x，
∴结果可能为x，
故①正确；
对当x＝1时，对三个整式x、x+1、x+2进行“添号操作”后，可以是2﹣（x+1）（x+2）＝﹣x2﹣2x﹣2＝﹣1﹣2﹣2＝﹣5，
∴最大结果是﹣5，
故②正确；
③对三个整式x+2、x、x进行多次“添号操作”后，可以是（x+2）+x+x或（x+2）+x•x或（x+2）+x﹣x或（x+2）﹣x﹣x或（x+2）﹣x•x或（x+2）•x•x或（x+2）•x+x或（x+2）•x﹣x，共8个，故③正确；
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）据统计，2024年春节期间，重庆接待外地游客约2380000人次．数字2380000用科学记数法表示为 ．
【解答】解：2380000＝2.38×106．
故答案为：2.38×106．
12．（4分）计算：＝ ．
【解答】解：
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
13．（4分）某校开展课后延时服务，组建了四个棋类社团：中国象棋、围棋、跳棋、国际象棋，规定每人只能选择参加其中一个社团，小李和小张准备随机选择一个社团报名，则两人刚好选择同一个社团的概率为 ．
【解答】解：将中国象棋、围棋、跳棋、国际象棋四个棋类社团分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人刚好选择同一个社团的结果有4种，
∴两人刚好选择同一个社团的概率为＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，直线OA的解析式为，若点A的横坐标是2，则k＝ ．
【解答】解：∵直线OA的解析式为，点A的横坐标是2，
∴点A的纵坐标是y＝3，
∴A（2，3），
∵点A在反比例函数第一象限的图象上，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E，F分别是边BC，CD上两点，△AEF是等腰直角三角形，则DF的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB＝EC＝3，BE＝CF，
∴BE＝BC﹣EC＝2，
∴CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1．
故答案为：1．
16．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，以点C为圆心，CB长为半径画弧BD，连接BF，DF．若AB＝1，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接CF，则圆心O在CF上，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC＝CD＝DE＝AB＝1，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝＝120°，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝30°＝∠EDF，
∴∠FBC＝∠FDC＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△FBC中，BC＝1，∠BCF＝＝60°，
∴BF＝BC＝，
同理FD＝，
∴S阴影部分＝S四边形FBCD﹣S扇形CBD
＝1××2﹣
＝﹣．
故答案为：﹣．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞9，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＞9，
∴a≤9，
分式方程去分母得：2y﹣1＝8﹣a+4（y﹣2），
解得：y＝，
∵分式方程的解为正整数，y≠2，
∴a﹣1＝2或6或8（a﹣1≠4，即a≠5），
解得：a＝3或7或9，
则所有满足条件的整数a的值之和是3+7+9＝19．
故答案为：19．
18．（4分）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数M＝，若各个数位上的数字均不为0．且满足|﹣|＝66．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵|92﹣26|＝66，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵|26﹣89|＝63≠66，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；如果将一个“双顺数”M＝的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数M′＝，并且规定：F（M）＝．若是整数，则符合条件的M的最小值是 ．
【解答】解：由题意|﹣╞66，当a＝9，b＝9时，99﹣66＝33，此时这个四位数是9933．
故最大的“双顺数”是 为9933．
当千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后设M＝1000a+100b+10c+d，M′＝1000c+100d+10a+b，∴F（M）＝＝10a+10c+b+d①，又∵是整数，令＝k，可设10a+10c+b+d＝7M，又||＝66，
不妨设＞，
∴＝66，
根据10＜≤33，76＜≤99，知86＜≤132，即86＜7k≤132，所以13≤k≤18，
∵是整数，
∴k为偶数，
∴k的取值为14，16，18三个，
则对应的M值为8216，1682，8923，2389，9630，3096，其中的最小值为1682．
故M的最小值是：1682．
故答案为：9933、1682．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小最必须给出必要的演算过程玻推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（a+b）（a﹣b）+b（b+2）；
（2）．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）+b（b+2）
＝a2﹣b2+b2+2b
＝a2+2b；
（2）
＝•
＝•
＝．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E．
（1）尺规作图：过点A作AF⊥BC，垂足为点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若AF＝AE，求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝① ．
又∵AE⊥CD，AF⊥BC，
∴∠AFB＝② ＝90°．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（AAS）．
∴④ ．
∴平行四边形ABCD是菱形（⑤ ）．
【解答】（1）解：如图，AF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
又∵AE⊥CD，AF⊥BC，
∴∠AFB＝∠AED＝90°．
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（AAS）．
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形（两邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为：∠D，∠AED，AF＝AE，AB＝AD，两邻边相等的平行四边形为菱形．
21．（10分）2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．为增强学生国家安全意识，某校开展了国家安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：88，89，89．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：64，71，73，80，82，85，90，90，91，91，91，92，95，95，100．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校八年级有450人参赛、九年级有500人参赛，请你估计该校两个年级参加此次竞赛活动中成绩为优秀的总人数．
【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数a＝89，
九年级抽取的学生竞赛成绩的众数b＝91，优秀率m%＝×100%＝80%，即m＝80，
故答案为：89、91、80；
（2）九年级成绩更好，
因为九年级学生竞赛成绩的中位数、众数和优秀率均高于八年级，
所以九年级国家安全知识掌握更好；
（3）450×60%+500×80%＝670（人），
答：估计该校两个年级参加此次竞赛活动中成绩为优秀的总人数约为670人．
22．（10分）某建筑公司承建一段6000米的高速路，计划由甲、乙两个工程队同时施工，12天可完成总工程，已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米？
（2）实际施工时，因为遭遇雨季，甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米，甲乙同时施工，完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米？
【解答】解：（1）设甲工程队计划每天施工m米，则乙工程队计划每天施工（x+100）米，
根据题意得：12（x+x+100）＝6000，
解得x＝200，
∴x+100＝200+100＝300，
∴甲工程队计划每天施工200米，乙工程队计划每天施工300米；
（2）∵完成总工程时，甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的，
∴甲工程队施工总量为6000×＝2000（m），乙工程队施工总量为6000×＝4000（m）；
根据题意得＝，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，符合题意，
∴200﹣m＝200﹣100＝100，300﹣m＝300﹣100＝200，
∴甲工程队实际每天施工100米，乙工程队实际每天施工200米．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5，动点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣A运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y．请解答下列问题：
（1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y的图象；
（2）根据函数图象，写出函数y的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y＝7时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）．
【解答】解：（1）当0＜x≤5时，点P在BC上，y＝BP•AC＝2x；
当5＜x≤9时，点P在AC上，y＝AP•BC＝﹣x+，
综上，y＝．
y与x的函数图象如图所示，
（2）当0＜x≤5时，y随x的增大而增大（答案不唯一）．
（3）令y＝2x＝7，x＝；
令y＝﹣x+＝7，x＝6.2．
∴当y＝7时x的值为或6.2．
24．（10分）星期天早上，小明和小华在人民公园晨跑，相约在D处见面．小明从A入口进入公园，并向正北方向跑200m后到达E处，再从E处沿着东北方向跑步一段距离后到达D处．入口B在入口A的正东方向，小华从B入口进入公园后，沿着正北方向跑步100m后到达C处，然后从C处沿着北偏西37°的方向跑400m到达D处．
（参考数据：≈1.41，sin37°≈，cs37°≈）
（1）求DE的长度；（结果精确到1m）
（2）小明和小华在D处见面后，约定继续晨跑，同时出发前往A处，小明以200m/min的速度沿D﹣C﹣B﹣A路线跑步，小华以100m/min的速度沿D﹣E﹣A路线跑步；请通过计算说明他们谁先到达A处？（结果精确到0.1min）
【解答】解：（1）过D作GH∥AB交AE的延长线于G，交BC的延长线于H，
则四边形ABHG是矩形，
∴AG＝BH，GH＝AB，
在Rt△DHC中，cs∠DCG＝，
∴cs37°＝≈，
∴CH＝320，
∴AG＝BH＝BC+CH＝100+320＝420（m），
∴AG＝BH＝420m，
∴EG＝AG﹣AE＝220（m），
∵∠DEG＝45°，∠G＝90°，
∴∠EDG＝∠DEG＝45°，
∴DE＝GE＝220（m）≈308（m），
答：DE的长度约为308m；
（2）由（1）知，DE＝308m，AE＝200m，
∴小华跑了308+200＝508（m），
∴小华用了508÷100≈5.1（min），
∵DH＝CD×sin37°＝400×＝240（m），
∴小明跑了400+100+240+220＝960（m），
∴小明用了960÷200＝4.8（min），
∵4.8＜5.1，
∴小明先到达A处．
25．（10分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y′恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y′上一点，连接CM，当∠MCF+∠PCB＝135°时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3中，
∴，
∴a＝﹣1，b＝﹣2．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵A（0，3），B（﹣3，0），
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣3t，
∵∠BAO＝45°，
∴AE＝KE，
∴KE＝3﹣t﹣3＝﹣t，
∴PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P（﹣2，3）；
（3）设抛物线向右平移n个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
∵抛物线平移后经过原点，
∴﹣（1﹣n）2+4＝0，
解得n＝3或n＝﹣1（舍），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
∵P（﹣2，3），
∴PR＝3，RO＝2，
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴C（1，0），
∴OC＝1，
∴RC＝RO+OC＝3，
∴RC＝RP，
∴△PRC为等腰Rt△，
∴∠PCB＝45°，
∵∠MCF+∠PCB＝135°，
∴∠MCF＝90°，
过C作CM⊥CF，交移动后的抛物线于M．
当x＝1时，
y＝﹣（x﹣2）2+4＝3，
∴M（1，3）．
26．（10分）已知如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上两点（不与端点重合），且BD＝CE，CD与AE相交于点F．
（1）如图1，求∠AFC的度数；
（2）如图2，将线段AF绕点A逆时针旋转120°后得到AG，连接BG交AE于点K，求证：DF+AK＝KE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CK，当CK最小时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵BD＝CE，
∴△BCD≌△CAE（SAS），
∴∠BCD＝∠CAE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠CAE+∠ACD，
∴∠CAE+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠AFC＝120°；
（2）证明：如图1，
延长BA至H，使AH＝AB，延长EK至R，使KR＝KE，连接RG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠HAC＝120°，AH＝AC，
∵线段AF绕点A逆时针旋转120°后得到AG，
∴∠GAF＝120°，AG＝AF，
∴∠GAF＝∠HAC，
∴∠CAF＝∠GAH，
∴△ACF≌△AHG（SAS），
∴∠H＝∠ACF，
∵∠ACB＝∠BAC＝60°，
由（1）得，
△BCD≌△CAE，∠BCD＝∠CAE，
∴∠BDC＝∠AEC，∠ACF∠BAE，
∴∠ADF＝∠AEB，∠H＝∠BAE，
∴AK∥HG，
∴，
∴BK＝KG，
∵∠GKR＝∠BKE，
∴△GKR≌△BKE（SAS），
∴∠R＝∠AEB，
∴∠R＝∠ADF，
∵∠EAC＝120°，
∴∠RAG＝60°，
∵∠CAF＝120°，
∴∠AFD＝60°，
∴∠RAG＝∠AFD，
∵AG＝AF，
∴△AGR≌△FAD（AAS），
∴AR＝DF，
∵AR+AK＝RK＝KE，
∴DF+AK＝KE；
（3）如图2，
设AB＝3a，
由（2）知，
△ACF≌△AHG，
∴∠AGH＝∠AFC＝120°，AH＝AC，
作等边三角形AHX，作△AHX的外接圆O，
则点G在⊙O上，
连接OB，取OB的中点I，连接IK，
∴IK＝OG＝OA，
∵∠AQH＝2∠X＝120°，
∴OG＝OA＝＝，
∴IK＝OG＝，
∴点K在以I为圆心，的圆上运动，
连接IC，交⊙I于F′，此时CK最小，
取BE的中点W，连接IW，QA的延长线交BC于V，
∵∠BAV＝∠OAH＝30°，
∴AV⊥BC，
∵AV＝AC＝，
∴QV＝OA+AV＝＝，
∴IW＝EQ＝，
∵BW＝WV＝BE＝BC＝，
∴CW＝BC﹣BW＝3a﹣＝，
∴CI＝＝＝，
∴CK＝CI﹣IK＝，
∴＝．年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
86
a
90
60%
九
86
90
b
m%
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
86
a
90
60%
九
86
90
b
m%