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2023年重庆市永川区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年重庆市永川区中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年重庆市永川区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. 6 B. −6 C. 16 D. −16
2. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
4. 五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h(米)和他坐上摩天轮后旋转的时间t(分钟)之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 摩天轮旋转一周需要6分钟
B. 小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C. 小明离地面的最大高度为42米
D. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
5. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1：2
B. 1：4
C. 2：1
D. 4：1
6. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是( )
A. 34 B. 40 C. 49 D. 59
7. 估计 2( 23− 2)的值应在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间．
8. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A. 100(1+x)=121 B. 100(1−x)=121
C. 100(1+x)2=121 D. 100(1−x)2=121
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE、DE，若∠B=30°，AC=3，则BD的长度是( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 3
10. 定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)，满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
(1)代数式：−3x2+2x的“同心式”为3x2−2x；
(2)若8mx2+nx−5与6nx2−4x+5互为“同心式”，则(m+n)2023的值为1；
(3)当b1=b2=0时，无论x取何值时，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
(4)若A、B互为“同心式”，且b12−36a1c1=0，则A−2B=0有两个相等的实数根．
其中，正确的结论有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：(3−π)0+|− 3|= ______ ．
12. 截止2022年底，重庆私人汽车拥有量约为8200000辆，请把8200000用科学记数法表示为______ ．
13. 已知2x|m|−2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=______．
14. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是______．
15. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是______．
16. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为______．
17. 若关于x的一元一次不等式组5x−23≤x−2a−x2
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作出∠ABC的角平分线BE，交AD于点E；在线段BC上截取BF=BA，连接EF；
(2)在(1)所作图中，经过学习小组讨论发现四边形ABFE是菱形，并给出以下证明，请你补充完整．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ______ ；
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴ ______ ．
∴∠AEB=∠ABE．
∴ ______ ．
∵AB=BF，
∴AE=BF.而AE//BF，
∴ ______ ．
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为菱形．
20. (本小题10.0分)
计算：
(1)x(x−2y)+(x+y)2；
(2)(2−mm−3)÷m2−36m2−6m+9．
21. (本小题10.0分)
为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识.某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
C
根据以上信息，解答下列问题．
(1)由上表植空.a= ______ .b= ______ .c= ______
(2)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动.估计参加此次测试活动成合格的学生数是多少？
(3)根据上述数据.你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)
22. (本小题10.0分)
车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱.某超市准备花10000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进了100斤．
(1)车厘子的实际进价为每斤多少元？
(2)若该品种的车厘子市场售价为40元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加20斤，超市决定将部分车厘子降价促销，当售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利4500元？
23. (本小题10.0分)
我省为实现5G网络全覆盖，2020−2025年拟建设5G基站七千个.如图，在坡度为i=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小符在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A、B、C、D均在同一平面内)(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
24. (本小题10.0分)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(a,4)和点B(−4,−2)，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集．
(3)点D(4,b)在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数的图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C(0,5)，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方(不与A、B重合)的一个动点，过点P作PM//y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM+NH的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，当点P满足(2)问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△CB′P′，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
(1)如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB=4，求AE的长度；
(2)如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA=∠EAB，求证：AB=AP+ 2BD；
(3)如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ=45°时，请直接写出DQBC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−6的相反数是6．
故选：A．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，即可得到∠2=45°−30°=15°．
【解答】
解：如图，
∵AB//CD，
∴∠1=∠ADC=30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，
∴∠2=45°−30°=15°，
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9−3=6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
(1)由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
(2)根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
(3)观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
(4)从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OB：OE=2：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比是4：1．
故选：D．
先根据位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB：DE=OB：OE=2：1，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，位似比等于相似比．
6.【答案】C
【解析】解：当n=1时，第1个图案的圆点的个数是y1=5+2=7个．
当n=2时，第2个图案的圆点的个数是y2=y1+3=5+2+3=10个．
当n=3时，第3个图案的圆点的个数是y3=y2+4=5+2+3+4=14个．
当n=4时，第4个图案的圆点的个数是y4=y3+5=5+2+3+4+5=19．
...
以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn=5+2+3+4+...+(n+1)
=5+n(2+n+1)2=5+n(n+3)2个．
∴当n=8时，第8个图案的圆点的个数是y8=5+8×(8+3)2=49个．
故选：C．
观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个的圆点数，从而解决该题．
本题主要考查学生的观察能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题．
7.【答案】C
【解析】解： 2( 23− 2)= 46−2，
∵36<46<49，
∴6< 46<7，
∴6−2< 46−2<7−2，
∴4< 26−2<5，
∴ 2( 23− 2)的值应在4和5之间．
故选：C．
先计算 2( 23− 2)的结果，再估算 46−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及等式的性质是正确解答的前提．
8.【答案】C
【解析】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100(1+x)2=121，
故选：C．
设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元，然后再根据价钱为100(1+x)元，表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n(一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
9.【答案】B
【解析】解：∵BC切圆于E，
∴OE⊥BC于E，
∴∠OEB=90°，
∵∠B=30°，
∴OE=12OB，
∵OE=OD，
∴OD=BD，
∴AO=OD=BD，
∴BD=13AB，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2×3=6，
∴BD=2．
故选：B．
连接OE，由切线的性质推出∠OEB=90°，又∠B=30°，得到OE=12OB，于是推出AO=OD=BD，因此BD=13AB，由∠C=90°，∠B=30°，求出AB=2AB=6，即可得到BD的长．
本题考查切线的性质，含30°角的直角三角形，关键是由含30°角的直角三角形的性质，得到BD=13AB．
10.【答案】B
【解析】解：(1)代数式：−3x2+2x的“同心式”为3x2+2x，故结论(1)不正确，不符合题意；
(2)若8mx2+nx−5与6nx2−4x+5互为“同心式”，则8m+6n=0，n=−4，
∴m=3，
∴(m+n)2023=−1，故结论(2)不正确，不符合题意；
(3)当b1=b2=0时，A=a1x2+c1，B=a2x2+c2，
∵a1+a2=0，c1+c2=0，
∴a1=−a2，c1=−c2，
∴A=−B，
∴无论x取何值时，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故结论(3)正确，符合题意；
(4)∵A、B互为“同心式”，
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
∴A−2B=(a1x2+b1x+c1)−2(a2x2+b2x+c2)
=(a1−2a2)x2+(b1−2b2)x+(c1−2c2)
=3a1x2−b1x+3c1=0，
∵b12=36a1c1，
∴Δ=(−b1)2−4⋅3a1⋅3c1=b12−36a1c1=0，
∴A−2B=0有两个相等的实数根，故结论(4)正确，符合题意．
故选：B．
根据定义分别判断即可．
本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质，正确理解新的定义是关键．
11.【答案】1+ 3
【解析】解：原式=1+ 3．
故答案为：1+ 3．
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】8.2×106
【解析】解：将8200000用科学记数法表示为：8.2×106．
故答案为：8.2×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】±4
【解析】解：由题意可得|m|−2=2，
解得，m=±4．
故答案为：±4．
一元二次方程必须满足两个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0．
由此可得|m|−2=2，求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．
14.【答案】23
【解析】解：列表如下
1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为46=23，
故答案为：23．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率mn．
15.【答案】π−2
【解析】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=12AB=2，四边形DMCN是正方形，DM= 2．
则扇形FDE的面积是：90π×22360=π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN，
∴△DMG≌△DNH(AAS)，
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π−2．
故答案为：π−2．
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
16.【答案】2.6
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=4，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=4，
又∵DE=AF=1，
∴CE=DF=3，
∴在△CDF和△BCE中，
CD=BC∠CDF=∠BCEDF=CE，
∴△CDF≌△BCE(SAS)，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=90°，
∵在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，
∴BE=5，
∴BE⋅CG=BC⋅CE，
∴CG=BC⋅CEBE=4×35=125，
∵△CDF≌△BCE(SAS)，
∴CF=BE=5，
∴GF=CF−CG=5−125=2.6．
故答案为：2.6．
先由正方形的性质及BC=4，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=1，得出CE=DF=3，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17.【答案】−6
【解析】解：解不等式组中第一个不等式可得：x≤−2，
解不等式组中第二个不等式可得：x>a−23，
∵原不等式组无解，
∴a−23≥−2，
解得：a≥−4，
将原分式方程两边同乘(y+1)去分母得：ay=6−2(y+1)，
整理得：(a+2)y=4，
∵分式的解为整数，且a≥−4，a为整数，
∴a=−4或−3或−1或0或2，
则−4−3−1+0+2=−6，
故答案为：−6．
解不等式组及分式方程，结合已知条件确定a的值，然后将它们相加即可．
本题考查根据含参不等式组的解集及分式方程解得情况确定参数的值，结合已知条件，解不等式组及分式方程后确定a的值是解题的关键．
18.【答案】1357或2468或3579 159
【解析】解：∵一个多位数右边的数字减去左边相邻的数字的差都是同一个数，
∴根据“阶梯数”的定义，阶梯为2的四位“阶梯数”可以为1357或2468或3579；
∵一元二次方程x2−x−(a−4)=0有实数解，
∴1+4(a−4)≥0，
解得a≥3.75，
∵a为整数，
∴a最小为4，
∵三位“阶梯数”的各位数字之和大于14小于18，
∴这个三位“阶梯数”为159；
故答案为：1357或2468或3579；159．
根据“阶梯数”的定义，阶梯为2的四位“阶梯数”可以为1357或2468或3579；由一元二次方程x2−x−(a−4)=0有实数解，可得a最小为4，即可得到答案．
本题考查一元二次方程根的判别式和因式分解的应用，解题的关键是读懂题意，理解“阶梯数”的定义．
19.【答案】AD//BC ∠ABE=∠CBE AB=AE 四边形ABFE为平行四边形
【解析】(1)解：如图，BE、BF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE．
∴AB=AE，
∵AB=BF，
∴AE=BF.而AE//BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为菱形．
故答案为：AD//BC，∠ABE=∠CBE，AB=AE，四边形ABFE为平行四边形．
(1)先利用基本作图作∠ABC的平分线，然后在BC上截取BF=BA即可；
(2)先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠AEB=∠CBE，再证明∠AEB=∠ABE得到AB=AE，接着证明AE=BF，于是可判断四边形ABFE为平行四边形，然后利用BA=BF可判断四边形ABFE为菱形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)原式=x2−2xy+x2+2xy+y2
=2x2+y2；
(2)原式=2(m−3)−mm−3⋅(m−3)2(m+6)(m−6)
=m−6m−3⋅(m−3)2(m+6)(m−6)
=m−3m+6．
【解析】(1)直接利用单项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而合并同类项得出答案；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21.【答案】7 7.5 50%
【解析】解：(1)∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=(7+8)÷2=7.5，
c=(5+2+3)÷20×100%=50%，
即a=7，b=7.5，c=50%；
故答案为：7；7.5；50%；
(2)根据题意得：1000×18+1820+20=900(人)，
答：参加此次测试活动成绩合格的学生人数是900人；
(3)八年级掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
∵七、八年级的平均数都是7，但是八年级的中位数7.5比七年级的中位数7大；八年级的众数8比七年级的众数7的大；八年级8分及以上人数所占百分比50%大于七年级8分及以上人数所占百分比45%．
∴八年级掌握垃圾分类知识较好．(写出一条理由即可)．
(1)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
(2)用样本估计总体即可；
(3)根据平均数、中位数和众数的意义解答即可．
本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，掌握数形结合的思想是关键．
22.【答案】解：(1)设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，
根据题意得：10000x=100000.8x−100，
解得：x=25．
经检验，x=25是原方程的解，
∴0.8x=0.8×25=20．
答：车厘子的实际进价为每斤20元；
(2)设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利4500元，
根据题意得：(m−20)[200+20(40−m)]=4500，
化简整理得：m2−70m+1225=0．
解得：m=35，
答：当售价定为35元时，可使促销部分的车厘子获利4500元．
【解析】(1)设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，根据“用同样的钱比预期多购进了100斤”列分式方程求解即可；
(2)设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利4500元，根据“每斤的利润×销售量=总利润”列方程求解即可．
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23.【答案】解：(1)如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4，
即DMCM=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=13米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=132，
解得k=1，
∴DM=5(米)，CM=12(米)，
答：D处的竖直高度为5米；
(2)斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
设DE=12a米，则BE=5a米，
又∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=(12+12a)米，
∴AE=AF−EF=12+12a−5=(7+12a)米，
在Rt△ADE中，DE=12a米，AE=(7+12a)米，
∵tan∠ADE=tan53°≈43，
∴7+12a12a≈43，
解得a=74，
∴DE=12a=21(米)，AE=7+12a=28(米)，
BE=5a=354(米)，
∴AB=AE−BE=28−354=774(米)，
答：基站塔AB的高为774米．
【解析】(1)通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=13米，由勾股定理可求出答案；
(2)设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(m≠0)过B(−4,−2)，
∴−2=m−4，
∴m=8，
∴反比例的解析式：y=8x；
∵反比例函数y=8x过A(a,4)，
∴a=2，
∴A(2,4)，
把A(2,4)和B(−4,−2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)，
∴2k+b=4−4k+b=−2，
解得k=1，b=2，
∴一次函数的解析式：y=x+2；
一次函数y=x+2的图象如下：
(2)依据图象可知，关于x的不等式kx+b≥mx的解集为：−4≤x<0或x ≥2.
(3)连接EA，如图所示：
∵D(4,b)，且在一次函数y=x+2图象上，
∴b=4+2=6，
∴D(4,6)，
∵DF⊥y轴，
∴E的纵坐标为6，
把y=6，代入y=8x；
得x=43，即EF=43，
∴DE=DF−EF=4−43=83，
∵A(2,4)，B(−4,−2)，D(4,6)，E(43,6)，
∴S四边形ABFE=S△FBD−S△AED=12×4×8−12×2×83=403．
【解析】(1)反比例函数y=mx(m≠0)过B(−4,−2)，求出m，求得反比例函数的解析式；把点A(a,4)代入求得的反比例函数的解析式，求出a，把A(2,4)和B(−4,−2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)，求出k、b，根据点A、B的坐标画出函数图象；
(2)依据图象直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集即可；
(3)四边形ABFE在平面直角坐标系中如图所示：先求出EF=43，根据S四边形ABFE=S△FBD−S△AED计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵点C(0,5)，OC=5OA，
∴A(1,0)，
将A(1,0)，C(0,5)代入y=x2+bx+c得：
0=1+b+c5=c，
解得：b=−6c=5，
∴抛物线的解析式是y=x2−6x+5；
(2)由x2−6x+5=0得x1=1，x2=5，
∴B(5,0)，
设BC解析式为y=kx+b，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
0=5k+b5=b，
解得k=−1b=5，
∴BC解析式为y=−x+5，
将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，
∴DE解析式为y=−x+11，
∵过点P作PM//y轴交DE于点M，交BC于点H，
∴MH=6，
∵B(5,0)、C(0,5)，
∴OB=OC，∠OCB=45°，
∵PM//y轴，
∴∠NHM=45°，
∵MN⊥BC，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MH⋅cos45°= 22MH=3 2，
PM+NH取最大值即是PM取最大值，
设P(m,m2−6m+5)，则M(m,−m+11)，
∴PM=(−m+11)−(m2−6m+5)=−m2+5m+6，
当m=−52×(−1)=52时，PM最大值为：−(52)2+5×52+6=494，
此时P(52,−154)，
∴PM+NH最大值为494+3 2，P(52,−154)；
(3)∵将△CBP绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△CB′P′，此时点B′恰好落到直线ED上，
∴CB=CB′，
而B(5,0)、C(0,5)，
设B′(a,−a+11)，则(5−0)2+(0−5)2=(a−0)2+(−a+11−5)2，
解得a=7或a=−1(此时旋转角大于90°舍去)，
∴B′(7,4)，
点F是抛物线上的动点，Q在直线ED上，设F(b,b2−6b+5)，Q(c,−c+11)，
以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
①CB′、FQ为对角线，CB′中点为(0+72,5+42)，FQ中点为(b+c2,b2−6b+5−c+112)，
CB′中点与FQ中点重合，
∴0+7=b+c5+4=b2−6b+5−c+11，
解得b=0c=7(此时F与C重合舍去)或b=5c=2，
∴Q(2,9)，
②CF、B′Q为对角线，同理可得0+b=7+c5+b2−6b+5=4−c+11，
解得b=5+ 732c= 73−92或b=5− 732c=−9− 732，
∴Q( 73−92,31− 732)或(−9− 732,31+ 732)，
③CQ、BF为对角线，则0+c=7+b5−c+11=b2−6b+5+4，
解得：b=0c=7(此时F与C重合舍去)或b=5c=12，
∴Q(12,−1)，
总上所述，以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q(2,9)或( 73−92,31− 732)或(−9− 732,31+ 732)或(12,−1)．
【解析】(1)求出A坐标，代入可得答案；
(2)MH是定值，PM+NH取最大值即是PM取最大值，设P坐标表示出PM长度即可得到答案；
(3)求出B′坐标，设F、Q坐标，用平行四边形两条对角线的中点重合分类列方程即可得答案．
本题考查二次函数综合知识，难点较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的难点．
26.【答案】(1)解：∵∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴BC=4 2，
∵AH⊥BC，AB=AC，
∴BH=CH=2 2=AH，
∵点D为CH中点，
∴DH=CD= 2，
∴AD= AH2+DH2= 8+2= 10，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∴AE= 2AD=2 5；
(2)证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AC，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD=∠DBH=45°，∠BDH=90°，
∴BD=DH，∠AHD=135°，
∴BH= 2BD，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD=DE，∠ADE=90°=∠BDH，
∴∠ADH=∠EDB，
∴△ADH≌△EDB(SAS)，
∴AH=BE，∠DBE=∠DHA=135°，
∴∠ABE=90°=∠CAP，
又∵AB=AC，∠BAE=∠ACP，
∴△BAE≌△ACP(ASA)，
∴AP=BE，
∴AP=BE=AH，
∴AB=AP+ 2BD；
(3)解：如图3，在AE上截取AN′=AN，连接MN′，
∵AB平分∠EAD，
∴∠DAB=∠BAE=22.5°，
又∵AM=AM，
∴△AMN≌△AMN′(SAS)，
∴MN=MN′，
∴DM+MN=DM+MN′，
∴当点M，点N′，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，
如图4，
∵DM⊥AE，DE=AD，
∴∠ADM=∠EDM=45°，
∵折叠，
∴DQ⊥BK，∠BKD=∠BKQ，
∵∠DKQ=45°，
∴∠BKD=∠BKQ=22.5°，
∵∠AMK=∠ADM+∠BAD=∠BKD+∠KBA，
∴∠KBA=∠ADM=45°，
∴∠KBD=∠ABK+∠ABC=90°，
∴KB⊥BD，
又∵DQ⊥BK，
∴点B，点Q，点D三点共线，
∵折叠，
∴DQ=2BD，
∵∠BAD=22.5°，
∴∠CAD=67.5°，∠ADC=∠ABC+∠BAD=67.5°，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=DC，
∴BD=BC−CD= 2AC−AC，
∴DQ=2BD=2 2AC−2AC，
∴DQBC=2 2AC−2AC 2AC=2− 2．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AD的长，由旋转的性质可得AD=DE，∠ADE=90°，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ADH≌△EDB，可得AH=BE，∠DBE=∠DHA=135°，由“ASA”可得△BAE≌△ACP，可得AP=BE，可得结论；
(3)先证明当点M，点N′，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2023年重庆市永川区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. 6 B. −6 C. 16 D. −16
2. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 30°
4. 五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h(米)和他坐上摩天轮后旋转的时间t(分钟)之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 摩天轮旋转一周需要6分钟
B. 小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C. 小明离地面的最大高度为42米
D. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
5. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1：2
B. 1：4
C. 2：1
D. 4：1
6. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是( )
A. 34 B. 40 C. 49 D. 59
7. 估计 2( 23− 2)的值应在( )
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间．
8. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A. 100(1+x)=121 B. 100(1−x)=121
C. 100(1+x)2=121 D. 100(1−x)2=121
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE、DE，若∠B=30°，AC=3，则BD的长度是( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2 3
10. 定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与B=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)，满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
(1)代数式：−3x2+2x的“同心式”为3x2−2x；
(2)若8mx2+nx−5与6nx2−4x+5互为“同心式”，则(m+n)2023的值为1；
(3)当b1=b2=0时，无论x取何值时，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
(4)若A、B互为“同心式”，且b12−36a1c1=0，则A−2B=0有两个相等的实数根．
其中，正确的结论有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：(3−π)0+|− 3|= ______ ．
12. 截止2022年底，重庆私人汽车拥有量约为8200000辆，请把8200000用科学记数法表示为______ ．
13. 已知2x|m|−2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=______．
14. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是______．
15. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是______．
16. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为______．
17. 若关于x的一元一次不等式组5x−23≤x−2a−x2
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作出∠ABC的角平分线BE，交AD于点E；在线段BC上截取BF=BA，连接EF；
(2)在(1)所作图中，经过学习小组讨论发现四边形ABFE是菱形，并给出以下证明，请你补充完整．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ______ ；
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴ ______ ．
∴∠AEB=∠ABE．
∴ ______ ．
∵AB=BF，
∴AE=BF.而AE//BF，
∴ ______ ．
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为菱形．
20. (本小题10.0分)
计算：
(1)x(x−2y)+(x+y)2；
(2)(2−mm−3)÷m2−36m2−6m+9．
21. (本小题10.0分)
为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识.某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
C
根据以上信息，解答下列问题．
(1)由上表植空.a= ______ .b= ______ .c= ______
(2)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动.估计参加此次测试活动成合格的学生数是多少？
(3)根据上述数据.你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)
22. (本小题10.0分)
车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱.某超市准备花10000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进了100斤．
(1)车厘子的实际进价为每斤多少元？
(2)若该品种的车厘子市场售价为40元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加20斤，超市决定将部分车厘子降价促销，当售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利4500元？
23. (本小题10.0分)
我省为实现5G网络全覆盖，2020−2025年拟建设5G基站七千个.如图，在坡度为i=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小符在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A、B、C、D均在同一平面内)(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高．
24. (本小题10.0分)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(a,4)和点B(−4,−2)，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集．
(3)点D(4,b)在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数的图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C(0,5)，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方(不与A、B重合)的一个动点，过点P作PM//y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM+NH的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，当点P满足(2)问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△CB′P′，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
(1)如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB=4，求AE的长度；
(2)如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA=∠EAB，求证：AB=AP+ 2BD；
(3)如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ=45°时，请直接写出DQBC的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−6的相反数是6．
故选：A．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，即可得到∠2=45°−30°=15°．
【解答】
解：如图，
∵AB//CD，
∴∠1=∠ADC=30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45°，
∴∠2=45°−30°=15°，
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9−3=6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
(1)由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
(2)根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
(3)观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
(4)从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OB：OE=2：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比是4：1．
故选：D．
先根据位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB：DE=OB：OE=2：1，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，位似比等于相似比．
6.【答案】C
【解析】解：当n=1时，第1个图案的圆点的个数是y1=5+2=7个．
当n=2时，第2个图案的圆点的个数是y2=y1+3=5+2+3=10个．
当n=3时，第3个图案的圆点的个数是y3=y2+4=5+2+3+4=14个．
当n=4时，第4个图案的圆点的个数是y4=y3+5=5+2+3+4+5=19．
...
以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn=5+2+3+4+...+(n+1)
=5+n(2+n+1)2=5+n(n+3)2个．
∴当n=8时，第8个图案的圆点的个数是y8=5+8×(8+3)2=49个．
故选：C．
观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加圆点数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多一个的圆点数，从而解决该题．
本题主要考查学生的观察能力，运用特殊到一般的数学思想解决此类规律题．
7.【答案】C
【解析】解： 2( 23− 2)= 46−2，
∵36<46<49，
∴6< 46<7，
∴6−2< 46−2<7−2，
∴4< 26−2<5，
∴ 2( 23− 2)的值应在4和5之间．
故选：C．
先计算 2( 23− 2)的结果，再估算 46−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及等式的性质是正确解答的前提．
8.【答案】C
【解析】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：100(1+x)2=121，
故选：C．
设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元，然后再根据价钱为100(1+x)元，表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n(一般情况下为2)，增长后的量为b，则有表达式a(1+x)n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
9.【答案】B
【解析】解：∵BC切圆于E，
∴OE⊥BC于E，
∴∠OEB=90°，
∵∠B=30°，
∴OE=12OB，
∵OE=OD，
∴OD=BD，
∴AO=OD=BD，
∴BD=13AB，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2×3=6，
∴BD=2．
故选：B．
连接OE，由切线的性质推出∠OEB=90°，又∠B=30°，得到OE=12OB，于是推出AO=OD=BD，因此BD=13AB，由∠C=90°，∠B=30°，求出AB=2AB=6，即可得到BD的长．
本题考查切线的性质，含30°角的直角三角形，关键是由含30°角的直角三角形的性质，得到BD=13AB．
10.【答案】B
【解析】解：(1)代数式：−3x2+2x的“同心式”为3x2+2x，故结论(1)不正确，不符合题意；
(2)若8mx2+nx−5与6nx2−4x+5互为“同心式”，则8m+6n=0，n=−4，
∴m=3，
∴(m+n)2023=−1，故结论(2)不正确，不符合题意；
(3)当b1=b2=0时，A=a1x2+c1，B=a2x2+c2，
∵a1+a2=0，c1+c2=0，
∴a1=−a2，c1=−c2，
∴A=−B，
∴无论x取何值时，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故结论(3)正确，符合题意；
(4)∵A、B互为“同心式”，
∴a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，
∴A−2B=(a1x2+b1x+c1)−2(a2x2+b2x+c2)
=(a1−2a2)x2+(b1−2b2)x+(c1−2c2)
=3a1x2−b1x+3c1=0，
∵b12=36a1c1，
∴Δ=(−b1)2−4⋅3a1⋅3c1=b12−36a1c1=0，
∴A−2B=0有两个相等的实数根，故结论(4)正确，符合题意．
故选：B．
根据定义分别判断即可．
本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质，正确理解新的定义是关键．
11.【答案】1+ 3
【解析】解：原式=1+ 3．
故答案为：1+ 3．
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】8.2×106
【解析】解：将8200000用科学记数法表示为：8.2×106．
故答案为：8.2×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】±4
【解析】解：由题意可得|m|−2=2，
解得，m=±4．
故答案为：±4．
一元二次方程必须满足两个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0．
由此可得|m|−2=2，求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)．
14.【答案】23
【解析】解：列表如下
1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为46=23，
故答案为：23．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率mn．
15.【答案】π−2
【解析】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=12AB=2，四边形DMCN是正方形，DM= 2．
则扇形FDE的面积是：90π×22360=π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN，
∴△DMG≌△DNH(AAS)，
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π−2．
故答案为：π−2．
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．
16.【答案】2.6
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=4，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=4，
又∵DE=AF=1，
∴CE=DF=3，
∴在△CDF和△BCE中，
CD=BC∠CDF=∠BCEDF=CE，
∴△CDF≌△BCE(SAS)，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=90°，
∵在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，
∴BE=5，
∴BE⋅CG=BC⋅CE，
∴CG=BC⋅CEBE=4×35=125，
∵△CDF≌△BCE(SAS)，
∴CF=BE=5，
∴GF=CF−CG=5−125=2.6．
故答案为：2.6．
先由正方形的性质及BC=4，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=1，得出CE=DF=3，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17.【答案】−6
【解析】解：解不等式组中第一个不等式可得：x≤−2，
解不等式组中第二个不等式可得：x>a−23，
∵原不等式组无解，
∴a−23≥−2，
解得：a≥−4，
将原分式方程两边同乘(y+1)去分母得：ay=6−2(y+1)，
整理得：(a+2)y=4，
∵分式的解为整数，且a≥−4，a为整数，
∴a=−4或−3或−1或0或2，
则−4−3−1+0+2=−6，
故答案为：−6．
解不等式组及分式方程，结合已知条件确定a的值，然后将它们相加即可．
本题考查根据含参不等式组的解集及分式方程解得情况确定参数的值，结合已知条件，解不等式组及分式方程后确定a的值是解题的关键．
18.【答案】1357或2468或3579 159
【解析】解：∵一个多位数右边的数字减去左边相邻的数字的差都是同一个数，
∴根据“阶梯数”的定义，阶梯为2的四位“阶梯数”可以为1357或2468或3579；
∵一元二次方程x2−x−(a−4)=0有实数解，
∴1+4(a−4)≥0，
解得a≥3.75，
∵a为整数，
∴a最小为4，
∵三位“阶梯数”的各位数字之和大于14小于18，
∴这个三位“阶梯数”为159；
故答案为：1357或2468或3579；159．
根据“阶梯数”的定义，阶梯为2的四位“阶梯数”可以为1357或2468或3579；由一元二次方程x2−x−(a−4)=0有实数解，可得a最小为4，即可得到答案．
本题考查一元二次方程根的判别式和因式分解的应用，解题的关键是读懂题意，理解“阶梯数”的定义．
19.【答案】AD//BC ∠ABE=∠CBE AB=AE 四边形ABFE为平行四边形
【解析】(1)解：如图，BE、BF为所作；
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE．
∴AB=AE，
∵AB=BF，
∴AE=BF.而AE//BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为菱形．
故答案为：AD//BC，∠ABE=∠CBE，AB=AE，四边形ABFE为平行四边形．
(1)先利用基本作图作∠ABC的平分线，然后在BC上截取BF=BA即可；
(2)先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠AEB=∠CBE，再证明∠AEB=∠ABE得到AB=AE，接着证明AE=BF，于是可判断四边形ABFE为平行四边形，然后利用BA=BF可判断四边形ABFE为菱形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．
20.【答案】解：(1)原式=x2−2xy+x2+2xy+y2
=2x2+y2；
(2)原式=2(m−3)−mm−3⋅(m−3)2(m+6)(m−6)
=m−6m−3⋅(m−3)2(m+6)(m−6)
=m−3m+6．
【解析】(1)直接利用单项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而合并同类项得出答案；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21.【答案】7 7.5 50%
【解析】解：(1)∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=(7+8)÷2=7.5，
c=(5+2+3)÷20×100%=50%，
即a=7，b=7.5，c=50%；
故答案为：7；7.5；50%；
(2)根据题意得：1000×18+1820+20=900(人)，
答：参加此次测试活动成绩合格的学生人数是900人；
(3)八年级掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
∵七、八年级的平均数都是7，但是八年级的中位数7.5比七年级的中位数7大；八年级的众数8比七年级的众数7的大；八年级8分及以上人数所占百分比50%大于七年级8分及以上人数所占百分比45%．
∴八年级掌握垃圾分类知识较好．(写出一条理由即可)．
(1)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
(2)用样本估计总体即可；
(3)根据平均数、中位数和众数的意义解答即可．
本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，掌握数形结合的思想是关键．
22.【答案】解：(1)设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，
根据题意得：10000x=100000.8x−100，
解得：x=25．
经检验，x=25是原方程的解，
∴0.8x=0.8×25=20．
答：车厘子的实际进价为每斤20元；
(2)设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利4500元，
根据题意得：(m−20)[200+20(40−m)]=4500，
化简整理得：m2−70m+1225=0．
解得：m=35，
答：当售价定为35元时，可使促销部分的车厘子获利4500元．
【解析】(1)设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元，根据“用同样的钱比预期多购进了100斤”列分式方程求解即可；
(2)设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利4500元，根据“每斤的利润×销售量=总利润”列方程求解即可．
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23.【答案】解：(1)如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4，
即DMCM=512，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=13米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即(5k)2+(12k)2=132，
解得k=1，
∴DM=5(米)，CM=12(米)，
答：D处的竖直高度为5米；
(2)斜坡CB的坡度为i=1：2.4，
设DE=12a米，则BE=5a米，
又∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=(12+12a)米，
∴AE=AF−EF=12+12a−5=(7+12a)米，
在Rt△ADE中，DE=12a米，AE=(7+12a)米，
∵tan∠ADE=tan53°≈43，
∴7+12a12a≈43，
解得a=74，
∴DE=12a=21(米)，AE=7+12a=28(米)，
BE=5a=354(米)，
∴AB=AE−BE=28−354=774(米)，
答：基站塔AB的高为774米．
【解析】(1)通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i=1：2.4，CD=13米，由勾股定理可求出答案；
(2)设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
24.【答案】解：(1)∵反比例函数y=mx(m≠0)过B(−4,−2)，
∴−2=m−4，
∴m=8，
∴反比例的解析式：y=8x；
∵反比例函数y=8x过A(a,4)，
∴a=2，
∴A(2,4)，
把A(2,4)和B(−4,−2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)，
∴2k+b=4−4k+b=−2，
解得k=1，b=2，
∴一次函数的解析式：y=x+2；
一次函数y=x+2的图象如下：
(2)依据图象可知，关于x的不等式kx+b≥mx的解集为：−4≤x<0或x ≥2.
(3)连接EA，如图所示：
∵D(4,b)，且在一次函数y=x+2图象上，
∴b=4+2=6，
∴D(4,6)，
∵DF⊥y轴，
∴E的纵坐标为6，
把y=6，代入y=8x；
得x=43，即EF=43，
∴DE=DF−EF=4−43=83，
∵A(2,4)，B(−4,−2)，D(4,6)，E(43,6)，
∴S四边形ABFE=S△FBD−S△AED=12×4×8−12×2×83=403．
【解析】(1)反比例函数y=mx(m≠0)过B(−4,−2)，求出m，求得反比例函数的解析式；把点A(a,4)代入求得的反比例函数的解析式，求出a，把A(2,4)和B(−4,−2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)，求出k、b，根据点A、B的坐标画出函数图象；
(2)依据图象直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集即可；
(3)四边形ABFE在平面直角坐标系中如图所示：先求出EF=43，根据S四边形ABFE=S△FBD−S△AED计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵点C(0,5)，OC=5OA，
∴A(1,0)，
将A(1,0)，C(0,5)代入y=x2+bx+c得：
0=1+b+c5=c，
解得：b=−6c=5，
∴抛物线的解析式是y=x2−6x+5；
(2)由x2−6x+5=0得x1=1，x2=5，
∴B(5,0)，
设BC解析式为y=kx+b，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
0=5k+b5=b，
解得k=−1b=5，
∴BC解析式为y=−x+5，
将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，
∴DE解析式为y=−x+11，
∵过点P作PM//y轴交DE于点M，交BC于点H，
∴MH=6，
∵B(5,0)、C(0,5)，
∴OB=OC，∠OCB=45°，
∵PM//y轴，
∴∠NHM=45°，
∵MN⊥BC，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MH⋅cos45°= 22MH=3 2，
PM+NH取最大值即是PM取最大值，
设P(m,m2−6m+5)，则M(m,−m+11)，
∴PM=(−m+11)−(m2−6m+5)=−m2+5m+6，
当m=−52×(−1)=52时，PM最大值为：−(52)2+5×52+6=494，
此时P(52,−154)，
∴PM+NH最大值为494+3 2，P(52,−154)；
(3)∵将△CBP绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△CB′P′，此时点B′恰好落到直线ED上，
∴CB=CB′，
而B(5,0)、C(0,5)，
设B′(a,−a+11)，则(5−0)2+(0−5)2=(a−0)2+(−a+11−5)2，
解得a=7或a=−1(此时旋转角大于90°舍去)，
∴B′(7,4)，
点F是抛物线上的动点，Q在直线ED上，设F(b,b2−6b+5)，Q(c,−c+11)，
以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
①CB′、FQ为对角线，CB′中点为(0+72,5+42)，FQ中点为(b+c2,b2−6b+5−c+112)，
CB′中点与FQ中点重合，
∴0+7=b+c5+4=b2−6b+5−c+11，
解得b=0c=7(此时F与C重合舍去)或b=5c=2，
∴Q(2,9)，
②CF、B′Q为对角线，同理可得0+b=7+c5+b2−6b+5=4−c+11，
解得b=5+ 732c= 73−92或b=5− 732c=−9− 732，
∴Q( 73−92,31− 732)或(−9− 732,31+ 732)，
③CQ、BF为对角线，则0+c=7+b5−c+11=b2−6b+5+4，
解得：b=0c=7(此时F与C重合舍去)或b=5c=12，
∴Q(12,−1)，
总上所述，以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q(2,9)或( 73−92,31− 732)或(−9− 732,31+ 732)或(12,−1)．
【解析】(1)求出A坐标，代入可得答案；
(2)MH是定值，PM+NH取最大值即是PM取最大值，设P坐标表示出PM长度即可得到答案；
(3)求出B′坐标，设F、Q坐标，用平行四边形两条对角线的中点重合分类列方程即可得答案．
本题考查二次函数综合知识，难点较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的难点．
26.【答案】(1)解：∵∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴BC=4 2，
∵AH⊥BC，AB=AC，
∴BH=CH=2 2=AH，
∵点D为CH中点，
∴DH=CD= 2，
∴AD= AH2+DH2= 8+2= 10，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∴AE= 2AD=2 5；
(2)证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC= 2AC，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD=∠DBH=45°，∠BDH=90°，
∴BD=DH，∠AHD=135°，
∴BH= 2BD，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD=DE，∠ADE=90°=∠BDH，
∴∠ADH=∠EDB，
∴△ADH≌△EDB(SAS)，
∴AH=BE，∠DBE=∠DHA=135°，
∴∠ABE=90°=∠CAP，
又∵AB=AC，∠BAE=∠ACP，
∴△BAE≌△ACP(ASA)，
∴AP=BE，
∴AP=BE=AH，
∴AB=AP+ 2BD；
(3)解：如图3，在AE上截取AN′=AN，连接MN′，
∵AB平分∠EAD，
∴∠DAB=∠BAE=22.5°，
又∵AM=AM，
∴△AMN≌△AMN′(SAS)，
∴MN=MN′，
∴DM+MN=DM+MN′，
∴当点M，点N′，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，
如图4，
∵DM⊥AE，DE=AD，
∴∠ADM=∠EDM=45°，
∵折叠，
∴DQ⊥BK，∠BKD=∠BKQ，
∵∠DKQ=45°，
∴∠BKD=∠BKQ=22.5°，
∵∠AMK=∠ADM+∠BAD=∠BKD+∠KBA，
∴∠KBA=∠ADM=45°，
∴∠KBD=∠ABK+∠ABC=90°，
∴KB⊥BD，
又∵DQ⊥BK，
∴点B，点Q，点D三点共线，
∵折叠，
∴DQ=2BD，
∵∠BAD=22.5°，
∴∠CAD=67.5°，∠ADC=∠ABC+∠BAD=67.5°，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=DC，
∴BD=BC−CD= 2AC−AC，
∴DQ=2BD=2 2AC−2AC，
∴DQBC=2 2AC−2AC 2AC=2− 2．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AD的长，由旋转的性质可得AD=DE，∠ADE=90°，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ADH≌△EDB，可得AH=BE，∠DBE=∠DHA=135°，由“ASA”可得△BAE≌△ACP，可得AP=BE，可得结论；
(3)先证明当点M，点N′，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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