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新高考数学一轮复习导学案第62讲 直线与圆的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习导学案第62讲 直线与圆的位置关系（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第62讲直线与圆的位置关系原卷版doc、新高考一轮复习导学案第62讲直线与圆的位置关系解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1、 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
1、（2023•新高考Ⅰ）过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的两条直线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，切线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2、（2022•北京）若直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，
SKIPIF 1 < 0 圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3、（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
B．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
C．若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
D．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 在圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与圆相切，即 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交，所以 SKIPIF 1 < 0 不正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2022•甲卷（理））若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线： SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 与半径1，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 舍去．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2022•新高考Ⅱ）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，所以对称直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
6、【2020年新课标1卷文科】已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
当直线和圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，圆心到过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 SKIPIF 1 < 0
根据弦长公式得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7、【2021年新高考2卷】已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C内，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C外，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
1、直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交且过圆心
D. 相交但不过圆心
【答案】 D
【解析】 将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线l的距离为 eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝ eq \r(2)＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．
2、直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值是
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
3、直线x－eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,2) D．eq \f(2π,3)
【答案】：D
【解析】：画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝eq \f(|2|,\r(12＋(\r(3))2))＝1，∴sin∠AOC＝eq \f(d,OC)＝eq \f(1,2)，
∴∠AOC＝eq \f(π,6)，∴∠CAO＝eq \f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)．故选D．
4、过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【答案】 C
【解析】 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，
设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
考向一 直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【答案】 C
【解析】方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交
变式1、已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
【解析】 由题意，得不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，圆C的圆心C(1，－1)，半径R＝2 eq \r(3).
又PC＝ eq \r(5)<2 eq \r(3)＝R，
所以点P(0，1)在圆C的内部，
即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
变式2、（2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，现有以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相交B. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相离
C. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相离D. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相交
【答案】C
【解析】
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知，以 SKIPIF 1 < 0 为中点弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离
故选：C
方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考向二 圆的弦长问题
例2、(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．6 B．2eq \r(11)
C．12 D．16
【答案】 B
【解析】 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq \r(－3－02＋3＋12)＝5.
又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为
2eq \r(62－52)＝2eq \r(11).
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
【答案】 B
【解析】 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，
从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
（2）（2022·河北张家口·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
变式2、（1）（2022年广东省高三模拟试卷） 若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为2，
故弦 SKIPIF 1 < 0 的弦心距为 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）（2022·山东烟台·高三期末）若直线 SKIPIF 1 < 0 将圆 SKIPIF 1 < 0 分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣4或2C．2D．﹣2或4
【答案】D
【解析】
圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线和圆相交于AB，
由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或4，
故选：D.
方法总结：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
考向三 圆的切线问题
例3 已知点P( eq \r(2)＋1，2－ eq \r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】 (1) 由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为( eq \r(2)＋1－1)2＋(2－ eq \r(2)－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝ eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，
所以切线的斜率为－ eq \f(1,kPC)＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－ eq \r(2))＝x－( eq \r(2)＋1)，即x－y＋1－2 eq \r(2)＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝ eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝ eq \f(3,4)，
所以切线方程为y－1＝ eq \f(3,4)(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝ eq \r((3－1)2＋(1－2)2)＝ eq \r(5)，
所以过点M的圆C的切线长为 eq \r(MC2－r2)＝ eq \r(5－4)＝1.
变式1、（多选题）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过直线 SKIPIF 1 < 0 上任一点 SKIPIF 1 < 0 做圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为1
C． SKIPIF 1 < 0 不可能为钝角
D．当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
解：对A：设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
对B：四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由选项B知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误；
故选：ABC.
方法总结：求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
1、（2022·广东清远·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的最短弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
将圆化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此可知圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
因为直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以当圆心到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 中，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）
故选：A
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
由题知圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知圆O： SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
∵直线l： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又圆O： SKIPIF 1 < 0 ，
∴由圆的性质可知直线 SKIPIF 1 < 0 时，直线l被圆O截得的弦长最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线l： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5、（清远市高三期末试题）已知P，Q为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】C
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆.
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6、（多选题）（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值
C．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交
【答案】BCD
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， 若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，D对.
故选：BCD.
7、（多选题）（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之比为定值 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. 若点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为24
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的面积，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是11
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A错误；
对于B：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项B正确；
对于C：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面几何知识得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时面积 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项C正确；
对于D：因为直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的面积，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得“=”），
故选项D正确.
故选：BCD.
8、（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________.
【答案】8
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：8
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
几何观点
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
1、 直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
1、（2023•新高考Ⅰ）过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的两条直线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，切线为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2、（2022•北京）若直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，
SKIPIF 1 < 0 圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3、（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
B．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
C．若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切
D．若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，则直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 在圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线与圆相切，即 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相交，所以 SKIPIF 1 < 0 不正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相切，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，则 SKIPIF 1 < 0 ，而圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2022•甲卷（理））若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线： SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 与半径1，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 舍去．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2022•新高考Ⅱ）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称的直线的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，所以对称直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
6、【2020年新课标1卷文科】已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
当直线和圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，圆心到过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 SKIPIF 1 < 0
根据弦长公式得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7、【2021年新高考2卷】已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C内，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 SKIPIF 1 < 0 在圆C外，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 SKIPIF 1 < 0 在直线l上，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
1、直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交且过圆心
D. 相交但不过圆心
【答案】 D
【解析】 将圆C的方程化为标准方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线l的距离为 eq \f(|2－1＋1|,\r(2))＝ eq \r(2)＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．
2、直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值是
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
3、直线x－eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,2) D．eq \f(2π,3)
【答案】：D
【解析】：画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝eq \f(|2|,\r(12＋(\r(3))2))＝1，∴sin∠AOC＝eq \f(d,OC)＝eq \f(1,2)，
∴∠AOC＝eq \f(π,6)，∴∠CAO＝eq \f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)．故选D．
4、过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【答案】 C
【解析】 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，
设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
考向一 直线与圆的位置关系
例1、直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
【答案】 C
【解析】方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交
变式1、已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
【解析】 由题意，得不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，圆C的圆心C(1，－1)，半径R＝2 eq \r(3).
又PC＝ eq \r(5)<2 eq \r(3)＝R，
所以点P(0，1)在圆C的内部，
即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
变式2、（2022年广东省广州大学附属中学高三模拟试卷）已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，现有以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相交B. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相离
C. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相离D. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 与圆相交
【答案】C
【解析】
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知，以 SKIPIF 1 < 0 为中点弦所在直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可化为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆相离
故选：C
方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考向二 圆的弦长问题
例2、(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．6 B．2eq \r(11)
C．12 D．16
【答案】 B
【解析】 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq \r(－3－02＋3＋12)＝5.
又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为
2eq \r(62－52)＝2eq \r(11).
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
【答案】 B
【解析】 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，
从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
（2）（2022·河北张家口·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
变式2、（1）（2022年广东省高三模拟试卷） 若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为2，
故弦 SKIPIF 1 < 0 的弦心距为 SKIPIF 1 < 0 ，即圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）（2022·山东烟台·高三期末）若直线 SKIPIF 1 < 0 将圆 SKIPIF 1 < 0 分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣4或2C．2D．﹣2或4
【答案】D
【解析】
圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线和圆相交于AB，
由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或4，
故选：D.
方法总结：弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
考向三 圆的切线问题
例3 已知点P( eq \r(2)＋1，2－ eq \r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点P的圆C的切线方程；
(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】 (1) 由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.
因为( eq \r(2)＋1－1)2＋(2－ eq \r(2)－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝ eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，
所以切线的斜率为－ eq \f(1,kPC)＝1，
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－ eq \r(2))＝x－( eq \r(2)＋1)，即x－y＋1－2 eq \r(2)＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝ eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝ eq \f(3,4)，
所以切线方程为y－1＝ eq \f(3,4)(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上所述，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为MC＝ eq \r((3－1)2＋(1－2)2)＝ eq \r(5)，
所以过点M的圆C的切线长为 eq \r(MC2－r2)＝ eq \r(5－4)＝1.
变式1、（多选题）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过直线 SKIPIF 1 < 0 上任一点 SKIPIF 1 < 0 做圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为1
C． SKIPIF 1 < 0 不可能为钝角
D．当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
解：对A：设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A正确；
对B：四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对C：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由选项B知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对D：当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误；
故选：ABC.
方法总结：求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
1、（2022·广东清远·高三期末）直线 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的最短弦长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
将圆化为一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因此可知圆C的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
因为直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以当圆心到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圆： SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 中，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）
故选：A
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
由题知圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦的长度为4，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知圆O： SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
∵直线l： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又圆O： SKIPIF 1 < 0 ，
∴由圆的性质可知直线 SKIPIF 1 < 0 时，直线l被圆O截得的弦长最小，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线l： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5、（清远市高三期末试题）已知P，Q为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 2
【答案】C
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆.
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6、（多选题）（2022·江苏海安·高三期末）关于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 为定值
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值
C．若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交
【答案】BCD
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， 若 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 内，故直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交，D对.
故选：BCD.
7、（多选题）（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之比为定值 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. 若点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为24
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的面积，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是11
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A错误；
对于B：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项B正确；
对于C：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面几何知识得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
此时面积 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项C正确；
对于D：因为直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的面积，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 经过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得“=”），
故选项D正确.
故选：BCD.
8、（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为___________.
【答案】8
【解析】
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4，
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：8
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
几何观点
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
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