第45讲 数列的综合运用-备战2024年高考数学一轮复习精品导与练（新高考）

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1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ，数列的所有项的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】数列的后7项成等比数列，，
，
，
公比．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列的所有项的和为．
故答案为：48；384．
2、（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
3、（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
4、（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分
钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．
A. 3B. 7C. 11D.14
【答案】：B
【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq \f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．
2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】C
【详解】依题意得，
又，所以．
故选：C．
3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．
【答案】：－2
【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，
即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn，0)，则有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq \f(n,n＋1)，∴ an＝lgxn＝lgeq \f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴ a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．
4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由题意知：，故，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，显然，故D错误；
故选：BC
考向一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由得，
所以
，
.
故选：D.
（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130B．132C．134D．141
【答案】B
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为，
2到20的全部素数和为，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为.
故选：B.
（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【详解】设该数列为，
当为奇数时，
所以为奇数；
当为偶数时，
所以为偶数数；
所以，
故选:B.
变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
A．8 B．11 C．14 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eq S\s\d(9)＝9a\s\d(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\d(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．
（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列的首项为，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，设其首项为，公差为d，根据题意，∴立秋的晷长为.
故选：D
（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天B．7天C．8天D．9天
【答案】C
【解析】设该女子第一天织布尺，
则，
解得，
前天织布的尺数为：，
由，得，
解得的最小值为8．
故选：．
考向二 数列中的含参问题
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
当为偶数时，不等式为，
令，，
当时，，则在上单调递增，
由于，故，此时；
当为奇数时，不等式为，
令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，
综上所述，.
故答案为：
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.
【解析】（1）因为，，所以，
所以，即，解得：或.
因为，所以.
（2）法一：由（1）得，，
，
时；
时；
时；
时（舍），
当时，，不合题意；
满足条件的有三组.
法二：由（1）得，，
故，
所以，且，
所以，所以，，.
存在满足条件的有三组.
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求，的值；
(2)求最小自然数n的值，使得．
【解析】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，
，解得，所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为；
（2）由（1）知，
，
时，=2001<2022，时，=4039>2022，
记，显然数列是递增数列，
所以所求的最小值是11.
考向三 数列中的“定义型问题”
例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：
（1）是的一个排列；
（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：
①数列的前项和；
②数列：1，2，3，4，5；
③数列：1，2，3，4，5，6.
具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当时，
，
，2，3，为完全平方数
数列具有“性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”， 数列具有“变换性质”；
对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．
故答案为：①；②．
变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；
（2）根据题意得，故设，，则，再解不等式即可得区间内的“幸福数”，再求和即可得答案.
【详解】（1）∵①，∴，②
当时，①﹣②得，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2，，
∴(为奇数)
(为偶数)
∴
（2）
设，，∴，
令，，∴
∴区间内的“幸福数”为，，…，
∴所有“幸福数”的和为.
变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为( )
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则bm＝eq \f(m,2)；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则eq b\s\d(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ \B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m为奇数),\F(m,2)(m为偶数)))，则当m为偶数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq \f(1,2)×eq \f(m,2)＝EQ \F(m\S(2),4)，则EQ \F(m\S(2),4)＝30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ \F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq \f(m＋1,2)＝EQ \F(m\S(2)－1,4)，所以EQ \F(m\S(2)－1,4)＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选B．
考向四 数列与不等式等知识点的结合
例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列是首项为2，公差为的等差数列，
所以，则，得（），
两式相减得：，则，
（），
又适合上式，故．
另解：由得（），
故为常数列，
则，故．
（2）由（1）得，
所以，
则.
变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
（2）证明：由可知，所以，
，
因为恒成立，所以，
又因为，所以单调递增，所以，
综上可得．
1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【解析】64个格子放满麦粒共需，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约粒，
，
故选：C.
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】A
【解析】设每月还元，按复利计算，则有
即
解之得，
故选：A
3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列，
，其公比，令数列的前n项和为，
则，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案为：6
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，， ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，设的前n项和为，求证：．
【解析】（1）由题意知，，，，
选①，由题意知，，
，
所以，，即：，.
选②，由题意知，，
,
所以，，即：，.
（2）证明：由（1）得，
∴①，
②，
①②得：，
∴．
又∵对，恒成立，
∴．
5、（2023·云南·统考一模）记数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【解析】（1）因为，所以，
当时，，故，
且不满足上式，
故数列的通项公式为
（2）设，则，
当时，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．
6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列的前三项.
(1)求数列的通项公式，并求的前项和；
(2)若，记的前项和，求证.
【解析】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：，，，
所以，，
所以.
（2）证明：
.
因为，所以，
所以
7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列中，，且满足
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)设，是否存在最大的；正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）令，，令，，
解得：,
由知数列为等差数列，
设其公差为，则.
故
（2）由，解得.故
当时,
当时,.
（3）由于
从而
故数列是单调递增数列，又因是数列中的最小项，
要使恒成立，故只需成立即可，
由此解得，由于，
故适合条件的的最大值为7.第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8