高考数学一轮复习第二章专题一第三课时利用导数研究函数的零点课件

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函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想.函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，判断零点存在性及零点个数是考查的一个热点.
题型一 判断、证明或讨论函数零点的个数
【反思感悟】判断函数零点个数的 3 种方法
(1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的极值；
(2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，记函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}(x＞0)，当 a≥0 时，讨论函数 h(x)在(0，＋∞)上的零点个数.
由 f′(x)＞0，得 x＜0 或 x＞1；由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1，列表如下：
∴f(x)的极大值为 f(0)＝0，
(2)由 h(x)＝max{f(x)，g(x)}，知 h(x)≥g(x).①当 x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，
∴h(x)＞0，故 h(x)在(1，＋∞)上无零点.
题型二 已知函数零点个数求参数
【反思感悟】解决此类问题常从以下两个方面考虑
(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件.(2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.
2.已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1；
(2)若 f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求 a 的值.
(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)·e－x－1≤0.
设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减.而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.
(2)解：设函数h(x)＝1－ax2e－x.
f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.①当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；②当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
题型三 整体代换研究函数隐零点
[例 3]已知函数f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln (x＋1)＋2.
(1)若曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为 1，求 m 的值；(2)当m≥1时，证明：f(x)＞g(x)－x3.
(2)证明： f(x)＞g(x)－x3即为ex＋m＞ln (x＋1)＋2.
(1)解：函数f(x)＝ex＋m－x3的导数为f′(x)＝ex＋m－3x2，
在点(0，f(0))处的切线斜率为k＝em＝1，解得 m＝0.
y＝ex－x－1的导数为y′＝ex－1，当 x＞0 时，y′＞0，函数单调递增；当 x＜0 时，y′＜0，函数单调递减.即有 x＝0 处取得极小值，也为最小值 0.
【反思感悟】导数中隐零点问题是近年来高考中的常见题型，很多函数求导后出现超越方程，无法求解，或者方程中含有参数，这给解题带来困难，需要不同的思路和方法加以解决.隐零点问题的处理方法通常包括以下几种：直接观察、虚设零点结合零点代换、分类讨论、拆分或构造函数、巧妙放缩、参变转换等等.
3.(2023 年保山市模拟)设函数 f(x)＝x sin x，x∈R.(1)求 f(x)在区间(0，π)上的极值点个数；
解：(1)由函数 f(x)＝x sin x，可得 f′(x)＝sin x＋x cs x，令φ(x)＝f′(x)＝sin x＋x cs x，可得φ′(x)＝2cs x－x sin x.