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专题4.4 整式中的八大规律探究题-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题4.4 整式中的八大规律探究题-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题44整式中的八大规律探究题浙教版原卷版docx、专题44整式中的八大规律探究题浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16735" 【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】 PAGEREF _Tc16735 \h 1
\l "_Tc18228" 【题型2 多项式的项及次数的变化规律】 PAGEREF _Tc18228 \h 2
\l "_Tc20392" 【题型3 图表的规律】 PAGEREF _Tc20392 \h 2
\l "_Tc29154" 【题型4 图形的规律】 PAGEREF _Tc29154 \h 3
\l "_Tc31780" 【题型5 算式的规律】 PAGEREF _Tc31780 \h 4
\l "_Tc24445" 【题型6 程序运算】 PAGEREF _Tc24445 \h 5
\l "_Tc28743" 【题型7 定义新运算】 PAGEREF _Tc28743 \h 6
\l "_Tc2522" 【题型8 动点规律探究】 PAGEREF _Tc2522 \h 6
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5，16a6，…，第n个单项式是（ ）
A．(−1)n+1n2an+1B．(−1)n2nan
C．(−1)n+12n−1an+1D．(−1)n+12nan+1
【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2y3,3x3y4,−4x4y5,…，按此规律，第2021个单项式是 ．
【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：
①2，−4，8，−16，32，−64，…；
②3，−3，9，−15，33，−63，…；
③−1，2，−4，8，−16，32，…；
取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3，z=2．
当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x2,−5x3,7x4,⋅⋅⋅,−37x19,39x20,⋅⋅⋅．解决下列问题：
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，a3−b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（ ）
A．a2023+b4047B．a2023−b4047C．a2023+b4045D．a2023−b4045
【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式： a+2b，a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是 ．（n为正整数）
【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为 ．
【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅
(2)最后一项的系数m的值为多少⋅
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅
【题型3 图表的规律】
【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
根据此规律确定x的值为（ ）
A．252B．209C．170D．135
【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝ ，[8，10]＝ ；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝ ；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【题型4 图形的规律】
【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为( )
A．4044B．4046C．6069D．4048
【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．
【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．
【题型5 算式的规律】
【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：2×1+12=2×2+12−2×22
第2个等式：2×2+12=3×4+12−3×42
第3个等式：2×3+12=4×6+12−4×62
第4个等式：2×4+12=5×8+12−5×82
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=22−1=2：23−22=222−1=22；24−23=232−1=23；…
(1)28−27=___________．
(2)2n−1−2n=___________；
(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：
24+23+22+2=25−24+24−23+23−22+22−2
=25−24+24−23+23−22+22−2=25−2
请你参考小明发现的规律计算：2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2．
【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式：11×3=12×1−13；
第2个等式：13×5=12×13−15；
第3个等式：15×7=12×15−17；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【题型6 程序运算】
【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图． 若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是 ．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是 ．
【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ．
【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【题型7 定义新运算】
【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：
2⊗3=2×3+3=9 3⊗−1=3×3−1=8 4⊗4=4×3+4=16
5⊗−3=5×3−3=12，则a⊗b= （用含a、b的代数式表示）
【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推，若a1=−13，则a2023= ．
【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n=26，则：
若n=23，则第2022次“F”运算的结果是（ ）
A．74B．37C．92D．23
【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=54×5，所以54与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当a=4时，则b= ；
（2）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数为x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；……依次按如上的操作，得到一组数，x1,x2,x3,x4,⋯,xn．当x=32时，x2023的值为 ；
【题型8 动点规律探究】
【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3…Pn在一条直线上，则点P从0跳动次可到达P14的位置．（ ）
A．887B．903C．909D．1024
【变式8-1】（2023春·浙江台州·七年级统考期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2023春·全国·七年级期末）如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（ ）
A．ADB．ABC．BCD．CDa
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
1
4
2
6
3
8
4
10
……
a
20
……
2
9
3
20
4
35
5
54
b
x
第1个
第2个
第3个
第4个
……
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16735" 【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】 PAGEREF _Tc16735 \h 1
\l "_Tc18228" 【题型2 多项式的项及次数的变化规律】 PAGEREF _Tc18228 \h 2
\l "_Tc20392" 【题型3 图表的规律】 PAGEREF _Tc20392 \h 2
\l "_Tc29154" 【题型4 图形的规律】 PAGEREF _Tc29154 \h 3
\l "_Tc31780" 【题型5 算式的规律】 PAGEREF _Tc31780 \h 4
\l "_Tc24445" 【题型6 程序运算】 PAGEREF _Tc24445 \h 5
\l "_Tc28743" 【题型7 定义新运算】 PAGEREF _Tc28743 \h 6
\l "_Tc2522" 【题型8 动点规律探究】 PAGEREF _Tc2522 \h 6
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5，16a6，…，第n个单项式是（ ）
A．(−1)n+1n2an+1B．(−1)n2nan
C．(−1)n+12n−1an+1D．(−1)n+12nan+1
【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2y3,3x3y4,−4x4y5,…，按此规律，第2021个单项式是 ．
【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：
①2，−4，8，−16，32，−64，…；
②3，−3，9，−15，33，−63，…；
③−1，2，−4，8，−16，32，…；
取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3，z=2．
当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x2,−5x3,7x4,⋅⋅⋅,−37x19,39x20,⋅⋅⋅．解决下列问题：
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，a3−b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（ ）
A．a2023+b4047B．a2023−b4047C．a2023+b4045D．a2023−b4045
【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式： a+2b，a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是 ．（n为正整数）
【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为 ．
【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅
(2)最后一项的系数m的值为多少⋅
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅
【题型3 图表的规律】
【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
根据此规律确定x的值为（ ）
A．252B．209C．170D．135
【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝ ，[8，10]＝ ；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝ ；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【题型4 图形的规律】
【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为( )
A．4044B．4046C．6069D．4048
【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．
【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．
【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．
【题型5 算式的规律】
【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：2×1+12=2×2+12−2×22
第2个等式：2×2+12=3×4+12−3×42
第3个等式：2×3+12=4×6+12−4×62
第4个等式：2×4+12=5×8+12−5×82
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=22−1=2：23−22=222−1=22；24−23=232−1=23；…
(1)28−27=___________．
(2)2n−1−2n=___________；
(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：
24+23+22+2=25−24+24−23+23−22+22−2
=25−24+24−23+23−22+22−2=25−2
请你参考小明发现的规律计算：2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2．
【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式：11×3=12×1−13；
第2个等式：13×5=12×13−15；
第3个等式：15×7=12×15−17；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【题型6 程序运算】
【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图． 若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是 ．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是 ．
【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ．
【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【题型7 定义新运算】
【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：
2⊗3=2×3+3=9 3⊗−1=3×3−1=8 4⊗4=4×3+4=16
5⊗−3=5×3−3=12，则a⊗b= （用含a、b的代数式表示）
【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推，若a1=−13，则a2023= ．
【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n=26，则：
若n=23，则第2022次“F”运算的结果是（ ）
A．74B．37C．92D．23
【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=54×5，所以54与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当a=4时，则b= ；
（2）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数为x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；……依次按如上的操作，得到一组数，x1,x2,x3,x4,⋯,xn．当x=32时，x2023的值为 ；
【题型8 动点规律探究】
【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3…Pn在一条直线上，则点P从0跳动次可到达P14的位置．（ ）
A．887B．903C．909D．1024
【变式8-1】（2023春·浙江台州·七年级统考期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2023春·全国·七年级期末）如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（ ）
A．ADB．ABC．BCD．CDa
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
1
4
2
6
3
8
4
10
……
a
20
……
2
9
3
20
4
35
5
54
b
x
第1个
第2个
第3个
第4个
……
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