高中数学复习专题：常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：（可以求和）累加法

例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。

解析：

             上述个等式相加可得：

∴            

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】

1、已知，（），求。          

2、已知数列，=2，=+3+2，求。      

3、已知数列满足，求数列的通项公式。

4、已知中，，求。         

5、已知,,求数列通项公式.

6、 已知数列满足求通项公式？

7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式                                               

8、 已知数列满足，求数列的通项公式。

9、已知数列满足，，求。           

10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；                   （II）求的通项公式．        

11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　　；

当时，　　　　　（用表示）．

答案:1. 2.   3.  4. 5.

6.   7.   8.   9. 10.(1)2 (2)

11.(1)5 (2)

 类型二： （可以求积）累积法

例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。

解析：

又也满足上式；       

评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。

【类型二专项练习题】

1、  已知，()，求。            

2、已知数列满足，，求。       

3、已知中，，且，求数列的通项公式.

4、已知， ，求。                

5、已知,,求数列通项公式.     

6、已知数列满足，求通项公式？               

7、已知数列满足，求数列的通项公式。

8、已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项  

9、设{an}是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0  (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式.                           

10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.  

答案：1. 2.   3.   4.   5.   6.

7.   8.        9.   10.                                          

类型三：待定常数法

可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。

例1  在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。

解析：设，则

，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。

【类型三专项练习题】

1、 在数列中， ，，求数列的通项公式。

2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式

3、已知数列{a}中，a=1，a= a+ 1求通项a．

4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.

5、在数列{an}中，求.            

6、已知数列满足求数列的通项公式.

7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用表示a；    

（2）求证：数列是等比数列；

（3）当时，求数列的通项公式           

8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？

 答案：1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.(1) (3) 8.是

类型四：

可将其转化为-----（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。

例1  在数列中， ，，且求数列的通项公式。

解析：令

得方程组        解得

则数列是以为首项，以2为公比的等比数列

评注：在中，若

A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。

例2   已知、,,求

解析：令，整理得

；两边同除以得，，

令，令，得

       ∴，

故是以为首项，为公比的等比数列。

，

即，得

【类型四专项练习题】

1、已知数列中，,,，求。

2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.

3、已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

4、数列：， ，求数列的通项公式。

答案：1. 2. 3.(3)

4.

类型五： （且）

一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。

例1  设在数列中， ，求数列的通项公式。

解析：设

展开后比较得

这时

是以3为首项，以为公比的等比数列

即，

例2   在数列中， ，求数列的通项公式。

解析：

，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。

     即

例3          在数列中， ，求数列的

通项公式。

解析：在中，先取掉，得

令，得，即；

然后再加上得   ；

两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。

，  

评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。

例4  已知数列满足，求数列的通项公式。

解析：在中取掉待定

令，则，   ；再加上得，

，整理得：，

令，则

令  ；

即；数列是以为首项，为公比的等比数列。

，即；整理得

类型5专项练习题：

1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。                                  

2、已知数列中，点在直线上，其中

（1）       令求证：数列是等比数列；

（2）       求数列的通项 ；                  

3、已知，，求。   

4、设数列：，求.

5、已知数列满足，求通项

6、在数列中，，求通项公式。

7、已知数列中，,，求。

8、已知数列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通项公式a．

9、已知数列满足，求数列的通项公式。

10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式                                                      

11、已知数列满足,求.         

12、  已知数列满足，，求数列的通项公式。

13、已知数列满足，求数列的通项公式。

14、  已知，，求。             

15、  已知中，，，求.       

16、已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

答案：1. 2.(2) 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13.

14. 15. 16.(3)

类型六：（）倒数法

例1      已知，，求。

解析：两边取倒数得：，设则；

令；展开后得，；；

     是以为首项，为公比的等比数列。

；即，得；

评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。

【类型六专项练习题】：

1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。

2、已知数列{}满足时，，求通项公式。

3、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

4、设数列满足求

5、已知数列{}满足a1=1，，求

6、在数列中，，求数列的通项公式.

7、若数列｛a｝中，a=1，a=  n∈N，求通项a．

答案：1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

类型七：

例1      已知数列前n项和.

求与的关系；           （2）求通项公式.

解析：时，，得；

时，；得。

（2）在上式中两边同乘以得；

是以为首项，2为公差的等差数列；

；得。

【类型七专项练习题】：

1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列{an}的通项an。

2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.                                       

3、已知数列{an}的前n项和为Sn = 3n – 2, 求数列{an}的通项公式.

4、设正整数{an}的前n项和Sn =，求数列{an}的通项公式.

5、如果数列{an}的前n项的和Sn =, 那么这个数列的通项公式?

6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？

答案：1. 2. 3. 4. 5. an = 2·3 6.                                          

递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。