2025高考数学一轮复习第3章导数及其应用03第14讲第2课时极值与最值（课件+解析试卷）

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　　　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋a2，讨论函数f(x)在区间[0,2]上的极值．
变式　(2023·江阴期末)已知函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(a∈R)，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)，则函数f(x)的极小值为_____________．
(1)若1是f(x)的极值点，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝lna．当lna＞1，即a＞e时，令f′(x)＞0，解得x∈(－∞，1)∪(lna，＋∞)，令f′(x)＜0，解得x∈(1，lna)，此时函数f(x)在x＝1处取得极大值，不符合题意，舍去；
当lna＝1，即a＝e，f′(x)＝(x－1)(ex－a)≥0恒成立，此时函数f(x)单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；当lna＜1，即a＜e时，令f′(x)＞0，解得x∈(－∞，lna)∪(1，＋∞)，令f′(x)＜0，解得x∈(lna,1)，此时函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(－∞，e)．
　　　　　已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
令f′(x)＝0，得x＝1．当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0．所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝－1．故当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1．
　　　　　已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
　　　　 (2024·南通如东期初)劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义．为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20 cm，高为40 cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
　　　　 (2024·南通如东期初)劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义．为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20 cm，高为40 cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．(2)求该圆柱的体积的最大值．
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，若f(x)在x＝x0处有极值，则x0的值为(　　)A．－3B．0C．3D．7
　　　　由f′(x)的图象知，当x＝0时，f′(0)＝0，当－3＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，故0是极值点．虽然有f′(7)＝0，但在7的两侧，f′(x)＜0,7不是极值点．
2．(2024·无锡期中)当x＝2时，函数f(x)＝x3＋bx2－12x取得极值，则f(x)在区间[－4,4]上的最大值为(　　)A．8B．12C．16D．32
　　　　因为f(x)＝x3＋bx2－12x，所以f′(x)＝3x2＋2bx－12．又f(x)在x＝2时取极值，所以f′(2)＝12＋4b－12＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x3－12x，f′(x)＝3x2－12．当x∈[－4,4]时，令f′(x)≥0，得－4≤x≤－2或2≤x≤4，令f′(x)＜0，得－2＜x＜2，所以f(x)在[－4，－2]和[2,4]上单调递增，在(－2,2)上单调递减，故b＝0满足题意．又f(－2)＝－8＋24＝16，f(4)＝64－48＝16，故f(x)max＝16．
A组　巩固练1．如图所示是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论正确的是(　　)A．f(x)在[－2，－1]上是增函数B．当x＝3时，f(x)取得最小值C．当x＝－1时，f(x)取得极大值D．f(x)在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
　　　　根据图象知：当x∈(－2，－1)，x∈(2，4)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；当x∈(－1，2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增，所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故A不正确，D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，故C不正确；当x＝3时，f(x)不能取得最小值，故B不正确．
3．已知函数f(x)＝(x＋1)2＋cs (x＋1)＋a的最小值是4，则a＝(　　)A．3B．4C．5D．6
　　　　由题知f′(x)＝2(x＋1)－sin (x＋1)，令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝2－cs (x＋1)＞0，所以f′(x)单调递增．又f′(－1)＝0，所以当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0，故x＝－1为f(x)的最小值点，即f(－1)＝1＋a＝4，解得a＝3．
4．(2021·全国乙卷理)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2
　　　　若a＝b，则f(x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点，且在x＝a左右不变号，在x＝b左右是变号的．依题意，x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，所以在x＝a左右附近都是小于零的．
当a＜0时，作出f(x)的大致图象如图(1)所示，由图可知b＜a，a＜0，故ab＞a2．
当a＞0时，作出f(x)的大致图象如图(2)所示，由图可知b＞a，a＞0，故ab＞a2．综上所述，ab＞a2成立．
5．(2023·怀化期末)(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是(　　　)A．a＋b＝0B．a＋b＝－7C．f(x)一定有两个极值点D．f(x)一定存在单调递减区间
9．已知函数f(x)＝ex＋x3＋(a－3)x＋1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是____________．
①当0＜a≤e时，g(x)≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增，无极值点．
综上，当0＜a≤e时，函数f(x)没有极值点；当a＞e时，函数f(x)有两个极值点．
12．(2024·无锡江阴期初)学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池．如图，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道．已知AB＝100 m，设建设的架空木栈道的总长为y m．
(1) 设∠DAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
(2) 试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．
15．(2023·武汉二调)已知函数f(x)＝ex－e1－x－ax有两个极值点x1与x2，若f(x1)＋f(x2)＝－4，则实数a＝_____．