2023-2024学年浙江省宁波市余姚市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市余姚市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，∠B与∠3是一对( )
A. 同位角
B. 内错角
C. 同旁内角
D. 对顶角
2.杭州奥体中心游泳馆安装了独立的水处理系统，其过滤器的过滤精度可达0.0000015米，数据0.0000015用科学记数法表示为( )
A. 0.15×10−5B. 1.5×10−6C. 15×10−7D. 150×10−8
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−a2)3=−a6C. (ab)2=ab2D. a8÷a4=a2
4.某中学七年级进行了一次数学测验，参加人数共500人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是( )
A. 抽取前150名同学的数学成绩B. 抽取后150名同学的数学成绩
C. 抽取其中150名女子的数学成绩D. 抽取各班学号为5的倍数的同学的数学成绩
5.已知二元一次方程x+2y=7，当y=2时，x的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.若分式x+22x−1的值为0，则x的值是( )
A. −2B. 0C. 12D. 1
7.下列变形是因式分解的是( )
A. x(x+12)=x2+2xB. x2+4x+4=(x+2)2
C. 2x2+4xy−3=2x(x+2y)−3D. x2+6x+4=(x+3)2−5
8.已知2a+b=6，则代数式4a2−b2+12b的值为( )
A. 30B. 36C. 42D. 48
9.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植480棵树．由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种13，结果提前4天完成任务．设志愿者加入后每天种树x棵，则所列方程为( )
A. 480x−48043x=4B. 48043x−480x=4C. 480x−48034x=4D. 48034x−480x=4
10.某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠(如图).折痕分别为AB，CD，若CD//BE，且∠ABE=52∠CBE，则∠1为( )
A. 100∘
B. 110∘
C. 120∘
D. 135∘
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：ab2−4a=__________.
12.要了解一批灯泡的使用寿命，从10000只灯泡中抽取80只灯泡进行试验，在这个问题中，样本容量是______.
13.如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数是______.
14.分式x2+y2xy的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为______.
15.当m，n都是实数，且满足2m=3+n，就称点P(m−1,m+n2)为“爱心点”，点C(a,6)是爱心点，则a=______.
16.将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分(阴影部分)的面积为S1，周长为l1；再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分(阴影部分)的面积为S2，周长为l2.若l1−l2=48，ab=13，则S1+S2=______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(−1)2+(12)0×3−2.
(2)(1−x)(x+1)+(x−2)2.
18.(本小题8分)
解方程(组)：
(1) 2x=9−3y x−2y=1；
(2)2−xx−3+13−x=1.
19.(本小题6分)
先化简：a2+aa2−3a÷a2−1a−3−1a+1，并在−2，−1，1，3中选一个合适的值代入求值.
20.(本小题8分)
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，如图，△ABC的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题：
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应的△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
(2)如图AC边上有一格点M，连BM，计算△MBC的面积.
21.(本小题8分)
为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价：每户每月用水量不超过25吨享受基本价格；超出25吨的部分实行加价收费．为了更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量，并绘制了如下不完整的统计图(每组数据包括右端点不包括左端点)，请根据统计图解决以下问题：
(Ⅰ)这次调查抽取了多少用户的用水量数据？
(Ⅱ)补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨∼30吨”部分的圆心角的度数；
(Ⅲ)估计该地30万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
22.(本小题8分)
如图，已知CD//BE，∠1+∠2=180∘.
(1)求证：EF//BC.
(2)若∠EFA−∠EBA=44∘，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
23.(本小题10分)
图1表示一条两岸彼此平行的河，直线l1、l2表示河的两岸，且l1//l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示.
(1)如图1，在河岸C、E两点建两座桥CD、EF，则CD和EF的大小为CD ______ EF；
(2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短？
亮亮的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点.，在CD处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短；
木木的方法是：作AD⊥l2交l1、l2于C，D两点，把线段CD平移至BE，在BE处建桥能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短.
你认为谁的方法正确？并说明理由.
(3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短？画出示意图，并用平移的原理说明理由.
24.(本小题12分)
根据以下素材，探索完成任务.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∠B与∠3是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角，
故选：C.
根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．
本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000015=1.5×10−6.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A、应为a2⋅a3=a5，故本选项错误；
B、(−a2)3=−a6，正确；
C、应为(ab)2=a2b2，故本选项错误；
D、应为a8÷a4=a4，故本选项错误．
故选：B.
根据同底数相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在A，B，C中进行抽查，对抽取的对象划定了范围，因而不具有代表性．
故选：D.
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
此题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，将y=2代入x+2y=7得，
x+2×2=7.
∴x=3.
故选：B.
依据题意，将y=2代入二元一次方程转化成一元一次方程可以得解．
本题主要考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：x+2=0且2x−1≠0，
解得：x=−2，
故选：A.
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
本题考查的是分式值为零的条件，熟记分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：x(x+12)=x2+2x，是乘法运算，则A不符合题意；
x2+4x+4=(x+2)2，符合因式分解的定义，则B符合题意；
2x2+4xy−3=2x(x+2y)−3，等式的右边不是几个整式积的形式，则C不符合题意；
x2+6x+4=(x+3)2−5，等式的右边不是几个整式积的形式，则D不符合题意；
故选：B.
将一个多项式化为几个整式积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵2a+b=6
∴4a2−b2+12b
=(2a+b)(2a−b)+12b
=6(2a−b)+12b
=12a−6b+12b
=6(2a+b)
=36，
故选：B.
先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．
此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，正确记忆修改知识点是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，得48034x−480x=4，
故选：D.
根据结果提前4天完成任务，列分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由折叠可知，2∠ABE+∠CBE=180∘，
∵∠ABE=52∠CBE，
∴5∠CBE+∠CBE=180∘，
∴∠CBE=30∘，
∵BE//CD，
∴∠CBE+∠BCD=180∘，
∴∠BCD=180∘−∠CBE=150∘，
由折叠可知，2∠DCE+∠1=180∘，
∵∠BCD=∠1+∠DCE，
∴∠DCE=∠BCD−∠1=150∘−∠1，
∴2(150∘−∠1)+∠1=180∘，
∴∠1=120∘，
故选：C.
根据折叠性质得出2∠ABE+∠CBE=180∘，再根据平行线的性质得出∠CBE+∠BCD=180∘，再根据折叠性质得出2∠DCE+∠1=180∘，进而解答即可．
此题考查了翻折变换、平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
11.【答案】a(b+2)(b−2)
【解析】解：原式=a(b2−4)
=a(b+2)(b−2)，
故答案为：a(b+2)(b−2)
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
12.【答案】80
【解析】解：样本容量是80.
故答案为：80.
样本容量是样本中包含个体的数目，不带单位．依据定义即可判断．
本题考查了总体，个体，样本，样本容量，正确记忆样本容量不能带单位是解题关键．
13.【答案】α+β
【解析】解：过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//AB//CD，
∴∠1=∠ABO=α，∠2=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠1+∠2=α+β.
故答案为：α+β.
首先过点O作OE//AB，由AB//CD，可得OE//AB//CD，然后由两直线平行，内错角相等，可求得∠BOC的度数．
此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14.【答案】m
【解析】解：∵x2+y2xy=m，
∴(2x)2+(2y)22x⋅2y=4x2+4y24xy=x2+y2xy=m，
故答案为：m.
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵点C为爱心点，
∴m−1=am+n2=6，
∴n=12−m，
又∵2m=3+n，
∴2m=3+12−m，
解得m=5，
∴5−1=a，即a=4.
故答案为：4.
根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得n，再求得m，进一步得到a的值；
本题主要考查了点的坐标，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键．
16.【答案】77
【解析】解：根据题意，l1=a−b+a+a+a−b+b+b=4a，l2=2(2b−a)+2b=6b−2a
∵l1−l2=48，
∴4a−b−(6b−2a)=4a−6b+2a=6a−6b=48，
∴a−b=8，
图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即S1=a2−b2；图2中阴影部分是两个边长为b的正方形减去长为a，宽为b的长方形的面积，即：S2=2b2−ab；
∴S1+S2=a2−b2+2b2−ab
=a2+b2−ab
=(a−b)2+ab
=82+13
=77；
故答案为：77.
用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
本题考查了整式的混合运算、列代数式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的前提．
17.【答案】解：(1)原式=1+1×19
=1+19
=109；
(2)原式=1−x2+x2−4x+4
=5−4x.
【解析】(1)根据实数的计算法则进行计算即可；
(2)先利用平方差公式及完全平方公式进行计算，再合并同类项，即可得出答案．
本题主要考查平方差公式、完全平方公式、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18.【答案】解：(1) 2x=9−3y x−2y=1；
整理得：{2x+3y=9①2x−4y=2②
①-②得7y=7，
解得y=1，
将y=1代入①得：2x+3=9，
解得x=3，
∴原方程组的解为x=3y=1.
(2)2−xx−3+13−x=1.
去分母得2−x−1=x−3，即2x=4，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解．
【解析】(1)根据解一元一次方程组的步骤解答即可；
(2)根据解分式方程的步骤解答即可．
此题考查了解一元一次方程组和解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：原式=a(a+1)a(a−3)⋅a−3(a−1)(a+1)−1a+1
=1a−1−1a+1
=a+1(a+1)(a−1)−a−1(a+1)(a−1)
=2a2−1，
∵a=±1和3时，分式无意义，
∴a只能取2，
当a=−2时，
原式=2(−2)2−1
=24−1
=23.
【解析】先把各个分式的分子和分母分解因式，把除法化成乘法进行乘法运算，然后再进行通分，按照同分母分式相减法则进行计算，最后取能够让各个分式有意义的a的值，并代入进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的通分与约分．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)S△BCM=13S△ABC=13×12×4×3=2，
故答案为：2.
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)根据S△BCM=13S△ABC，求解即可．
本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(Ⅰ)这次调查抽取的用户数量为10÷10%=100(户)；
(Ⅱ)15∼20吨的户数为100−(10+40+25+5)=20(户)，
扇形统计图中“25吨∼30吨”部分的圆心角的度数为360∘×25100=90∘，
补全直方图如下：
(Ⅲ)估计该地30万用户中用水全部享受基本价格的户数约为30×10+20+40100=21(万户).
【解析】(Ⅰ)根据统计图可知“10吨∼15吨”的用户10户占10%，从而可以求得此次调查抽取的户数；
(Ⅱ)根据(1)中求得的用户数与条形统计图可以得到“15吨∼20吨”的用户数，再用360∘乘以“25吨∼30吨”户数所占百分比；
(Ⅲ)根据前面统计图的信息可以得到该地6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22.【答案】(1)证明：∵CD//BE，
∴∠1+∠CBE=180∘，
∵∠1+∠2=180∘，
∴∠2=∠CBE(同角的补角相等)，
∴EF//BC(内错角相等，两直线平行)；
(2)解：∵CD//BE，
∴∠D=∠AEB，
∵∠AEB=∠2+∠AEF，∠D=2∠AEF，
∴∠2=∠AEF，
即∠D=2∠2，
∵EF//BC，
∴∠AFE=∠ABC，
∵∠EFA−∠EBA=44∘，
∴∠CBE=∠2=44∘，
∴∠D=88∘.
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求证即可；
(2)根据平行线的性质及角的和差求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)CD=EF，理由如下：
∵l1//l2，EF//CD，
∴四边形EFCD为平行四边形，
∴CD=EF.
故答案为：CD=EF.
(2)木木的方法正确，理由如下：
由平移性质知BD=EC，
亮亮的方法，从A到B的路程为AC+CD+BD=AC+EC+CD，
木木的方法，从A到B的路程为AE+BE=AE+CD，
∵AE∴AE+CD∴木木的方法正确．
(3)如图b，①作AD⊥l2交11、l2于C，D，
②把 CD平移至BE，连结 AE，交11于F，
③作FG⊥l2于G，
在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短．
理由：由作图FG//BE，FG=BE，GF可以看作BE平移的结果，连接HE，
∴BG=EF，
若设另在HI处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH+HI+HA>EA+GF，
∴在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短．
(1)说明四边形EFCD为平行四边形，进而得出答案；
(2)分别用两种方法求处于从A到B的路程，进行比较即可；
(3)作图FG//BE，FG=BE，GF可以看作BE平移的结果，则BG=EF，若设另在HI处架桥，同理可得EH=BI，则BI+HI+HA=EH+HI+HA>EA+GF，所以在FG处建桥，使从村庄A经桥到村庄B的路程最短．
本题主要考查一次函数的应用、平行线的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．
24.【答案】9 3 2 6
【解析】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n=240，
∴n48−3m7，
∵m，n为非负整数，
m=16n=0或m=9n=3或m=2n=6，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
50×24035+15=240(张)，
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：9x+2y=5003x+6y=500−8，
解得：x=42y=61，
∵42+61=103(张)，
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n=240，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得9x+2y=5003x+6y=500−8，解方程组可得答案．
本题考查二元一次方程(组)的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．如何设计板材裁切方案？
素材1
图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm.图2是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫.已知该板材长为240cm，宽为40cm.(裁切时不计损耗)
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法(可设裁切靠背m张，座垫n张).
方法一：裁切靠背16张和坐垫0张.
方法二：裁切靠背______张和坐垫______张.
方法三：裁切靠背______张和坐垫______张.
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三
解决实际问题
现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张(恰好全部用完)？并给出一种裁切方案.