人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系说课课件ppt

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2．已知函数y＝lg3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　)A．y＝3－3x(x≥0)B．y＝3＋3x(x≤1)C．y＝3＋3x(x≥0)D．y＝3－3x(x≤1)
解析　 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝lg3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
[解题通法]　反函数的求法(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域．(2)对调原函数解析式中的x和y，解出y.(3)写出反函数．
知识点二　反函数的图像与性质4．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是(　　)
解析　由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝lg3x＋1，∴图像为C.
6．[易错题]已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1，2021)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．
解析　∵g(x)的图像过定点(1，2021)，∴f(x＋1)的图像过定点(2021，1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2022，1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1，2022)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0，2022)．
答案　(0，2022)
[易错分析]　本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
8．已知函数f(x)＝lg2(1－2x)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求证：函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解　(1)要使函数f(x)＝lg2(1－2x)有意义，则1－2x>0，即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，所以f(x)＝lg2(1－2x)<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y＝f(x)＝lg2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝lg2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝lg2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
一、选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是(　　)A．y＝1＋lg2x(x>0)B．y＝lg2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋lg2x(x>0)D．y＝lg2(x＋1)(x>－1)
解析　由y＝2x＋1⇒x＋1＝lg2y⇒x＝－1＋lg2y，又因原函数的值域为{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋lg2x(x>0)．
3．如果函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数是增函数，那么函数y＝－lga(x＋1)的图像大致是(　　)
解析　 ∵函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数是增函数，∴y＝ax为增函数，∴a>1，∴y＝f(x)＝－lga(x＋1)为减函数，可排除B，D；又f(0)＝0，∴排除A.故选C.
二、填空题6．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2，0)，则f(x)的表达式为________．
答案　 f(x)＝2x＋1
解析　 ∵y＝f－1(x)的图像过点(2，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0，2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又y＝f(x)的图像过点(1，3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
答案　 (－∞，－1]
三、解答题9．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1，1)，B(1，3)在它的图像上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(lg2x)|<1.
解　∵y＝f(x)是R上的增函数，∴y＝f－1(x)也是增函数．∵f(－1)＝1，f(1)＝3，∴f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1.由|f－1(lg2x)|<1，得－111．已知函数f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；(3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的值域．
解　 (1)由8－2x>0，得2x<8，∴x<3，∴函数f(x)的定义域为(－∞，3)．(2)令y＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)，解得x＝lg2(8－ay)，对调x，y，得y＝lg2(8－ax)．由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2.