2023-2024学年吉林省长春市高新技术产业开发区慧谷学校九年级（下）第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市高新技术产业开发区慧谷学校九年级（下）第三次月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是( )
A. B. C. D.
2.在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是( )
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 过一点可以作无数条直线
3.如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是( )
A. B. C. D.
4.若aA. a+2>b+2B. a−1>b−1C. 3a>3bD. −a>−b
5.如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图
中∠ABC的度数为( )
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
6.某种风筝如图①所示，这个风筝骨架如图②所示，其中DE⊥AC于点B，AD=CD=m，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度为( )
A. mcsα
B. mtanα
C. 2mcsα
D. 2mtanα
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线MN交AC于点D.连结BD，再按如图所示作射线CP，交BD于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A. BD≠AD
B. ∠BCP=∠ACP
C. ∠ABP=∠A
D. ∠BPC=110°
8.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示.则正确的是( )
A. 函数解析式为ρ=7v
B. 容器内气体的质量是5v
C. 当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3
D. 当ρ=4kg/m3时，v=3m3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：( 2+1)0+1−1=− ______．
10.在平面直角坐标系中，若将抛物线.y=x2−3向上平移m(m>0)个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为______．
11.学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为1.92米，方差分别为S甲2=3，S乙2=5，则身高较整齐的球队为______队(填“甲”或“乙”)．
12.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为3cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为______．
13.2023年旅游业迎来强势复苏.某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“S”型圆弧堤坝.若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为120°，则这“S”型圆弧堤坝的长为______米.(结果保留π)
14.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB、BC，DA上，点G在矩形内部，连接AC，CG，现给出以下结论：
①当AE=4时，S△FGC=16；
②当S△FGC=17.5时，AE=5；
③当A，G，C三点共线时，AG：GC=2：1；
④点G到CD的距离为定值．
其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+2x+1)⋅x2+xx2+6x+9，其中x=13．
16.(本小题6分)
今年五⋅一期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市为长春市、白山市、延吉市，为了民主起见，旅游城市由抽卡片决定.现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着长春市、白山市、延吉市三个城市的名字.依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同.三张卡片正面向下洗匀后，小明从中随机抽取一张卡片，记录城市名字后正面向下放回，洗匀后妈妈再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率．
17.(本小题6分)
近年来，新能源汽车深受人们的喜爱．某4S店上周销售A型新能源汽车2辆，销售B型新能源汽车3辆，销售额为98万元；本周销售A型新能源汽车3辆，销售B型新能源汽车1辆，销售额为91万元，这两周这两款型号的新能源汽车销售单价不变，求出每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
18.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若OA=4，OB=3，求CE的长．
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，线段AB和CD的端点都在格点上.在给定的网格中按要求画图，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画DE/​/AB，点E在格点上．
(2)在图②中作点C关于AB的对称点C′，点C′在格点上．
(3)在图③中作点D关于AB对称点D′，点D′不在格点上．
20.(本小题7分)
在某校科技文化节系列活动中，举办了“魅力几何，勾勒未来”的竞赛活动.现从甲班和乙班各随机抽取10名学生.统计这部分学生的竞赛成绩(满分50)，并对数据(成绩)讲行了收集、整理，分析(其中成绩大于等于40的视为优秀)．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：9，20，50，30，40，30，40，46，40，35
乙班10名学生竞赛成绩：12，45，20，44，34，43，34，36，37，35
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，c= ______；
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由；
(3)甲班有学生46人，乙班有学生50人.估计这两个班被评为优秀的总人数是多少？
21.(本小题8分)
某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y(℃)随时间x(分钟)变化的函数图象．
(1)求该图象的函数表达式；
(2)若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由．
22.(本小题9分)
【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点E在以C为圆心，12BC长为半径的圆上运动.连结BE，将线段BE绕B点逆时针旋转90°，连结AD.当点E在⊙C上运动一周时，探究点D的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图①，通过证明△ABD≌△CBE，可以确定点D的运动路径为点A为圆心，12BC长为半径的圆，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：1、当点E不在直线BC上时，如图①，由旋转，得BE=BD，∠DBE=∠ABC=90°．
证明过程缺失
2、当点E在直线BC上时，
AD=CE=12BC．
综上，点D的运动路径为点A为圆心，12BC长为半径的圆、
【问题延伸】如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点E在以C为圆心，12BC长为半径的圆上运动，连结BE，以BE为斜边作等腰直角三角形DBE，使点D始终在BE的上方，连结AD.当点E在⊙C上运动一周，且AC=4时，点D的运动路径长为______
【能力提升】如图③，连结图①中的DE，分别取AC、DE的中点F、G，连结FG，其它条件不变，当点E在直线BC上方，AC=4，且FG/​/BD时，直线写出线段BE的长．
23.(本小题10分)
如图①，△ABC是等边三角形，AB=6.点P从点A出发，沿折线AB−BC运动.当点P不与点A重合时，连结AP，以AP为边向其右侧作等腰三角形APQ，使∠AQP=120°，延长AQ交边BC于点D，当点D与点C重合，点P停止运动，连结PD
．
(1)当点P在边AB上运动时，AD的长为______．
(2)如图②，当点P在边BC上时，求证：∠BAP+∠CAD=12∠BAC．
(3)点P在整个运动过程中，当△PDQ是轴对称图形时，求PD的长．
(4)点P在整个运动过程中，当AB=3BP时，直接写出PD的长
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+3的对称轴为直线l，直线l与x轴交于点A.点P、Q是该抛物线上的两个点，点P的横坐标为m．
(1)求该抛物线的顶点坐标．
(2)当点Q在x轴上，且点P是该抛物线的顶点时，求PQ的长．
(3)当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、点Q之间的部分的图象(包括点P、点Q)的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值．
(4)过点P作PB⊥l于点B，过点Q作QC⊥x轴于点C，连结AP、AQ，当P、Q、A三点共线，且△ACQ的周长是△ABP的周长的4倍时，直接写出m的值．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.D
5.C
6.C
7.C
8.C
9.1
10.3
11.甲
12.(3 2−1)cm
13.76π
14.①③④
15.解：(1+2x+1)⋅x2+xx2+6x+9
=x+3x+1⋅x(x+1)(x+3)2
=xx+3，
当x=13时，原式=1313+3=1316．
16.解：画树状图如图所示：

共有9种等可能的结果，其中小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的情况数为1种，
所以小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率19．
17.解：设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，
依题意得：2x+3y=983x+y=91，
解得：x=25y=16，
答：每辆A型车的售价为25万元，B型车的售价为16万元．
18.(1)证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴∠BAC=∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，OA=4，OB=3，
∴AC⊥BD，AC=2OA=8，BD=2OB=6，
∴∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= 42+32=5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB⋅CE=12AC⋅BD，
即5CE=12×8×6，
解得：CE=245，
即CE的长为245．
19.解：(1)如图①，直线DE即为所求．
(2)如图②，点C′即为所求．
(3)如图③，连接DB并延长，交格点于点E，过点E作AB的平行线EF，再过点D作EF的垂线，交EF于点D′，
则点D′即为所求．

20.(1)34，37.5，34；
(2)甲班成绩比较好，理由如下：
甲、乙两个班的平均数相同，而中位数、众数以及优秀率均高于乙班，所以甲班成绩比较好；
(3)46×50%+50×30%=38(人)，
答：估计这两个班被评为优秀的总人数是38人．
21.解：(1)设函数表达式为y=kx+b，
当0≤x≤10时，将(0,20)，(10,240)代入得：
b=2010k+b=240，
解得k=22b=20，
∴y=22x+20；
当1010k+b=24015k+b=20，
解得k=−44b=680，
∴y=−44x+680；
∴y=22x+20(0≤x≤10)−44x+680(10(2)在y=22x+20中，令y=130得x=5，
在y=−44x+680中，令y=130得x=12.5，
∵12.5−5=7.5>6，
∴该模式下烤制的食物能健康食用．
22.【问题解决】如图①，由旋转，得BE=BD，∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠DBE−∠ABE=∠ABC−∠ABE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=12BC；
【问题延伸】4π；
【能力提升】连接BF，BG，如图，
∵FG//BD，
∴∠EGF=∠BDE=45°，
∵∠DBE=90°，G是DE中点，
∴∠DBG=∠DBA+∠ABG=45°，BDBG= 2，∠DGB=∠BGE=90°，
同理：∠ABF=∠ABG+∠GBF=45°，ABBF= 2，
∴∠DBA=∠GBF，BDBG=ABBF，∠BGF=45°，
∴△DBA∽△GBF，
∴∠BDA=∠BGF=45°，
∴∠BDA=∠BDE=45°，
∴D、A、E三点共线，
∵△ABD≌C△CBE，
∴∠BDA=∠BEC=45°，AD=CE=12BC，
∵AC=4，
∴BC= 22AC=2 2，
∴AD=CE= 2，
∵∠DEC=∠DEB+∠BEC=90°，
∴在Rt△AEC中，AE= AC2−CE2= 42−( 2)2= 14，
∴DE=AD+AE= 2+ 14，
∴BE= 2+ 14 2=1+ 7．
23.(1)∵等腰三角形APQ，∠AQP=120°，
∴∠APQ=∠QPA=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAC=30°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴BD=12BC=3，
∴AD= 3BD=3 3．
(2)∵∠BAC=60°，∠PAQ=30°，
∴∠BAP+∠CAD=30°=12∠BAC．
(3)①如图，当PD=PQ时．
∵∠APQ=∠QPA=30°，
∴∠PQD=∠APQ+∠QPA=60°，
∴△PDQ为等边三角形，
∴∠ADP=60°，
∴∠DPA=90°，
∴PD=12AD=3 32．
②如图1，∠PQD=60°，
故当△PDQ有任意两边相等时，
△PDQ为等边三角形，
∴∠PDQ=60°，
则∠PDQ与∠ACB重合．
如图2所示：
则PD=12BC=32．
综上所述，PD=3 32或32．
(4)①如图，当此时AB=3BP时，过P作PM⊥AD．
∴AP=4，
∴PM=12AP=2，
∴AM= 3PM=2 3，
∴MD=AD−AM= 3，
∴PD= PM2+MD2= 7．
②如图，当此时AB=3BP时，
把△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACN，连ND、NC，
过N作NM⊥BC，交BC延长线于M．
∴CN=PB=2，∠ACN=∠B=60°，∠CAN=∠BAP．
∵∠PAQ=30°，
∴∠BAP+∠DAC=30°，
∴∠CAN+∠DAC=30°，
∴∠DAN=∠PAD=30°．
在△PAD和△NAD中，
PA=PN．∠DAN=∠PADAD=AD，
∴△PAD≌△NAD(SAS)，
∴DP=DN．
∵∠NCM=180°−∠ACB−∠ACN=60°，
∴∠CNM=30°，
∴CM=12CN=1，
∴NM= 3CM= 3．
∵BP=2，
∴PC=4，
∴PN=PC+CN=5，
∴DN=PN−PD=5−x，
∵DN2+MN2=DM2，
∴(5−x)2+3=x2，
∴x=145．
∴PD=145．
综上所述，PD= 7或145．
24.解：(1)∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线的顶点为(2,−1)；
(2)令y=0，则x2−4x+3=0，
解得x=1或x=3，
∴Q(1,0)或Q(3,0)；
∵点P的坐标为(2,−1)，
当Q(1,0)时，PQ= 2；
当Q(3,0)时，PQ= 2；
∴PQ= 2；
(3)由(1)可知，抛物线的对称轴为直线l：y=2；
①当m<2时，最高点为Q，最低点是(2,−1)；
∴2−m−(−1)=3，
∴m=0(舍)；
当最高点为P时，最低点是(2,−1)，
∴(m−2)2−1−(−1)=3，
解得m=2+ 3(舍)或m=2− 3；
②当m>2时，
P为最高点，Q为最低点时，(m−2)2−1−(m−2)=3，
解得m=5− 172(舍)或m=5+ 172；
Q为最高点，P为最低点时，m−2−(m−2)2+1=3，方程无解；
综上，m的值为2− 3或5+ 172；
(4)根据题意画出图形，如图1，如图2：
由(1)可知，A(2,0)，PB=2−m(如图1)或PB=m−2(如图2)，

∵PB⊥l于点B，QC⊥l于点C，
∴∠ABP=∠ACQ=90°，
∵∠PAB=∠QAC，
∴△APB∽△AQC，
∵△ACQ的周长是△ABP的周长的4倍，
∴AB：AC=BP：CQ=1：4，
即AC=4AB，CQ=4BP，
如图1，PB=2−m，P(m,m2−4m+3)，
∴AB=−(m2−4m+3)，
∴CQ=4BP=8−4m，即xQ−2=8−4m，
∴xQ=10−4m，
∴Q(10−4m,−4(m2−4m+3))，
∵点Q在抛物线上，
∴(10−4m)2−4(10−4m)+3=−4(m2−4m+3)，
解得m=32或m=52(舍)．
如图2，PB=m−2，P(m,m2−4m+3)，
∴AB=−(m2−4m+3)，
∴CQ=4BP=4−8m，即xQ−2=4m−8，
∴xQ=4m−6，
∴Q(4m−6,−4(m2−4m+3))，
∵点Q在抛物线上，
∴(4m−6)2−4(4m−6)+3=−4(m2−4m+3)，
解得m=32(舍)或m=52．
综上，m的值为32或52．
班级
0≤x<10
10≤x<20
20≤x<30
30≤x<40
40≤x≤50
甲班
1
0
1
3
5
乙班
0
1
1
5
3
班级
平均数
中位数
众数
优秀率
甲班
34
b
40
50%
乙班
a
35.5
c
30%