北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率5 正态分布练习题，共20页。试卷主要包含了5　　　C，已知随机变量X~N,P=P等内容，欢迎下载使用。

题组一 正态曲线
1.(2022黑龙江哈尔滨第三中学月考)下列是关于正态曲线f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2(x∈R)性质的说法:
①曲线关于直线x=μ对称,且总是位于x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,且仅当x∈[-3σ,3σ]时才位于x轴上方;
③曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数,因此曲线关于y轴对称;
④曲线在x=μ处位于最高点,由这一点向左、右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的位置由μ确定,曲线的形状由σ确定.
其中说法正确的是( )
A.①④⑤ B.②④⑤
C.③④⑤ D.①⑤
2.(2023上海光明中学期中)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的正态曲线如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.DX=6
B.μ1>μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤34)3.(2022山东潍坊部分县市期中联考)甲、乙两类产品的质量(单位: kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B.乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C.甲类产品的平均质量为1 kg
D.乙类产品的质量的方差为2
题组二 正态分布的概率问题
4.(2024湖南长沙长郡中学月考)设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X B.0.5 C.0.3
5.(2024福建福州第八中学期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,则P(1<ξ<2)=( )
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
6.(2024贵州黔西南州部分学校月考)若随机变量X~N(10,22),则下列结论错误的是( )
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
7.(2022重庆名校联盟联考)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(28.已知随机变量X~N(2,9),P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求P(-4附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ题组三 正态分布的应用
9.(2024贵州贵阳五校联合考试)某市高三联考后,统一调查研究本次考试的数学成绩,得出全体学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(90,50),则下列说法错误的是( )
A.本次联考的数学平均分近似为90分
B.本次联考数学成绩的方差近似为50
C.随机抽取一名学生的成绩,P(X>110)>P(X<60)
D.随机抽取一名学生的成绩,P(8010.(2022江苏南京田家炳高级中学期中)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高二年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有 ( )
A.477人 B.136人
C.341人 D.131人
11.(2024江苏丹阳期初检测)已知某工厂生产零件的尺寸指标ξ~N(15,0.002 5),该厂每天生产的零件尺寸(单位:cm)在(14.9,15.05]内的数量为818 600,则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为( )
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
A.1 587 B.2 275
C.2 700 D.1 350
12.(2023广东部分学校大联考)某市宣传部门开展了线上知识竞赛,现从全市的参与者中随机抽取了1 000名参与者的成绩进行分析,把他们的得分(满分100分)分成以下7组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计得各组的频率之比为1∶6∶8∶10∶9∶4∶2.同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.
(1)求这1 000名参与者成绩的第75百分位数和平均值μ(结果保留整数)﹔
(2)若此次知识竞赛得分X~N(μ,142),为感谢市民的积极参与,对参与者制订如下奖励方案:得分不超过79分的可获得1次抽奖机会,得分超过79分但不超过93分的可获得2次抽奖机会,得分超过93分的可获得3次抽奖机会,试估计任意一名参与者获得抽奖次数的数学期望.
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
能力提升练
题组一 正态分布及其概率计算
1.(2024广东揭阳期中)设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是( )
A.P(|X|≤1)≤P(|Y|≤1)
B.P(|X|≤1)=P(|Y|≤1)
C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
D.P(|X|≤1)2.(2023浙江宁波北仑中学期中)设随机变量ξ~N(μ,1),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(0<ξ≤1)=( )
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4.
7 9
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题组二 正态分布的综合应用
3.(多选题)(2022江苏徐州铜山期中)已知某校有1 200名同学参加某次联考,其中每位学生的数学成绩X服从正态分布N(100,225),则下列说法正确的有( )
参考数据:①P(μ-σA.X的数学期望为100
B.X的方差为15
C.这次考试成绩超过100分的约有500人
D.P(1154.(2022吉林长春二中、东北师大附中期末)某个部件由两个电子元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布
N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .
5.(2024四川雅安零诊考试)某校期末统考数学成绩服从正态分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例将考试成绩划为A,B,C,D四个等级,其中分数大于或等于83分的为A等级,则B等级的分数应为 .(用区间表示)
6.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2n,为使误差εn在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.954 4,至少要测量 次(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 4).
7.(2024四川成都石室中学月考)为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试,并从中随机抽取了200名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生健康指数的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①求P(50.73②已知该市高三学生约有10 000名,记体质健康指数在区间(50.73,78.54)内的人数为ξ,试求Eξ.
附:参考数据:86≈9.27,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ8.(2022浙江大学附属中学期末)我国是全球制造业大国,制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一,主要产品产量稳居世界前列,为深入推进传统制造业改造提升,全面提高传统制造业核心竞争力,某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.新设备生产的零件的直径为X(单位:nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个,其中直径大于10 nm的有4个,现从这7个零件中随机抽取3个,记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件个数,求ξ的分布列及数学期望Eξ;
(2)已知新设备生产的零件的合格率为23,每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测,若合格的零件数η超过半数,则可认为技术攻坚成功,求技术攻坚成功的概率及η的方差;
(3)若新设备生产的零件直径X~N(9,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 6,P(|X-μ|≤2σ)≈
0.954 4,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 4,0.977 210≈0.794 0,0.954 410≈0.627 1.
答案与分层梯度式解析
§5 正态分布
基础过关练
1.A 正态曲线f(x)关于直线x=μ对称,该曲线总是位于x轴上方,故①正确,②不正确;
只有当μ=0时,正态分布密度函数是一个偶函数,曲线关于y轴对称,此时为标准正态分布,当μ≠0时,不是偶函数,故③不正确;
正态曲线f(x)是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处位于最高点,且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线,故④正确;
曲线的位置由μ确定,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”,故⑤正确.
故选A.
2.C 由X~N(μ1,62),可得DX=36.
由题图可得μ1=30,μ2=34,所以μ1<μ2.
当X≤38,Y≤38时,X对应的曲线与x轴围成图形的面积小于Y对应的曲线与x轴围成图形的面积,
所以P(X≤38)P(X≤34)>12,P(Y≤34)=12,
所以P(X≤34)>P(Y≤34).故选C.
3.A 由题图可知,甲类产品的平均质量为μ1=0.5 kg,乙类产品的平均质量为μ2=1 kg,甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差,
故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右,故A正确,B、C错误;
由正态分布密度函数的解析式f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,
可知当x=μ时,f(x)取得最大值,
∴12πσ=4,∴σ=142π,
∴σ2=132π≠2,故D错误.
故选A.
4.D 随机变量X~N(μ,σ2),显然P(X而P(X故选D.
5.A 由题意可得μ=2,且P(ξ<3)=0.6,则P(ξ>3)=P(ξ<1)=1-0.6=0.4,所以P(1<ξ<2)=1-0.4×22=0.1.故选A.
6.D 因为随机变量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A正确;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正确;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C正确;
D(2X+1)=4D(X)=16,故D错误.
故选D.
7.答案 4
解析 ∵P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(28.解析 (1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称.
因为P(X>c+1)=P(X所以2-(c-1)=(c+1)-2,解得c=2.
(2)由X~N(2,9),得μ=2,σ=3,
所以P(-49.D 对于A,B,因为全体学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(90,50),所以μ=90,σ2=50,所以A,B正确;
对于C,因为X~N(90,50),所以P(X>110)=P(X<70)>P(X<60),故C正确;
对于D,因为X~N(90,50),所以P(80P(100故选D.
10.B P(105=P(60=0.954 4-0.682 62=0.135 9,
则1 000×0.135 9=135.9≈136,
故此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有136人.
故选B.
11.D 由已知得μ=15,σ2=0.002 5,∴σ=0.05,
则P(μ-2σ<ξ≤μ+σ)=12P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)+12P(ξ-σ<ξ≤μ+σ)
= 12×0.954 5+12×0.682 7=0.818 6.
故零件尺寸在15.15以上的概率P(ξ>μ+3σ)=12×(1-0.997 3)=0.001 35,
设零件尺寸在15.15以上的零件数为x,
则818 6000.818 6=x0.001 35,解得x=1 350.
故选D.
12.解析 (1)设这1 000名参与者成绩的第75百分位数为x,则1+6+8+1040+x-7010×940=0.75,解得x≈76(分),
μ=35×140+45×640+55×840+65×1040+75×940+85×440+95×240=65(分).
所以这1 000名参与者成绩的第75百分位数约为76分,平均值为65分.
(2)设随机变量Y表示任意一名参与者获得的抽奖次数,则Y的可能取值为1,2,3,
由已知及(1)得X~N(65,142),
则P(Y=1)=P(X≤79)=P(X≤μ+σ)≈12+0.682 62=0.841 3,
P(Y=2)=P(79P(Y=3)=P(X>93)=P(X>μ+2σ)≈1-0.841 3-0.135 9=0.022 8,
所以Y的分布列为
所以EY=1×0.841 3+2×0.135 9+3×0.022 8=1.181 5.
所以估计任意一名参与者获得抽奖次数的数学期望为1.181 5.
能力提升练
1.C 因为X~N(0,22),Y~N(0,32),所以X与Y的正态曲线均关于y轴对称,且P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1),P(|Y|≤1)=P(-1≤Y≤1),
因为σ越大,正态曲线越扁平,
所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
故选C.
2.B 若函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点,即方程x2+2x-ξ=0没有实数根,则Δ=4+4ξ<0,即ξ<-1.
∵函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正态曲线的对称性可知μ=-1,∴ξ~N(-1,1),
又σ=1,∴μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1,
∴P(0<ξ≤1)=P(-3<ξ≤1)-P(-2<ξ≤0)2≈0.954 4-0.682 62=0.135 9.
故选B.
3.AD 因为数学成绩X服从正态分布N(100,225),故X的数学期望为μ=100,方差为σ2=225,标准差为σ=15,故A正确,B错误;
因为X的数学期望为μ=100,所以P(X>100)=12,则成绩超过100分的约有1 200×12=600(人),故C错误;
P(X≤115)=P(X<100)+12P(100-15P(X≤130)=P(X<100)+12P(100-2×15则P(115故选AD.
4.答案 34
解析 解法一:由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1 000,502)得两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12,则该部件使用寿命超过1 000小时的概率P=1-1-122=34.
解法二:由题知元件1,2的平均使用寿命均为1 000小时,设元件1,2的使用寿命超过1 000小时分别为事件A,B,显然P(A)=P(B)=12,所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为AB+AB+AB,所以其概率P=12×12+12×12+12×12=34.
5.答案 [76,83)
解析 设考试成绩为X,
由题意可知,μ=76,σ=4,P(X≥76)=0.5,P(X≥83)=0.15,
所以P(76≤X<83)=P(X≥76)-P(X≥83)=0.5-0.15=0.35,
所以B等级的分数应为[76,83).
6.答案 32
解析 由题意知P(-0.5<εn<0.5)≥0.954 4,
且P|εn|<22n=0.954 4,
∴22n≤0.5,解得n≥32.
7.解析 (1)由题意得,x=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60,
s2=(40-60)2×0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2×0.23+(80-60)2×0.04+(90-60)2×0.01
=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01=86,
所以估计这200名学生健康指数的平均数为60,样本方差为86.
(2)①由(1)可知μ=60,σ=86≈9.27,
则P(50.73=P(μ-σ②由①可知1名学生的健康指数在(50.73,78.54)内的概率为0.819,
依题意,ξ~B(10 000,0.819),
则Eξ=10 000×0.819=8 190.
8.解析 (1)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=C40C33C73=135,P(ξ=1)=C41C32C73=1235,
P(ξ=2)=C42C31C73=1835,P(ξ=3)=C43C30C73=435.
故ξ的分布列为
数学期望Eξ=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.
(2)η的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(η=4)=C64×234×132=80243,
P(η=5)=C65×235×131=64243,
P(η=6)=C66×236×130=64729.
所以技术攻坚成功的概率为P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=496729,
因为η~B6,23,
所以η的方差Dη=6×23×1-23=43.
(3)由X~N(9,0.04),可知μ=9,σ=0.2,由P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 4,得P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 4,所以P(99.4)=12-P(99.4)=0.977 2,记“从生产的零件中随机取出10个,至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-0.977 210≈1-0.794 0=0.206 0.故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.206 0.
Y
1
2
3
P
0.841 3
0.135 9
0.022 8
ξ
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435