第12讲 对数与对数函数--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
考点1 对数的化简求值
[名师点睛]
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
[典例]
1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知，则_______；_________．
【答案】 10 1
【解析】，
∴，解得，∴﹒
故答案为：10；1﹒
2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
【解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
【解】（1）原式=；
（2）因为，所以，所以，所以x=109；
（3）因为，所以，所以
．
[举一反三]
1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
故选AD.
2．（2022·山东滨州·二模）__________．
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2lg32－lg3＋lg38－；
（2）(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258)．
【解】（1）原式＝2lg32－5lg32＋2＋3lg32－3＝－1.
（2）原式
.
4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值：
（1）．
（2）；
（3）.
（4）
（5）．
【解】（1）

；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
【解】（1）原式
（2）由得到，
由，得到，即.
.
考点2 对数函数的图象及应用
[名师点睛]
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
[典例]
1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
2．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【解析】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9
[举一反三]
1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
2．（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，，
则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，，
当时，，
当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况，
故选：．
考点3 对数函数的性质及应用
[名师点睛]
1．比较对数值的大小与解形如lgaf(x)>lgag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
[典例]
1．（2022·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，故，
∴函数为偶函数；
易知，当时，在为单调递增函数；
又，∴，
同理，；
又，
，
故，故.
故选：A.
2．（2022·福建莆田·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
，，


故选：C.
3．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得
解得
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上为增函数B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数是偶函数
【答案】D
【解析】根据题意，函数，其定义域为，
有，所以函数是偶函数，则正确，错误，
对于，，不是增函数，错误，
对于，，
设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误，
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
【解】解：（1）因为函数的定义域为，
则在上恒成立，
当时，，得，不合题意舍去；
当时，，解得，
综合得；
（2）函数在上恒有意义，即在上恒成立
，恒成立，
令，，则，当时，，
；
（3）当时，或，
解得，
当时，或，
解得．
故存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2．
[举一反三]
1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】,
所以，
，而，
所以．
故选：A．
2．（2022·北京房山·二模）已知函数，则不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】．
故选：C﹒
3．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，
由，即恒过且，
所以上，上，
而在上递增，且上，上，
所以的解集为.
故选：C
4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；
则等价于，即，
即，解得，即原不等式的解集为；
故选：C
5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出函数与的图象，如图，
当时，，作出函数与的图象，
由图象可知，此时解得；
当时，，作出函数与的图象，
它们的交点坐标为、，结合图象知此时.
所以不等式的解集为.
故选：C
6．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，
当时，函数显然不存在最大值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数无最大值，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，可得；
由在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得函数在上单调递增，所以，即，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：A.
8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，下列四个命题正确的是（ ）.
A．函数为偶函数
B．若，其中，，，则
C．函数在上为单调递增函数
D．若，则
【答案】ABD
【解析】解：函数
对于A，，，所以函数为偶函数，故A正确；
对于B，若，其中，，，所以，
，即，得到，故B正确；
对于C，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故C错误；
对于D，因为，，，
故，故D正确.
故选：ABD.
9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的周期函数
C．直线与函数的图像有1个交点
D．函数的值域为
【答案】ACD
【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，
根据图象可知选项A中，正确；
对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；
对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；
对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.
故选：ACD.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数在，上单调递增，在，上单调递增，
∴，，
对任意的，，有恒成立，
∴，即，解得，
∴实数的取值范围是．
故答案为：.
11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，设，函数的定义域为[m，n] (m【解】画出函数的图像，如图所示，
结合图像可知，要使的值域是[0，1]，
其定义域可能是、、，
且，
因此结合题意可知，
所以.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(，且).
（1）求的定义域.
（2）是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
（2）假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2.
设函数，由，得，
所以在区间上为减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为2，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数图像所经过的定点；
（3）若函数的最大值为2，求的值.
【解】解：（1）因为，所以，解得，所以函数的定义域.
（2）因为，
所以，
当时，即时，，
函数图像所经过的定点，.
（3）令，，则，所以，
若函数的最大值为2，
因为，则时最大值为2，
即，则，故.
14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若于恒成立，求的取值范围．
【解】(1)令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
(2)由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
(3)由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数