精品解析：北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测题（解析版）

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北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测题一、选择题：（每小题3分，共36分）1. 下列判定正确的是( )A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C. 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【详解】A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；故选C．【点睛】本题考查了多边形，熟记平行四边形判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2. 下列说法中，错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【2题答案】【答案】D【解析】【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说法正确；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；C．菱形的对角线互相垂直，说法正确；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.故选D.考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.3. 下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A. 矩形的对角线相等B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形C. 矩形有一个内角是直角D. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【3题答案】【答案】B【解析】【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【详解】A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 矩形或菱形【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5. 两条对角线相等的平行四边形一定是( )A. 矩形 B. 菱形 C. 矩形或正方形 D. 正方形【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【详解】因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选A．【点睛】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6. 如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14【6题答案】【答案】A【解析】【分析】首先根据菱形的性质求出边长并得出，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案．【详解】∵菱形的周长为28，∴，，∵为边中点，∴是的中位线，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．7. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ）．A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形【7题答案】【答案】D【解析】【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．【详解】解：如图，连接、，、、、分别是矩形的、、、边上的中点，，（三角形的中位线等于第三边的一半），矩形的对角线，，四边形是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．8. 如图，正方形对角线是菱形的一边，则等于（ ）A. 135° B. 45° C. 22.5° D. 30°【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据正方形、菱形的性质解答即可.【详解】∵AC是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF是菱形AEFC的对角线，∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．故选C.【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，熟知正方形、菱形的一条对角线平分一组对角的性质是解决问题的关键.9. 如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE度数为( )A. 30° B. 22.5° C. 15° D. 45°【9题答案】【答案】B【解析】【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案．【详解】∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=675°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，故选B．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10. 如图，长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ）A. 4.8 B. 5 C. 5.8 D. 6【10题答案】【答案】C【解析】【分析】设DE=EB=，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形是由四边形EFCB翻折得到，∴DE=EB，设DE=EB=，在Rt△ADE中，∵∠A=90°，AD=4，DE=EB=，AE=，∴，解得：，∴DE=5.8，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折中的不变量解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．11. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）A. 16 B. 17C. 18 D. 19【11题答案】【答案】B【解析】【详解】如图设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为=8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．12. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）A. B. 2 C. 3 D. 2【12题答案】【答案】B【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选B．【点睛】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题（每小题3分，共12分）13. 已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为_____，面积为_____．【13题答案】【答案】 ①. 10cm， ②. 50cm2【解析】【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【详解】根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO=，∴BD=2BO=10（cm），则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10=50（cm2）；故答案为10cm，50cm2．【点睛】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14. 矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE折叠后得到GBE，BG延长交DC于点F，CF＝1，FD＝2，则BC的长为_________．【14题答案】【答案】2．【解析】【详解】试题分析：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG-NG=3-=，∴BF=2BN=5，∴BC=BF2−CF2==2．故答案为2．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于_____．【15题答案】【答案】【解析】【详解】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，∠ADC=90°，OA=OD．∵AB=3，AD=4，∴由勾股定理得：AC= ．∵ ，∴DM=．∵，∴ ．∴PE+PF=DM=．故答案为．16. 如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．【16题答案】【答案】3【解析】【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【详解】∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′=，故PE﹢PC的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．【17题答案】【答案】证明见解析【解析】【详解】分析：先根据两边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形OBEC为平行四边形，然后根据正方形的性质：对角线互相垂直平分且相等，可得∠BOC=90°，OC=OB，从而根据正方形的判定得证结论.详解：∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=OB，AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四边形OBEC是矩形．∵OC=OB，∴四边形OBEC是正方形.点睛：此题主要考查了正方形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键.18. 已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，AF＝ED．求证：四边形 AEDF 是菱形．【18题答案】【答案】见解析【解析】【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD．∵DE∥AC，ED=AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．【点睛】本题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．19. 已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【19题答案】【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．试题解析：证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D.又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.20. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．【20题答案】【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=， ∵AN是∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE=， ∴∠DAE=，∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；∵AB＝AC，∴，∵AD⊥BC，∴，∴，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形，故当时，四边形ADCE是一个正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．21. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.（1）证明：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形.并证明结论.【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）∠A=90°，证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）要证DE=DF，就要证△DEB≌△DFC，根据已知条件可达到目的；（2）解决此题的关键是先假设四边形EDFA是正方形，根据其判定即可添加一个条件．试题解析：（1） ∵AB=AC，∠B=∠C ， ∵DE⊥ AB，DF⊥ AC ， ∴∠DEB=∠DFC= 90°，∵D是BC的中点，∴BD=DC ， ∴△BDE≌△CDF ，∴DE=DF；（2）∠A=90°，∵DE⊥ AB，DF⊥ AC ，∴∠DEB=∠DFC= 90° ，又∵∠A=90°，∴∠DEB=∠DFC=∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴矩形AEDF是正方形.22. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．【22题答案】【答案】1【解析】【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，OA=OD，∵∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠ADO=60°，OA=AD，在Rt△ADB中，AD=，∵AE⊥BD，∴OE=DE=OD=1．故答案是：1.23. 已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【23题答案】【答案】（1）见解析；（2）﹣1；（3）所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【解析】【详解】试题分析：（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=2﹣或﹣2+，∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。试卷地址：在组卷网浏览本卷