新高考数学一轮复习讲义第4章　§4.4　简单的三角恒等变换（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( )
(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(3)cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2).( )
(4)tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).( )
教材改编题
1．cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．若角α满足sin α＋2cs α＝0，则tan 2α等于( )
A．－eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
3．若α为第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则sin 2α等于( )
A．－eq \f(120,169) B．－eq \f(60,169) C.eq \f(120,169) D.eq \f(60,169)
题型一 三角函数式的化简
例1 (1若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α等于( )
A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
(2)已知sin α＋cs α＝eq \f(2\r(3),3)，则sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________.
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)若f(α)＝2tan α－eq \f(2sin2\f(α,2)－1,2sin \f(α,2)·cs \f(α,2))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值是________．
(2)化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan α·tan \f(α,2)))＝________.
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)eq \f(1,2sin 10°)－eq \f(\r(3),2cs 10°)；
(3)eq \f(cs 10°1＋\r(3)tan 10°－2sin 50°,\r(1－cs 10°)).
命题点2 给值求值
例3 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋eq \r(3)cs α＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,9) C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(7,9)
命题点3 给值求角
例4 已知 sin α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
思维升华
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2 (1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cs 2α＝cs α－1，则sin 2α等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,8)
C．－eq \f(3,4) 或0 D.eq \f(3,8)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15°－\f(α,2)))＝tan 210°，则sin(60°＋α)的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,4))).
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝eq \f(\r(3),3)，求sin 2α的值．
思维升华
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练3 已知3sin α＝2sin2eq \f(α,2)－1.
(1)求sin 2α＋cs 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
课时精练
1．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs(π－x)＝－eq \f(4,5)，则tan 2x等于( )
A.eq \f(7,24) B．－eq \f(7,24) C.eq \f(24,7) D．－eq \f(24,7)
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，则sin 2θ的值为( )
A.eq \f(7,9) B．－eq \f(7,9) C.eq \f(2,9) D．－eq \f(2,9)
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(2),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(4π,3)))等于( )
A．－eq \f(5,9) B.eq \f(5,9) C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5．(多选)下列计算结果正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝eq \f(1,8)
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－eq \f(1,2)
D．2sin 18°cs 36°＝eq \f(1,2)
6.黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2)，根据这些信息，可得sin 54°等于( )
A.eq \f(2\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)＋1,4) C.eq \f(\r(5)＋4,8) D.eq \f(\r(5)＋3,8)
7．eq \f(sin 12°2cs212°－1,\r(3)－tan 12°)＝ .
8．已知tan 2θ＝－2eq \r(2)，eq \f(π,4)<θ9．化简并求值．
(1)eq \f(\r(3)－4sin 20°＋8sin320°,2sin 20°sin 480°)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,cs280°)－\f(3,cs210°)))·eq \f(1,cs 20°).
10．(1)已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))；
(2)已知cs 2θ＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,4)<θ(3)已知sin(α－2β)＝eq \f(4\r(3),7)，cs(2α－β)＝－eq \f(11,14)，且0<β11．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(cs 2β,1－sin 2β)，则( )
A．α＋β＝eq \f(π,2) B．α－β＝eq \f(π,4)
C．α＋β＝eq \f(π,4) D．α＋2β＝eq \f(π,2)
12. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于eq \f(355,113)，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则eq \f(1－2cs27°,π\r(16－π2))的值为( )
A．－eq \f(1,8) B．－8 C．8 D.eq \f(1,8)
13．(多选)若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，α∈(0，π)，则( )
A．cs α＝eq \f(1,3)
B．sin α＝eq \f(2,3)
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6)＋2\r(3),6)
D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(3)－\r(6),6)
14．已知α，β均为锐角，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝eq \f(5,13)，则sin(α＋β)＝ ，cs(2α－β)＝ .
15．f(x)满足：∀x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有eq \f(x2fx1－x1fx2,x1－x2)<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝eq \f(tan 8°,1＋tan28°)，c＝cs2eq \f(5π,24)－eq \f(1,2)，则eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)的大小顺序为( )
A.eq \f(fa,a)C.eq \f(fb,b)16.已知由sin 2x＝2sin xcs x，cs 2x＝2cs2x－1，cs 3x＝cs(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cs 3x＝4cs3x－3cs x，已知cs 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则eq \(HE,\s\up6(→))·eq \(HG,\s\up6(→))＝________.