2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.5　指数与指数函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于( )
A．不确定 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
3．已知关于x的不等式(eq \f(1,3))x－4≥3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4,1]
答案 A
解析 不等式(eq \f(1,3))x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，
所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．
4．eq \r(3,－43)＋(eq \f(1,2))0＋ SKIPIF 1 < 0 ×(－eq \f(1,2))－4＝________.
答案 5
解析 eq \r(3,－43)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＋ SKIPIF 1 < 0 ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－4＝－4＋1＋0.5×16＝5.
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\f(1,16)))0.5－2× SKIPIF 1 < 0 －2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2＋π)))0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))－2； (2)2eq \r(3)×3eq \r(3,1.5)×eq \r(6,12).
解 (1)原式＝ SKIPIF 1 < 0 －2× SKIPIF 1 < 0 －2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＝ SKIPIF 1 < 0 －2× SKIPIF 1 < 0 －2＋eq \f(9,16)
＝eq \f(9,4)－2×eq \f(9,16)－2＋eq \f(9,16)＝eq \f(9,4)－eq \f(9,8)－2＋eq \f(9,16)＝－eq \f(5,16).
(2)原式＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝6×3＝18.
思维升华
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 (多选)下列计算正确的是( )
A.eq \r(12,－34)＝eq \r(3,－3)
B． SKIPIF 1 < 0
C.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)
D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
答案 BC
解析 对于A，eq \r(12,－34)＝eq \r(12,34)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(3,3)≠eq \r(3,－3)，所以A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，eq \r(\r(3,9))＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(3,3)，所以C正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误．
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为( )
A．a＝b B．0答案 ABC
解析 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，
由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；
作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0作出直线y＝m，当0当01，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0∴实数b的取值范围是(0,2)．
思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2 (多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为( )
A．01，b<0 D．a>1,0答案 ABC
解析 若0要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3 已知a＝1.30.6，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))－0.4，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))0.3，则( )
A．c答案 D
解析 a＝1.30.6>1.30＝1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))－0.4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))0.4，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))0.3，因为指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x是减函数，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))0.4命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}．对于不等式2x＋1由图象可知，不等式2x＋1又∵{x|－1命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝eq \f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)＝eq \f(1,a)·2x＋eq \f(1,2x)，
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(1,a)·eq \f(1,2x)＋2x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)·2x＋\f(1,2x)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,2x)))＝0，即eq \f(1,a)＋1＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝eq \f(1,2x)－2x，x∈[1,2]，所以eq \f(1,22x)－22x≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)－2x))，
所以m≥eq \f(1,2x)＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，设y＝eq \f(1,2x)＋2x，则y＝t＋eq \f(1,t)，t∈[2,4]，
由于y＝t＋eq \f(1,t)在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋eq \f(1,4)＝eq \f(17,4).
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,4)，＋∞)).
思维升华
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)(多选)已知函数f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(－1,1)
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)为减函数
答案 ABC
解析 因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；
f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)＝1－eq \f(2,ex＋1)，由ex>0⇒ex＋1>1⇒0因为f(－x)＝eq \f(e－x－1,e－x＋1)＝eq \f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq \f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；
因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，所以函数y＝eq \f(2,ex＋1)是减函数，
所以函数y＝－eq \f(2,ex＋1)是增函数，故f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)＝1－eq \f(2,ex＋1)是增函数，故D不正确．
(2)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为________．
答案 eq \f(3,2)或eq \f(1,2)
解析 当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝eq \f(a,2)，解得a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去)；当 0课时精练
一、单项选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．若a>0，则 SKIPIF 1 < 0 ＝a
B．若m8＝2，则m＝±eq \r(8,2)
C．若a＋a－1＝3，则 SKIPIF 1 < 0 ＝±eq \r(5)
D.eq \r(4,2－π4)＝2－π
答案 B
解析 对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当a＝1时， SKIPIF 1 < 0 ＝a；当a≠1时， SKIPIF 1 < 0 ≠a，故A错误；对于B，m8＝2，故m＝±eq \r(8,2)，故B正确；
对于C，a＋a－1＝3，则 SKIPIF 1 < 0 ＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(5)，故C错误；
对于D，eq \r(4,2－π4)＝|2－π|＝π－2，故D错误．
2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示．
故函数f(x)的图象不经过第二象限．
3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.9，则a，b，c的大小关系是( )
A．a答案 D
解析 因为b＝1.20＝1，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.
4．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案 D
解析 函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2－eq \f(a2,4)在区间(0,1)上单调递减，因此eq \f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．
5．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是( )
A．a≤eq \f(1,2) B．a>1 C．a≤eq \f(1,2)或a≥1 D．a答案 C
解析 a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，所以a＝eq \f(2|x|,2|x|＋1)＝1－eq \f(1,2|x|＋1)，因为2|x|≥20＝1，所以2|x|＋1≥2,01，故B不成立；由于a6．已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 C
解析 令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)>g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
二、多项选择题
7．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0
答案 CD
解析 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；
由基本不等式可得2＝2a＋2b>2eq \r(2a·2b)＝2eq \r(2a＋b)，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．
8．已知函数f(x)＝m－eq \f(ex,1＋ex)是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是( )
A．m＝eq \f(1,2)
B．函数f(x)在R上的最大值为eq \f(1,2)
C．函数f(x)是减函数
D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根
答案 AC
解析 因为函数f(x)＝m－eq \f(ex,1＋ex)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－eq \f(e0,1＋e0)＝0，解得m＝eq \f(1,2)，此时f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(ex,1＋ex)，则f(－x)＝eq \f(1,2)－eq \f(e－x,1＋e－x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,1＋ex)＝eq \f(1,2)－eq \f(1＋ex－ex,1＋ex)＝eq \f(1,2)－1＋eq \f(ex,1＋ex)＝eq \f(ex,1＋ex)－eq \f(1,2)＝－f(x)，符合题意，故A正确；
又f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(ex,1＋ex)＝eq \f(1,2)－eq \f(ex＋1－1,1＋ex)＝eq \f(1,1＋ex)－eq \f(1,2)，因为ex>0，所以ex＋1>1，则0即f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，故B错误；
因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，且y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝eq \f(1,1＋ex)－eq \f(1,2)是减函数，故C正确；
因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误．
三、填空题
9． SKIPIF 1 < 0 ＝________.
答案 81
解析 原式＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2－1＋8＋(23×32)＝81.
10．已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 有最大值3，则a的值为________．
答案 1
解析 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1.
四、解答题
11．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，
又函数y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；
当0又函数y＝(t＋1)2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a)))上单调递增，则ymax＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))2－2＝14，解得a＝eq \f(1,3)或a＝－eq \f(1,5)(舍去)．
综上，a＝3或a＝eq \f(1,3).
12．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(a－2x,b＋2x)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，求实数k的取值范围．
解 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即eq \f(a－1,b＋1)＝0，所以a＝1，
又因为f(－x)＝－f(x)，所以eq \f(a－\f(1,2x),b＋\f(1,2x))＝－eq \f(a－2x,b＋2x)，
将a＝1代入，整理得eq \f(2x－1,b·2x＋1)＝eq \f(2x－1,b＋2x)，
当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即(b－1)(2x－1)＝0，
又因为当x≠0时，有2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.
经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
(2)由(1)知，函数f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝eq \f(－1＋2x＋2,1＋2x)＝－1＋eq \f(2,1＋2x)，
因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为f(k＋t2)又因为函数f(x)是减函数，所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t，
令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k>g(t)min，
又因为g(t)min＝g(2)＝－4，所以k>－4，
即实数k的取值范围为(－4，＋∞)．a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0增函数
减函数