2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

这是一份2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的相反数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣1
7．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论：
①ab＞0；
②a﹣b＝﹣2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是；
⑤b的取值范围为1＜b．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝ ．
13．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
15．（3分）如图，反比例函数y（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为 ．
16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 ．
17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：|﹣4cs60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；
（2）分解因式：2a3﹣8ab2．
19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．
20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 °；
（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）
23．（12分）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则 ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP，请直接写出线段AP的长度．
24．（14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A．5B．﹣5C．D．
【答案】C
【解答】解：的相反数是，故选：C．
2．（3分）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
【答案】D
【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本选项不符合题意；
B.5a•2a＝10a2，故本选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
D．（﹣a2）2＝a4，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：B．
5．（3分）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解答】解：左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故左视图的面积为3；
俯视图的底层是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图的面积为4；
所以该几何体左视图与俯视图的面积和是7．
故选：B．
6．（3分）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1且m≠0B．m＜1C．m＞1D．m＜1且m≠﹣1
【答案】A
【解答】解：，
x+1﹣mx＝0，
x﹣mx＝﹣1，
（1﹣m）x＝﹣1，
，
∵关于x的分式方程0的解是负数，
∴m﹣1＜0且m﹣1≠﹣1，
解得：m＜1且m≠0，
故选：A．
7．（3分）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率为．
故选：C．
8．（3分）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
【答案】B
【解答】解：设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件，
依题意得：8x+10y＝200，
整理得：y＝20x，
∵x、y均为正整数，
∴或或或，
∴购买方案有4种，
故选：B．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x（0＜x＜12），正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，
面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数．
运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要分两部分，
①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有AB符合；
②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项A符合．
故选：A．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论：
①ab＞0；
②a﹣b＝﹣2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是；
⑤b的取值范围为1＜b．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：由图象可知，0，
∴ab＜0，故结论①错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），
∴a﹣b+2＝0，即a﹣b＝﹣2，故结论②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，
∴1，
∵抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），
∴﹣1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根，
∴﹣1•x1，
∴x1，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是，故结论④正确；
∵a﹣b+2＝0，
∴a＝b﹣2，
∴y＝（b﹣2）x2+bx+2，
∵2＜x1＜3，
∴，
解得1＜b，故结论⑤正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 7.4167×107 ．
【答案】7.4167×107．
【解答】解：7416.7万＝74167000＝7.4167×107，
故答案为：7.4167×107．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a﹣1＝a+1，
解得a＝2．
故答案为：2．
13．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2 ．
【答案】x＞﹣3且x≠﹣2．
【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0，
解得：x＞﹣3且x≠﹣2，
故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2．
14．（3分）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
【答案】．
【解答】解：设扇形的母线长为l cm，
∵圆锥的底面半径是1cm，
∴圆锥的底面周长是2π cm，即侧面展开图扇形的弧长是2π cm，
则2π，
解得：l＝4，
由勾股定理得：圆锥的高（cm）．
故答案为：．
15．（3分）如图，反比例函数y（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
∵D（﹣1，3），S▱ABCO＝3，
∴OC•OD＝3OC＝3，
∵ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
16．（3分）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B′，把纸片展平，连接BB′，CB′，当△BCB′为直角三角形时，线段CP的长为 2或 ．
【答案】2或．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝4，
∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝∠ACB＝90°，
由折叠得AB′＝AB＝5，B′P＝BP，
如图1，△BCB′为直角三角形，且∠BB′C＝90°，
∴∠PB′C+∠PB′B＝90°，∠PCB′+∠PBB′＝90°，
∵∠PB′B＝∠PBB′，
∴∠PB′C＝∠PCB′，
∴B′P＝CP，
∴CP＝BPBC4＝2；
如图2，△BCB′为直角三角形，且∠BCB′＝90°，
∵∠BCB′＝∠C＝90°，
∴点B′在DC上，
∴B′D3，
∴B′C＝DC﹣B′D＝5﹣3＝2，
∵B′C2+CP2＝BP′2，且B′P＝BP＝4﹣CP，
∴22+CP2＝（4﹣CP）2，
解得CP；
∵∠B′BC是等腰三角形B′PB的底角，
∴∠B′BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为2或，
故答案为：2或．
17．（3分）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 （1350+674，） ．
【答案】（1350+674，）．
【解答】解：由题知，
∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，
∴A1O＝A1C′，
∴点A1在OC′的垂直平分线上．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1，
在Rt△A1OB中，
tan30°，
∴A1B，
∴点A1的坐标为（1，）．
依次类推，
点A2的坐标为（），
点A3的坐标为（），
…，
∴点An的坐标为（）（n为正整数）．
又∵每滚动三次，出现下一个花心，
∴2024÷3＝674于2，
则674+1＝675，
∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．
当n＝675时，
点A675的坐标为（1350，），
即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1350+674，）．
故答案为：（1350+674，）．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：|﹣4cs60°|﹣（π﹣5）0+（）﹣2；
（2）分解因式：2a3﹣8ab2．
【答案】（1）7；
（2）2a（a+2b）（a﹣2b）．
【解答】解：（1）原式＝2+|﹣4|﹣1+4
＝2+2﹣1+4
＝7；
（2）原式＝2a（a2﹣4b2）
＝2a（a+2b）（a﹣2b）．
19．（5分）解方程：x2﹣5x+6＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
20．（8分）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 50 ，n＝ 40 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 72 °；
（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）50，40；
（2）见解析；
（3）72；
（4）560名．
【解答】解：（1）本次随机抽取的学生人数为94÷47%＝200（人），
∴m＝200×25%＝50，
∴n＝200﹣50﹣94﹣16＝40；
故答案为：50，40；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°72°；
故答案为：72；
（4）2000560（名），
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有560名．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CFB，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）2π﹣4．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠COF＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠CFB，
∴∠CFB＝45°，
∵∠COF＝90°，
∴∠COF＝CFO＝45，
∴CF＝OC4，
∴∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
∴CD＝ODOC＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积222π﹣4．
22．（10分）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 8 米/秒，t＝ 20 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）8，20；（2）线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x﹣56；（3）两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
【解答】解：（1）由题意得甲无人机的速度为 a＝48÷6＝8（米/秒），
t＝39﹣19＝20（秒）．
故答案为：8，20；
（2）由图象知，N（19，96），
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8＝12（秒），
∴甲无人机单独表演所用时间为19﹣12＝7（秒），
6+7＝13（秒），
∴M（13，48），
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
将M（13，48），N（19，96）代入得
，
解得
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x﹣56．
（3）由题意A（0，20），B（6，48），
同理线段OB所在直线的函数解析式为y＝8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y＝4x+20，
线段BM所在直线的函数解析式为y＝48，
当0≤t≤6时，由题意得|4x+20﹣8x|＝12，
解得x＝2或x＝8（舍去），
当6＜t≤13时，由题意得|4x+20﹣48|＝12，
解得x＝10或x＝4（舍去），
当13＜t≤19时，由题意得|8x﹣56﹣4x﹣20|＝12，
解得x＝16或x＝22（舍去），
综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．
23．（12分）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 AB＝DE ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则 ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP，请直接写出线段AP的长度．
【答案】（1）AB＝DE；（2）10；（3）；（4）或．
【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC＝BD，∠CBD＝90°，
∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，
∵∠A＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△EBD（AAS），
∴AB＝DE；
故答案为：AB＝DE．
（2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，
∴BC＝BD，∠CBD＝90°，
∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC，
∵∠A＝∠E＝90°，
∴△ABC≌△EBD（AAS），
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB+BE＝8，
∵∠DEB+∠A＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF，
∴，即，
∴EF＝4，
∴BF＝BE+EF＝10，
∴S△BDFBF•DE＝10．
（3）方法一：如图，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立坐标系，
由AC＝6，AE＝8，DE＝2，BD＝2，
∴C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2），
设直线BD解析式为y＝kx+b，将B、D代入得，
，解得：，
∴直线BD解析式为yx，
同理可求直线CE解析式为：yx+6，
令xx+6，解得x，
∴y，即N（，），
∴利用两点距离公式可得BN，
∵BC2，
∴．
故答案为：．
方法二：如图，过N作NM⊥AE于点M，
由△EMN∽△EAC得，，即，
∴EMMN，
由△BMN∽△BED得，，即，
解得MN，
由△BMN∽△CAB得，．
故答案为：．
（4）方法一：①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作PQ⊥BC于点Q，
∵tan∠BCP，tan∠ABC3，
∴PQCQ，PQ＝3BQ，
设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a，
∴BC＝BQ+CQ＝11a，
∵BC211a，
∴a，
∴BP2a，
∴AP＝BP﹣AB；
②当点P在点B右侧时，如图所示，作PG⊥BC交BC延长线于点G，
tan∠BCP，tan∠PBG＝tan∠ABC，即，
剩下思路与第一种情况方法一致，求得AP．
综上，AP的长度为或．
方法二：补充知识：正切和差角公式：tan（α+β），tan（α﹣β）．
①当点P在点B左侧时，因为tan∠BCA，tan∠BCP，所以此时点P在A的左侧，如图所示，
tan∠BCP＝tan（∠BCA+∠ACP），
解得tan∠ACP，即，
∵AC＝6，
∴AP．
②当点P在点B右侧时，如图所示，
tan∠ACP＝tan（∠BCA+∠BCP），
即，
∵AC＝6，
∴AP．
综上，AP的长度为或．
24．（14分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
【答案】（1）yx2x﹣2；
（2）点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）点P（2，﹣3）；
（4）．
【解答】解：（1）直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣2；
（2）设点D（x，0），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，
则AC＝AD或AC＝CD，
即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，
解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，
即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）设点P（x，x2x﹣2），
当yx2x﹣2x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2x﹣2），
∵E、C、F、A共线，EF＝AC，
则xF﹣xE＝xA﹣xC，
即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，
解得：x＝2，
即点P（2，﹣3）；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（，0），
连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，
∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，
则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为，
故答案为：．
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A
B
C
D
成绩（x/分）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
人数（人）
m
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n
16
篮球
足球
排球
羽毛球
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（篮球，篮球）
（篮球，足球）
（篮球，排球）
（篮球，羽毛球）
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组别
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B
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