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2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
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这是一份2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2021•齐齐哈尔）实数2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．-12021
2．（3分）（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．±16=±4 B．（3m2n3）2＝6m4n6
C．3a2•a4＝3a8 D．3xy﹣3x＝y
4．（3分）（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
5．（3分）（2021•齐齐哈尔）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（ ）
A．43° B．47° C．133° D．137°
6．（3分）（2021•齐齐哈尔）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
8．（3分）（2021•齐齐哈尔）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
9．（3分）（2021•齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
13．（3分）（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 cm．
14．（3分）（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（3分）（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
16．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y=k1x（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝ ．
17．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（-12）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1-2|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
19．（5分）（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
20．（10分）（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
21．（8分）（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．
22．（10分）（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 米/分，点M的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前， 分钟时两人距C地的距离相等．
23．（12分）（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．
24．（14分）（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2021•齐齐哈尔）实数2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．-12021
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）（2021•齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．±16=±4 B．（3m2n3）2＝6m4n6
C．3a2•a4＝3a8 D．3xy﹣3x＝y
【分析】根据平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、±16=±4，正确，符合题意；
B、（3m2n3）2＝9m4n6，错误，不符合题意；
C、3a2•a4＝3a6，错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能计算，错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【分析】根据平均数的定义先求出这组数据的x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．
【解答】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，
∴（5+5+6+7+x+7+8）÷7＝6，
解得：x＝4，
将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6，
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
5．（3分）（2021•齐齐哈尔）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（ ）
A．43° B．47° C．133° D．137°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣47°＝43°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．
6．（3分）（2021•齐齐哈尔）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途休息了一段时间，休息时油量不再发生变化，再次出发油量继续减小，即可得出符合要求的图象．
【解答】解：某人驾车从A地上高速公路前往B地，油量在减小；
中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；
再次出发油量继续减小，且油量减小的速度与前面相同；
到B地后发现油箱中还剩油4升；
只有C符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（3分）（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．
【解答】解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2＝7（个）．
故选：A．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．
8．（3分）（2021•齐齐哈尔）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【分析】用无理数的个数除以所有数据的个数即可求得答案．
【解答】解：∵5个实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），中，无理数有2，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1）2个，
∴P（无理数）=25，
故选：B．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
9．（3分）（2021•齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10-23y．
又∵x，y均为正整数，
∴x=8y=3或x=6y=6或x=4y=9或x=2y=12，
∴小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将（﹣1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；
②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到-b2a=-1，则可对②进行判断；
③利用二次函数的对称性可对③进行判断；
④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；
⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
13．（3分）（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 9 cm．
【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，
设圆锥的母线长为Rcm，
∴240πR180=12π，
解得R＝9．
故答案为：9．
【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．
14．（3分）（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，则m的取值范围是 m＜﹣2且m≠﹣3 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根x＝1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围．
【解答】解：去分母，得：
3x＝﹣m+2（x﹣1），
去括号，移项，合并同类项，得：
x＝﹣m﹣2．
∵关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，
∴﹣m﹣2＞0．
又∵关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2有可能产生增根x＝1，
∴﹣m﹣2≠1．
∴-m-2＞0-m-2≠1，
解得：m＜﹣2且m≠﹣3．
故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
15．（3分）（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 125或374 ．
【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长=32+42=5，
则12×3×4=12×5×h，
解得：h=125，
当4是斜边时，另一条直角边长=42-32=7，
则12×3×7=12×4×h，
解得：h=374，
综上所述：直角三角形斜边上的高为125或374，
故答案为：125或374．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y=k1x（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝ ﹣20 ．
【分析】由△OAB的面积为6，可求出△OBC的面积为2，进而求出△OAC的面积为8，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1，k2，进而得出答案．
【解答】解：∵S△AOB=12AB•OC＝6，S△BOC=12BC•OC，AB＝3BC，
∴S△BOC＝2，
∴S△AOC＝2+6＝8，
又∵12|k1|＝8，12|k2|＝4，k1＜0，k2＜0，
∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，
∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
17．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 （0，42） ．
【分析】由点（1，1）和A1B1⊥OA1，推出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和二次函数求出前几个P点，得出规律．
【解答】解：∵点A1（1，1），
∴OA1=2，∠A1OP1＝45°，
∵A1B1⊥OA1，
∴△A1OP1是等腰直角三角形，
∴∠A1P1O＝∠B1P1P2＝45°，OP1＝2，
∴P1（0，2），
∵B1A2⊥A1B1，
∴△B1P1P2是等腰直角三角形，
设P1P2＝2a，则：点B1（﹣a，2+a），
把点B1（﹣a，2+a）代入y＝x2得：a2＝2+a，
解得：a＝2或a＝﹣1（舍），
∴P1P2＝4，
∴P2（0，6），
同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，
设P3P2＝2b，则：点A2（b，b+6），
把点A2（b，b+6）代入y＝x2得：b2＝b+6，
解得：b＝3或a＝﹣2（舍），
∴P3P2＝6，
∴P3（0，12），
由P1（0，2），P2（0，6），P3（0，12）可推：
点P6（0，42）．
故答案为：（0，42）．
【点评】本题以求点坐标为背景，考查了学生对二次函数点坐标、等腰直角三角形的性质，要求学生适当设出线段长度，表示出点的坐标，代入二次函数解析式中求出系列点P的坐标，找出规律，得出结果．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（-12）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1-2|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
【分析】（1）先计算乘方、特殊三角形函数、绝对值的运算，再计算加法即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1+4×22-（2-1）
＝4+1+22-2+1
＝6+2；
（2）原式＝﹣3xy（y2﹣4）
＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）．
【点评】此题考查的是分解因式、实数的运算，正确提取公因式是解决此题关键．
19．（5分）（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），
∴x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
∴（x﹣7）（x+8）＝0，
∴x＝7或x＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是找准公因式．
20．（10分）（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ 35 ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 18 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
【分析】（1）从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，可求出调查人数；
（2）总人数减去喜爱A、B、D、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，从而将扇形图补全；
（3）根据百分比＝所占人数÷总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；
（4）利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300（人），
故答案为：300；
（2）喜爱C类电视节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：
（3）m%=105300×100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°×15300=18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800×30300=180（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，根据平行线的性质得到∠EAC＝∠OCA，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明结论；
（2）连接BC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AC，再根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB=33，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC=33，即ECAE=33，
∴EC12=33，
解得：EC＝43，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=122+(43)2=83，
∵tan∠CAB=BCAC=33，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=(83)2+82=16，
∴OB＝8．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、正切的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（10分）（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 240 米/分，点M的坐标为 （6，1200） ；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前， 4或6或8 分钟时两人距C地的距离相等．
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
①因为乙从B地到C地一共需要3分，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；
②当3＜x＜174时，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；
③当214＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，此种情况不符合题意；
④当x＝6时，计算甲到B地时，符合条件；
⑤当x＞6时，甲在返回途中，此种情况不符合题意；当甲在A、C之间时，列方程可解答．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：1020÷(214-1)=240（米/分），
240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴6k+b=120011k+b=0，
解得k=-240b=2640，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20＝60（米/分），
如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x=143＞3，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜214-1时，即3＜x＜174，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
x＝4，
此种情况符合题意；
③当214＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，
x＝8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
故答案为：4或6或8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．
23．（12分）（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝ 45 °，写出图中两个等腰三角形： △AEF，△CEF，△ABC，△ADC （不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 PQ＝BP+DQ ；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= 2 ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．
【分析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得结论．
（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论．
（3）证明△CAQ∽△BAM，可得CQBM=ACAB=2．
（4）如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．证明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF=12（∠BAC+∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．
（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．
∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ．
故答案为：PQ＝BP+DQ．
（3）解：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案为：2．
（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2+BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2+DN2＝MN2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（14分）（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 22 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；
（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
0=a-2+c0=25a+10+c，
解得a=-12c=52，
∴y=-12x2+2x+52；
（2）由（1）得：C（0，52），D（2，92），
∴CD=(92-52)2+(2-0)2=22，
故答案为22；
（3）∵B（5，0），C（0，52），
∴直线BC的解析式为：y=-12x+52，
设E（x，-12x2+2x+52），
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，-12x+52），
∴EF=-12x2+2x+52-（-12x+52）=-12x(x-5)，
∴S△BCE=12×(xB-xC)×EF=12×5×[-12x(x-5)]=-54x(x-5)，
当x=52时，S△BCE有最大值为12516；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，52），
若BC为矩形的对角线，
则5+0=2+m0+52=y+n，
解得：m=3n=52-y，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：22+(52-y)2+32+y2=52+(52)2，
解得y＝4或y=-32，
∴n=-32或n＝4，
∴Q（3，4）或Q（3，6），
若BP为矩形得对角线，
则5+2=0+m0+y=52+n，
解得m=7n=y-52，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：52+(52)2+22+(52-y)2=32+y2，
解得y=132，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
则5+m=2+00+n=y+52，
解得：m=-3n=y+52，
又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：52+(52)2+m2+(52-n)2=(5-m)2+n2，
解得n=-72，∴Q（﹣3，-72），
综上，点Q的坐标为（3，4）或（3，6）或（7，4）或（﹣3，-72）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论．
2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2021•齐齐哈尔）实数2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．-12021
2．（3分）（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021•齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．±16=±4 B．（3m2n3）2＝6m4n6
C．3a2•a4＝3a8 D．3xy﹣3x＝y
4．（3分）（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
5．（3分）（2021•齐齐哈尔）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（ ）
A．43° B．47° C．133° D．137°
6．（3分）（2021•齐齐哈尔）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
8．（3分）（2021•齐齐哈尔）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
9．（3分）（2021•齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
13．（3分）（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 cm．
14．（3分）（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（3分）（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 ．
16．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y=k1x（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝ ．
17．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 ．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（-12）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1-2|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
19．（5分）（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
20．（10分）（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
21．（8分）（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．
22．（10分）（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 米/分，点M的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前， 分钟时两人距C地的距离相等．
23．（12分）（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．
24．（14分）（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
2021年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2021•齐齐哈尔）实数2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．12021 D．-12021
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）（2021•齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．±16=±4 B．（3m2n3）2＝6m4n6
C．3a2•a4＝3a8 D．3xy﹣3x＝y
【分析】根据平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的运算法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、±16=±4，正确，符合题意；
B、（3m2n3）2＝9m4n6，错误，不符合题意；
C、3a2•a4＝3a6，错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能计算，错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2021•齐齐哈尔）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【分析】根据平均数的定义先求出这组数据的x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．
【解答】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，
∴（5+5+6+7+x+7+8）÷7＝6，
解得：x＝4，
将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6，
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
5．（3分）（2021•齐齐哈尔）一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（ ）
A．43° B．47° C．133° D．137°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝47°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣47°＝43°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，准确识图是解题的关键．
6．（3分）（2021•齐齐哈尔）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油，则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途休息了一段时间，休息时油量不再发生变化，再次出发油量继续减小，即可得出符合要求的图象．
【解答】解：某人驾车从A地上高速公路前往B地，油量在减小；
中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；
再次出发油量继续减小，且油量减小的速度与前面相同；
到B地后发现油箱中还剩油4升；
只有C符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（3分）（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据几何体主视图，在俯视图上表上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．
【解答】解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2＝7（个）．
故选：A．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．
8．（3分）（2021•齐齐哈尔）五张不透明的卡片，正面分别写有实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【分析】用无理数的个数除以所有数据的个数即可求得答案．
【解答】解：∵5个实数﹣1，2，115，9，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1），中，无理数有2，5.06006000600006…（相邻两个6之间0的个数依次加1）2个，
∴P（无理数）=25，
故选：B．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
9．（3分）（2021•齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设购买口罩x包，酒精湿巾y包，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买口罩x包，酒精湿巾y包，
依题意得：3x+2y＝30，
∴x＝10-23y．
又∵x，y均为正整数，
∴x=8y=3或x=6y=6或x=4y=9或x=2y=12，
∴小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将（﹣1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；
②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到-b2a=-1，则可对②进行判断；
③利用二次函数的对称性可对③进行判断；
④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；
⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）（2021•齐齐哈尔）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE ．（只需写出一个条件即可）
【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．
故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
13．（3分）（2021•齐齐哈尔）圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为 9 cm．
【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×6＝12π（cm）；
∴圆锥侧面展开图的弧长为12πcm，
设圆锥的母线长为Rcm，
∴240πR180=12π，
解得R＝9．
故答案为：9．
【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．
14．（3分）（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，则m的取值范围是 m＜﹣2且m≠﹣3 ．
【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根x＝1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围．
【解答】解：去分母，得：
3x＝﹣m+2（x﹣1），
去括号，移项，合并同类项，得：
x＝﹣m﹣2．
∵关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数，
∴﹣m﹣2＞0．
又∵关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2有可能产生增根x＝1，
∴﹣m﹣2≠1．
∴-m-2＞0-m-2≠1，
解得：m＜﹣2且m≠﹣3．
故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
15．（3分）（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 125或374 ．
【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设直角三角形斜边上的高为h，
当4是直角边时，斜边长=32+42=5，
则12×3×4=12×5×h，
解得：h=125，
当4是斜边时，另一条直角边长=42-32=7，
则12×3×7=12×4×h，
解得：h=374，
综上所述：直角三角形斜边上的高为125或374，
故答案为：125或374．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数y=k1x（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C且与反比例函数y=k2x（x＜0）的图象交于点B，AB＝3BC，连接OA，OB．若△OAB的面积为6，则k1+k2＝ ﹣20 ．
【分析】由△OAB的面积为6，可求出△OBC的面积为2，进而求出△OAC的面积为8，再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1，k2，进而得出答案．
【解答】解：∵S△AOB=12AB•OC＝6，S△BOC=12BC•OC，AB＝3BC，
∴S△BOC＝2，
∴S△AOC＝2+6＝8，
又∵12|k1|＝8，12|k2|＝4，k1＜0，k2＜0，
∴k1＝﹣16，k2＝﹣4，
∴k1+k2＝﹣16﹣4＝﹣20，
故答案为：﹣20．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
17．（3分）（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点Pn（n为正整数）的坐标是 （0，42） ．
【分析】由点（1，1）和A1B1⊥OA1，推出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和二次函数求出前几个P点，得出规律．
【解答】解：∵点A1（1，1），
∴OA1=2，∠A1OP1＝45°，
∵A1B1⊥OA1，
∴△A1OP1是等腰直角三角形，
∴∠A1P1O＝∠B1P1P2＝45°，OP1＝2，
∴P1（0，2），
∵B1A2⊥A1B1，
∴△B1P1P2是等腰直角三角形，
设P1P2＝2a，则：点B1（﹣a，2+a），
把点B1（﹣a，2+a）代入y＝x2得：a2＝2+a，
解得：a＝2或a＝﹣1（舍），
∴P1P2＝4，
∴P2（0，6），
同理：△A2P3P2是等腰直角三角形，
设P3P2＝2b，则：点A2（b，b+6），
把点A2（b，b+6）代入y＝x2得：b2＝b+6，
解得：b＝3或a＝﹣2（舍），
∴P3P2＝6，
∴P3（0，12），
由P1（0，2），P2（0，6），P3（0，12）可推：
点P6（0，42）．
故答案为：（0，42）．
【点评】本题以求点坐标为背景，考查了学生对二次函数点坐标、等腰直角三角形的性质，要求学生适当设出线段长度，表示出点的坐标，代入二次函数解析式中求出系列点P的坐标，找出规律，得出结果．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（-12）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1-2|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
【分析】（1）先计算乘方、特殊三角形函数、绝对值的运算，再计算加法即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1+4×22-（2-1）
＝4+1+22-2+1
＝6+2；
（2）原式＝﹣3xy（y2﹣4）
＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）．
【点评】此题考查的是分解因式、实数的运算，正确提取公因式是解决此题关键．
19．（5分）（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），
∴x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
∴（x﹣7）（x+8）＝0，
∴x＝7或x＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是找准公因式．
20．（10分）（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 300 ；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝ 35 ，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 18 °；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
【分析】（1）从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，可求出调查人数；
（2）总人数减去喜爱A、B、D、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，从而将扇形图补全；
（3）根据百分比＝所占人数÷总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360°乘以节目类型E的百分比；
（4）利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数．
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300（人），
故答案为：300；
（2）喜爱C类电视节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：
（3）m%=105300×100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°×15300=18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800×30300=180（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB=33，求OB的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，根据平行线的性质得到∠EAC＝∠OCA，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明结论；
（2）连接BC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AC，再根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB=33，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC=33，即ECAE=33，
∴EC12=33，
解得：EC＝43，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=122+(43)2=83，
∵tan∠CAB=BCAC=33，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=(83)2+82=16，
∴OB＝8．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、正切的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（10分）（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 240 米/分，点M的坐标为 （6，1200） ；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前， 4或6或8 分钟时两人距C地的距离相等．
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，分情况讨论：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
①因为乙从B地到C地一共需要3分，所以第一个时间为0＜x≤3，即乙在B、C之间时，列方程可知不符合题意；
②当3＜x＜174时，根据两人距C地的路程相等列方程可得结论；
③当214＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，此种情况不符合题意；
④当x＝6时，计算甲到B地时，符合条件；
⑤当x＞6时，甲在返回途中，此种情况不符合题意；当甲在A、C之间时，列方程可解答．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：1020÷(214-1)=240（米/分），
240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴6k+b=120011k+b=0，
解得k=-240b=2640，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20＝60（米/分），
如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x=143＞3，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜214-1时，即3＜x＜174，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
x＝4，
此种情况符合题意；
③当214＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，
x＝8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
故答案为：4或6或8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题．
23．（12分）（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝ 45 °，写出图中两个等腰三角形： △AEF，△CEF，△ABC，△ADC （不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 PQ＝BP+DQ ；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= 2 ；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．
【分析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF＝45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得结论．
（2）结论：PQ＝BP+DQ．如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．证明△PAT≌△PAQ（SAS），可得结论．
（3）证明△CAQ∽△BAM，可得CQBM=ACAB=2．
（4）如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．证明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF=12（∠BAC+∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．
（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．
∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ．
故答案为：PQ＝BP+DQ．
（3）解：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案为：2．
（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2+BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2+DN2＝MN2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（14分）（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 22 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；
（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
0=a-2+c0=25a+10+c，
解得a=-12c=52，
∴y=-12x2+2x+52；
（2）由（1）得：C（0，52），D（2，92），
∴CD=(92-52)2+(2-0)2=22，
故答案为22；
（3）∵B（5，0），C（0，52），
∴直线BC的解析式为：y=-12x+52，
设E（x，-12x2+2x+52），
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，-12x+52），
∴EF=-12x2+2x+52-（-12x+52）=-12x(x-5)，
∴S△BCE=12×(xB-xC)×EF=12×5×[-12x(x-5)]=-54x(x-5)，
当x=52时，S△BCE有最大值为12516；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，52），
若BC为矩形的对角线，
则5+0=2+m0+52=y+n，
解得：m=3n=52-y，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：22+(52-y)2+32+y2=52+(52)2，
解得y＝4或y=-32，
∴n=-32或n＝4，
∴Q（3，4）或Q（3，6），
若BP为矩形得对角线，
则5+2=0+m0+y=52+n，
解得m=7n=y-52，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：52+(52)2+22+(52-y)2=32+y2，
解得y=132，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
则5+m=2+00+n=y+52，
解得：m=-3n=y+52，
又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：52+(52)2+m2+(52-n)2=(5-m)2+n2，
解得n=-72，∴Q（﹣3，-72），
综上，点Q的坐标为（3，4）或（3，6）或（7，4）或（﹣3，-72）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论．
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