2024年四川省德阳市中考数学试卷

这是一份2024年四川省德阳市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a﹣b）＝﹣a+b
C．a（a+1）＝a2+1D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．B．C．﹣1D．
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．3B．2C．D．
6．（3分）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
7．（3分）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如
C．吉 意 如D．意 如 吉
8．（3分）已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．C．2D．4
9．（3分）将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A．7B．8C．D．4
10．（3分）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+5
11．（3分）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
12．（3分）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为22；
④DA1达到最小值时，MN＝5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）化简： ．
14．（4分）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ．
15．（4分）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 分．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .
17．（4分）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 （请填写序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：（）﹣2﹣2cs60°；
（2）解不等式组：．
20．（10分）2024年中国龙舟公开赛（四川•德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
21．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+2与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m的值和反比例函数y的解析式；
（2）将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度（h＞0）后得直线y＝ax+b，若直线y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象的交点为B（n，2），求h的值，并结合图象求不等式ax+b的解集．
22．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG．
23．（13分）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
24．（14分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值．
25．（15分）已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．
2024年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣3
【答案】D
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜﹣10，
∴比﹣2小的数是﹣3．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a﹣b）＝﹣a+b
C．a（a+1）＝a2+1D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：∵a2•a3＝a2+3＝a5，
∴选项A中的计算不正确，故不符合题意；
∵﹣（a﹣b）＝﹣a+b，
∴选项B中的计算正确，故符合题意；
∵a（a+1）＝a2+a，
∴选项C中的计算不正确，故不符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项D中的计算不正确，故不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝70°，
∵DE⊥BC，
∴∠CED＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
4．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．B．C．﹣1D．
【答案】A
【解答】解：由图象知，函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是，
故选：A．
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：原方程去分母得：x+3＝5x，
解得：x，
经检验，x是分式方程的解，
故选：D．
6．（3分）为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】C
【解答】解：∵被墨汁遮盖的人数为50﹣1﹣10﹣17﹣6＝16，
∴投中的3次的人数最多，是17，
∴投中次数的统计量中可以确定的是众数，
故选：C．
7．（3分）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如
C．吉 意 如D．意 如 吉
【答案】A
【解答】解：∵由题意得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意．
故选：A．
8．（3分）已知，正六边形ABCDEF的面积为6，则正六边形的边长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB，
设AB＝x，则OA＝OB＝x，
∴S正六边形＝6S△AOB＝6，
∴6xx＝6，
解得x＝2或x＝﹣2＜0舍去，
即正六边形的边长为2．
故选：C．
9．（3分）将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A．7B．8C．D．4
【答案】C
【解答】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为1+2+3+4+5+6+7＝28，
则第八行左起第1个数是第29个数，即，
故选：C．
10．（3分）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+5
【答案】B
【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图，
由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，
BDCD，
在Rt△ACE中，
AE（CD﹣DE（CD﹣10），
∴（CD﹣10）CD，
解得CD＝15（米），
故选：B．
11．（3分）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【解答】解：∵PB⊥PC，
∴点P在以BC为直径的圆上．
如图所示，
∵四边形ABCD是黄金矩形，
∴令AB＝CD＝（）a，AD＝BC＝2a，
∴⊙M的半径为a．
∵0，
∴AD边与⊙M相离，
∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0．
故选：D．
12．（3分）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段MD上运动时，点A1在以E为圆心的圆弧上运动；
②当DA1达到最大值时，A1到直线AD的距离达到最大；
③DA1的最小值为22；
④DA1达到最小值时，MN＝5．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为4dm，AE＝BE，
∴，
由折叠的性质可知，A1E＝AE＝2，
∴当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动．
故①正确；
连接DE，
∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，AE＝2，
∴在Rt△ADE中，，
∵DA1+A1E≥DE，
∴，
∴DA1的最小值为，
故③正确；
如图，
DA1达到最小值时，点A在线段DE上，
由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°，
∴∠DA1N＝90°，
∴∠DA1N＝∠A，
∵∠A1DN＝∠ADE，
∴△A1DN∽△ADE，
，
∴，
∴，
∴，
故④错误．
在△A1DE中，，A1E＝AE＝2，
∴A1D随着∠DEA1的增大而增大，
∵∠DEA1＝∠NEA1﹣∠NED＝∠NEA﹣∠NED＝∠NEA﹣（∠AED﹣∠NEA）＝2∠NEA﹣∠AED，
∴当∠NEA最大时，∠DEA1有最大值，A1G有最大值，此时，点N与点D重合，
过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，
∵∠A＝90°，
∴四边形AGA1P是矩形，
∴A1G＝AP＝AE+EP，
当A1D取得最大值时，∠AEN＝∠A1EN也是最大值，
∵∠A1EP＝180°﹣∠AEN﹣∠A1EN＝180°﹣2∠AEN
∴∠A1EP有最小值，
∴在Rt△A1EP中，EP＝A1E•cs∠A1EP有最大值，
即A1G＝AP＝AE+EP有最大值，
∴点A1到AD的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（4分）化简： 3 ．
【答案】3．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故答案为：3．
14．（4分）若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 y2﹣1 ．
【答案】y2﹣1．
【解答】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）
＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4
＝y2﹣1．
故答案为：y2﹣1．
15．（4分）某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为 85.8 分．
【答案】85.8．
【解答】解：她的综合成绩为86×30%+80×30%+90×40%＝85.8（分），
故答案为：85.8．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 2 .
【答案】2．
【解答】解：如图，作BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．
设BC＝a，CD＝b，
∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，
∴P在MN上，
∴P到CD的距离即为，
∴，
在△GQF和△DRF中，
，
∴△GQF≌△DRF（AAS），
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
17．（4分）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 1（或8） （填上一个数字即可）．
【答案】1（或8）．
【解答】解：两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．∴位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【答案】①②④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，n），
∴．
∴ab，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴5b+2c＜0，故②正确．
∵直线x是抛物线的对称轴，
∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，
∴顶点A（，n）在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：（）﹣2﹣2cs60°；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）1；
（2）4≤x＜6．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+4﹣2
＝﹣2+4﹣1
＝1；
（2）解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＜6，
故原不等式组的解集为4≤x＜6．
20．（10分）2024年中国龙舟公开赛（四川•德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
【答案】（1）18，60，144°；
（2）当天观看比赛的市民中关注D，3000米绕标赛比赛项目的人数最多大约有4000人；
（3）．
【解答】解：（1）部分市民的人数为42÷28%＝150（人），
∴a＝150×12%＝18，b＝150﹣42﹣18﹣30＝60（人），
D所在扇形圆心角的度数为360144°；
（2）当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，
100004000（人），
答：当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多大约有4000人；
（3）设2名男性交警用A，B表示，2名女性交警用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有4种，
所以恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
21．（12分）如图，一次函数y＝﹣2x+2与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m的值和反比例函数y的解析式；
（2）将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度（h＞0）后得直线y＝ax+b，若直线y＝ax+b与反比例函数y（x＜0）的图象的交点为B（n，2），求h的值，并结合图象求不等式ax+b的解集．
【答案】（1）m＝4，反比例函数解析式为y；（2）h＝4，x＜﹣2．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在一次函数y＝﹣2x+2图象上，
∴m＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
∴A（﹣1，4），
∵点A在反比例函数y图象上，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y；
（2）∵点为B（n，2）在反比例函数y的图象上，
∴2，解得n＝﹣2，
∴B（﹣2，2），
将直线y＝﹣2x+2向下平移h个单位长度得到解析式为y＝﹣2x+2﹣h，
∵点B（﹣2，2）在直线y＝﹣2x+2﹣h图象上，
∴2＝﹣2×（﹣2）+2﹣h，解得h＝4，
根据函数图象及交点坐标可知，不等式ax+b的解集为：x＜﹣2．
22．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．
（1）证明：△BEF∽△BCO；
（2）证明：△BEG≌△AEG．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵点F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BOC＝∠BFE＝90°，
又∵∠EBF＝∠CBO，
∴△BEF∽△BCO．
（2）证明：∵BO⊥AC，AF⊥BC，
∴CG⊥AB，
∴∠BGE＝∠AGE．
又∵AC＝BC，
∴BG＝AG．
在△BEG和△AEG中，
，
∴△BEG≌△AEG（SAS）．
23．（13分）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如表：
（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
【答案】（1）每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元；
（2）为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元．
【解答】解：（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元；
（2）设该超市准备m件A种组合，则该超市准备（3m﹣5）件B种组合，
根据题意得：m+3m﹣5≤95，
解得：m≤25．
设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（120﹣94）m+（188﹣146）（3m﹣5），
即w＝152m﹣210，
∵152＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25﹣210＝3590．
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3590元．
24．（14分）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当0＜x≤2时，函数值的取值范围是y≤0；
（3）PAPM的最小值为．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，
解得c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x）2，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，），对称轴为直线x；
∵|0|＜|2|，
∴在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x时，y取最小值；
∴当0＜x≤2时，函数值的取值范围是y≤0；
（3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x于P'，设直线x交x轴于N，如图：
在y＝x2﹣x﹣2中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0），
∴BN＝2，
∵将抛物线的顶点（，）向下平移个单位长度得到点M，
∴M（，﹣3），MN＝3，
∴BM，
∴sin∠BMN，
∴，
∴P'HP'M，
∴P'AP'M＝P'A+P'H＝AH，
由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PAPM最小，最小值为AH的长度，
∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH，
∴AH，
∴PAPM的最小值为．
25．（15分）已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）证明：点D为上一定点；
（2）过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①DF与⊙O相切，理由见解答过程；
②DF的取值范围是DF＜5．
【解答】（1）证明：连接OB，OC，如图：
∵∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∴的度数是60°，
∵B为定点，
∴D为上一定点；
（2）解：①DF与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图：
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切；
②当∠A1BC为直角时，连接OD交BC于M，如图：
∵∠BA1C＝60°，
∵∠A1BC＝90°，
∴∠C＝30°，A1C为⊙O的直径，
∵⊙O的半径为5，
∴A1C＝10，A1BA1C＝5，
∴BC＝5，
由①知，，
∴BMBC，∠BMD＝90°，
∵∠FBC＝180°﹣∠A1BC＝90°，∠FDM＝90°，
∴四边形BFDM是矩形，
∴DF＝BM；
当∠A2CB为直角时，连接OD，BD，如图：
∵∠A2CB＝90°，∠BA2C＝60°，
∴A2B是⊙O的直径，∠A2BC＝30°，
∵DF∥BC，
∴∠F＝∠A2BC＝30°，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDO＝90°，
∴OF＝2OD＝10，
∴DF5；
由图可知，当A由A1运动到A2（不包括A1，A2）时，△ABC是锐角三角形，
∴DF的取值范围是DF＜5．
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