2024年四川省宜宾市中考数学试卷

这是一份2024年四川省宜宾市中考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2的绝对值是（ ）
A．2B．12C．−12D．﹣2
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．5a﹣3a＝2
C．3x•2x＝6x2D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x
3．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0B．众数为75
C．中位数为77.5D．平均数为75
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．（4分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
6．（4分）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8B．18C．28D．32
7．（4分）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
8．（4分）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱
9．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则AB+ACAD的值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
10．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13B．14C．15D．25
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝32，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+32B．6+22C．5D．8
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+23AP的最小值为973．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）分解因式：2a2﹣2＝ ．
14．（4分）分式方程x+1x−1−3＝0的解为 ．
15．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝ ．
17．（4分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2−3|；
（2）计算：2a2−1÷（1a−1−1a+1）．
20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=12，求CD和DE的长．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
2024年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（4分）2的绝对值是（ ）
A．2B．12C．−12D．﹣2
【解答】解：∵2＞0，
∴|2|＝2．
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．5a﹣3a＝2
C．3x•2x＝6x2D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、5a﹣3a＝2a，故B不符合题意；
C、3x•2x＝6x2，故C符合题意；
D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0B．众数为75
C．中位数为77.5D．平均数为75
【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，
平均数=110（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8，
65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
∴中位数=75+752=75，众数为75，方差=110[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61，
故选：B．
4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
故选：A．
5．（4分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
【解答】解：设快马追上慢马的天数是x天，
根据题意得：240x＝150（x+12），
解得：x＝20，
∴快马追上慢马的天数是20天．
故选：D．
6．（4分）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8B．18C．28D．32
【解答】解：A．8的因数有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误；
B．18的因数有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误；
C．28的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确；
D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误；
故选：C．
7．（4分）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
【解答】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
8．（4分）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱
【解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱，
根据题意得：4x+3y＝32，
∴x＝8−34y，
又∵x，y均为自然数，
∴x=8y=0或x=5y=4或x=2y=8，
∴x+y＝8或9或10，
∴所装的箱数最多为10箱．
故选：C．
9．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则AB+ACAD的值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
【解答】解：如图，连接BD、CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD=DC，
∴BD＝CD，
在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，
∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A，B，A'三点共线，如图所示，
∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′，
∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD，
∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴在等腰直角三角形A′DA中，sin∠A′=sin45°=ADAA′=22，
∴AA′AD=AB+ACAD=2．
故选：A．
10．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13B．14C．15D．25
【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
设A(a，ka)，B(b，kb)，
由BC中点为D，AB＝AC，
在等腰三角形ABC中，
∴BD＝DC＝a﹣b，
∴C(2a−b，kb)，
∵AC的中点为M，
∴M(3a−b2，ka+kb2)，即(3a−b2，k(a+b)2ab)，
由M在反比例函数上得M(3a−b2，k3a−b2)，
∴k(a+b)2ab=k3a−b2，
解得：b＝﹣3a，
由题可知，AD∥NE，
∴ANAB=DEBD=aa−b=aa+3a=14，
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝32，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+32B．6+22C．5D．8
【解答】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，
∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AE=2AB＝6，
∵∠DBC＝90°＝∠EBA，
∴∠DBE＝∠CBA，
又∵BD＝BC，AB＝BE，
∴△DBE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC＝2，
在△ADE中，AD＜AE+DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值＝6+2＝8，
故选：D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+23AP的最小值为973．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0），
∴a+b+c＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴−b2a=−3+12=−1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a，
∵a＜0，
∴a+3b+2c＜0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴AC≠BC，
∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c），
∴AB＝4，
当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2，
∴42＝32+c2，
解得c=7或c=−7（不合题意，舍去），
当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2，
∴42＝12+c2，
解得c=15（负数舍去），
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7或c=15，故③错误；
当c＝3时，C（0，3），则OC＝3，
如图所示，取点H（−43，0），连接PH，则OH=43，
∴OHOP=432=23，
∵OPOA=23，
∴OHOP=OPOA，
∵∠HOP＝∠POA，
∴△HOP∽△POA，
∴PHPA=OPOA=23，
∴PH=23PA，
∴CP+23AP＝CP+PH，
当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CP+23AP的最小，最小值为CH，
在Rt△CHO中，CH=OH2+OC2=(43)2+32=973，故④正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）分解因式：2a2﹣2＝ 2（a+1）（a﹣1） ．
【解答】解：2a2﹣2
＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1），
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
14．（4分）分式方程x+1x−1−3＝0的解为 x＝2 ．
【解答】解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1＝1≠0，
∴x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
15．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 25+2 ．
【解答】解：连接BE交AC于O，如图：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CBA＝∠BAC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE，
∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠CBO＝∠BOC＝72°，
∴CO＝BC＝4，
∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA，
∴△ABO∽△ACB，
∴ABAC=AOAB，即4AC=AC−44，
解得AC＝25+2或AC＝25−2（小于4，舍去），
经检验，AC＝25+2符合题意；
故答案为：AC＝25+2．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝ 23 ．
【解答】解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠D＝∠DCH，
又∵CD＝CH，DF＝CE，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝EH，
∴AE+CF＝AE+EH，
∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，
此时：∵CD∥AB，
∴△CEH∽△BAH，
∴CHBH=CEAB，
∴22+4=CE2，
∴CE=23，
故答案为：23．
17．（4分）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 乙槽 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【解答】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分．
∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13，
则有以下情况：
1，3，91，4，81，5，72，3，82，4，72，5，63，4，6，
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
4+8+8=20(甲槽)8+1+1=10(乙槽)1+4+4=9(丙槽)，
∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；
第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；
∴第二次操作计分最低的是乙槽．
方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z．
则x+y+z＝10，
x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾．
所以x最大为8，此时8+1+1＝10，
1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．
故答案为：乙槽．
18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 22−2 ．
【解答】解：如图，延长CD到点G，使DG＝BM．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°，
∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM，
又∵BM＝DG，AD＝BC，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°，
在△GAN和△MAN中，
AG=AM∠GAN=∠MANAN=AN，
∴△GAN≌△MAN（SAS），
∴GN＝MN．
设BM＝x，MN＝y，则GN＝y，DG＝x．
∵BC＝CD＝1，
∴CM＝1﹣x，CN＝x﹣y+1，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，
即y2＝（1﹣x）2+（x﹣y+1）2，
整理可得：y=x2+1x+1=(x+1)2−2(x+1)+2x+1=x+1+2x+1−2，
∵x+1+2x+1≥2(x+1)⋅2x+1=22，
∴y≥22−2，此时 x=2−1．
故：MN的最小值为22−2
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2−3|；
（2）计算：2a2−1÷（1a−1−1a+1）．
【解答】解：（1）原式＝1+2×12−2+3
=3；
（2）原式=2(a+1)(a−1)÷a+1−a+1(a+1)(a−1)
=2(a+1)(a−1)•(a+1)(a−1)2
＝1．
20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 72 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【解答】（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40；
（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°×840=72°；
故答案为：72；
（3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为612=12．
21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AB∥CD，
∴AE＝BF，
由题意得：AB＝EF＝100m，
设AE＝BF＝x m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°，
∴CE＝AE•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°，
∴DF＝BF•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°，
∴DE＝AE•tan21.34°≈0.39x（m），
∵DE＝EF+DF，
∴0.39x＝100+0.33x，
解得：x=50003，
∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m），
∴长江口的宽度CD的值约为1200m．
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜kx的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n，
解得：k＝4，n＝﹣4，
即反比例函数的表达式为：y=4x，点B（﹣4，﹣1）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
4=a+b−1=−4a+b，解得：a=1b=3，
则一次函数表达式为：y＝x+3；
（2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b＜kx成立；
（3）设点C的坐标为：（m，4m），点D（x，0），
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：4﹣1=4m，
解得：m=43，则点C（43，3）；
当AC或AD为对角线时，
同理可得：4+4m=−1或4=4m−1，
解得：m＝±45，
则点C（−45，﹣5）或（45，5），
综上，点C的坐标为：（43，3）或（−45，﹣5）或（45，5）．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=12，求CD和DE的长．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠FOB＝∠FOC，
∴OF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵OB＝OA，
∴∠BAF＝∠ABE，
∴BFAF=tan∠BAF＝tan∠ABE=12，
∴AF＝2BF，
∵AB=AF2+BF2=(2BF)2+BF2=5BF＝10，
∴BF＝25，AF＝45，
∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝45−FO，
∴（25）2+FO2＝（45−FO）2，
解得FO=352，
∴OD＝OB＝OA＝45−352=552，
∵OB＝OD，BF＝CF，
∴CD＝2FO＝2×352=35，
∵OAOE=cs∠AOE＝cs∠FOB=FOOB，
∴OE=OA⋅OBFO=552×552352=2556，
∴DE＝OE﹣OD=2556−552=553，
∴CD的长是35，DE的长是553．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得：
1−b+c=0c=−4，
解得b=−3c=−4，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x−32）2−254，
∴抛物线顶点D的坐标为（32，−254）；
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作D（32，−254）关于y轴的对称点D'（−32，−254），连接BD'交y轴于M，如图：
在y＝x2﹣3x﹣4中，令y＝0得0＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0），
∴BD=(32−4)2+(−254)2=5294，
∴△BDM的周长最小，只需DM+BM最小，
∵DM＝D'M，
∴DM+BM＝D'M+BM，
∴B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小；
由B（4，0），D'（−32，−254）得直线BD'解析式为y=2522x−5011，
令x＝0得y=−5011，
∴M的坐标为（0，−5011）；
（3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣23），
∵△AEF，△APQ是等边三角形，
∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°，
∴∠EAP＝∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ（SAS），
∴PE＝QF＝1，
∴F的轨迹是以Q（1，﹣23）为圆心，1为半径的圆，
∵B（4，0），
∴BQ=21，
当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF=21−1；
当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF=21+1；
∴BF的范围时21−1≤BF≤21+1．
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