2024年四川省乐山市中考数学试卷

这是一份2024年四川省乐山市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器
B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器
D．青铜大方鼎
3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A．4×108B．4×109C．4×1010D．4×1011
4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
A．100B．200C．300D．400
6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC
7．（3分）已知1＜x＜2，化简|x﹣2|的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．2x﹣3D．3﹣2x
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（ ）
A．B．C．﹣6D．6
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2B．0＜t≤4C．2≤t≤4D．t≥2
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）计算：a+2a＝ ．
12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 ．
13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝ .
14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝ ．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则 .
16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0．
18．（9分）解方程组：．
19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．
20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解：①
②
③
④
⑤
当x＝3时，原式＝1．
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）．
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：DC∥AE；
（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系： （直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式．
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．
2024年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
【答案】A
【解答】解：x﹣2＜0，
移项，得x＜2．
故选：A．
2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器
B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器
D．青铜大方鼎
【答案】D
【解答】解：选项A中的“带盖玉柱形器”的俯视图是圆形，因此选项A不符合题意；
选项B中的“白衣彩陶钵”的俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
选项C中的“镂空人面覆盆陶器”的俯视图是圆形，因此选项C不符合题意；
选项D中的“青铜大方鼎”的俯视图是四边形，因此选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A．4×108B．4×109C．4×1010D．4×1011
【答案】C
【解答】解：40000000000用科学记数法表示为4×1010．
故选：C．
4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∵180＜360＜540＜720，
∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，
故选：A．
5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
A．100B．200C．300D．400
【答案】D
【解答】解：800400（人），
即估计该年级学生乘坐公交车上学的人数大约为400人．
故选：D．
6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC
【答案】D
【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选：D．
7．（3分）已知1＜x＜2，化简|x﹣2|的结果为（ ）
A．﹣1B．1C．2x﹣3D．3﹣2x
【答案】B
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴|x﹣2|
＝x﹣1+2﹣x
＝1，
故选：B．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（ ）
A．B．C．﹣6D．6
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，
∵3，
∴，
即，
解得：p．
故选：A．
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2B．0＜t≤4C．2≤t≤4D．t≥2
【答案】C
【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）．
因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等．
因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
所以t﹣1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t﹣1≥1，
所以1≤t﹣1≤3，
解得2≤t≤4．
故选：C．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图过C作CG⊥BC，交AD于点G，作B关于C的对称点Q'，连接BD和AQ'交于点H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CG垂直平分AD，
∵P、Q关于点C对称，
∴M一定在直线CG上，
∵P从点B运动到点C，
∴可以得到点M的运动轨迹就是CH这一段．
∵AB＝1＝CD，
∴CG＝CD•sin60°，
∵△AHD∽△Q'HB，
∴，
∴CHCG，
即点M的运动路径长为．
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）计算：a+2a＝ 3a ．
【答案】3a．
【解答】解：a+2a
＝（1+2）a
＝3a，
故答案为：3a．
12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 66千米/时 ．
【答案】66千米/时．
【解答】解：数据从小到大的顺序排列为57，58，66，69，71，
∴这组数据的中位数是66千米/时．
故答案为：66千米/时．
13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝ 120° .
【答案】120°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∴∠2＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝ 29 ．
【答案】29．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
＝9+20
＝29，
故答案为：29．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若，则 .
【答案】．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴（）2＝（）2．
故答案为：．
16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ③ （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 0＜m或m＜0 ．
【答案】（1）③；
（2）0＜m或m＜0．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，﹣x+3，
∴x＝3，
∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），
∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”；
②∵y中，在每一象限内y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝2，
当y＝1时，x＝2，
∴函数y的图象上不存在“近轴点”；
③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1；
∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”；
故答案为：③；
（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），
∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），
分两种情况：
①当m＞0时，如图1，
当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴﹣1≤﹣2m＜0，
∴0＜m；
②当m＜0时，如图2，
由①知：点A的坐标为（1，﹣2m）当x＝1时，y，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴0≤﹣2m＜1，
∴m＜0；
综上，m的取值范围为：0＜m或m＜0．
故答案为：0＜m或m＜0．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0．
【答案】1．
【解答】解：|﹣3|+（π﹣2024）0
＝3+1﹣3
＝1．
18．（9分）解方程组：．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
①+②，得3x＝9，（3分）
解得x＝3． （4分）
把x＝3代入②，得y＝1． （7分）
∴原方程组的解是．（9分）
19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．
【答案】见解答过程．
【解答】证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAB，
∴在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴∠C＝∠D．
20．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解：①
②
③
④
⑤
当x＝3时，原式＝1．
（1）小乐同学的解答过程中，第 ③ 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】（1）③；
（2）解答见解析．
【解答】解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2，
故答案为：③．
（2）



，
当x＝3时，原式．
21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 240 人，扇形统计图中m的值为 35 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35；
（2）图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）本次抽取的游客总人数为72÷30%＝240（人），
∴m%＝84÷240×100%＝35%，
故答案为：240，35；
（2）喜好甜皮鸡的人数为：240﹣48﹣72﹣84＝36（人），
补全条形统计图如下：
（3）把四种美食分别记为A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭，
画树状图如下：
共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种，
∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率为．
22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，1）．
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
【答案】（1）m＝3，n＝3；一次函数表达式为y＝2x+1；（2）．
【解答】解：（1）∵点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数图象上，
∴m＝3，n＝3．
又∵一次函数y＝kx+b过点A（1，3），C（0，1），
∴，解得，
∴一次函数表达式为y＝2x+1．
（2）如图，连结BC．过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．
∵C（0，1），B（3，1），
∴BC∥x轴，BC＝3．
∵点A（1，3），B（3，1），AD⊥BC，
∴点D（1，1），AD＝2，DB＝2．
在Rt△ADB中，AB2，
又∵S△ABC，
即，
∴，即点C到线段AB的距离为．
23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能，OA．
【解答】解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺，
∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，
∴102+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝14.5．
答：秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能．
由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．
在Rt△OA′P中，csα，
∴OP＝OA′•csα＝OA•csα，
同理，OQ＝OA″•csβ＝OA•csβ，
∵OQ﹣OP＝h，
∴OA•csβ﹣OA•csα＝h，
∴OA•（csβ﹣csα）＝h，
∴OA．
24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：DC∥AE；
（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3π．
【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠OAC＝90°．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠B＝∠DCA，
∵，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠DCA，
∴CD∥AE；
（2）解：连结OE、BE，
∵EF垂直平分OB，
∴OE＝BE，
∵OE＝OB，
∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣60°120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°．
∵DC∥AE，
∴∠D＝∠OAE＝30°．
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝2OC＝OA+AD，
∵OA＝OC，
∴OC＝AD＝3，
∴AO＝OE＝OC＝3，
∴EFOE，
∴△OAE的面积AO•FE，
∵扇形OAE的面积3π，
∴阴影的面积＝扇形OAE的面积﹣△OAE的面积＝3π．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．
（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】（1）（1，1）；（2）a；（3）．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标（1，1）；
（2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，2a），
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0，
∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），
当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），
∴3≤2a＜5，
∴a的取值范围是a；
（3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）．
显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意．
下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况：
①当抛物线经过（2，1）时，解得．此时，P（2，1），，R（4，5）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个．
②当抛物线经过（3，2）时，解得．此时，，Q（3，2），R（4，4）．
如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个．
∴a的取值范围是．
26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： △ADE≌△AD′E ；“②”处应填： EC2+CD′2＝ED′2 ；“③”处应填： 5 ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系： EF2＝2BE2+2DF2 （直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式．
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．
【答案】【问题解决】①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；
【知识迁移】DN2+BM2＝MN2，理由见解析过程；
【拓展应用】2BE2+2DF2＝EF2，理由见解析过程；
【问题再探】．
【解答】解：【问题解决】：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
，
∴△ADE≌△AD'E（SAS）．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，EC2+CD′2＝ED′2，
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝5．
故答案为：①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；
【知识迁移】DN2+BM2＝MN2，理由如下：
如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF′，过点D作DH⊥BD交边AF′于点H，连结NH．
由旋转得：AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′．
由题意得：EF+EC+FC＝DC+BC＝DF+FC+EC+BE，
∴EF＝DF+BE＝DF+DF′＝F′F．
在△AEF和AF′F中，
，
∴△AEF≌AF′F（SSS），
∴∠EAF＝∠F′AF．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵DH⊥BD，
∴∠ADH＝∠HDB﹣∠ADB＝45°，
在△ABM和△ADH中，
，
∴△ABM≌△ADH（ASA），
∴AM＝AH，BM＝DH，
在△AMN和△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN．
在Rt△HND中，DN2+DH2＝HN2，
∴DN2+BM2＝MN2；
【拓展应用】如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE．过点H作HO⊥直线BC与O，
∴△ADF≌△AGH，
∴DF＝HG，AD＝AG，
∵∠CEF＝45°＝∠BEM，∠MBC＝90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE＝BM，
由【知识迁移】知△AEH≌△AEF，则AH＝AF，EH＝EF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2
又∵EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，
∴（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，
即2（DF2+BE2）＝EF2，
∴EF2＝2BE2+2DF2．
故答案为：EF2＝2BE2+2DF2；
【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE′C′，连结E′D，过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E′作EG′⊥BC′，垂足为G′，过点E′作E′F∥BA，过点D作DF∥BC交AB于点H，E′F、DF交于点F，
由旋转得：BE＝BE′，∠CBE＝∠C′BE′，EG＝E′G′，BG＝BG′．
∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，
∴∠CBE+∠DBA＝45°．
∴∠C′BE′+∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°．
在△EBD和△E′BD中，
，
∴△EBD≌△E′BD（SAS）．
∴DE＝DE′，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴，
又∵AD＝x，CE＝y，
∴DE′＝DE＝5﹣x﹣y．
∵DF∥BC，
∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC＝90°，
∴△AHD∽△ABC，
∴，即，，
∴，
同理可得：，，
∴，，
∵E′G′⊥AB，∠ABC＝90°，
∴E′G′∥BC∥FD．
又∵E′F∥AB，∠FHG′＝∠AHD＝90°，
∴四边形FE′G′H为矩形．
∴∠F＝90°，，，
∴，
在Rt△E′FD中，E′F2+DF2＝E′D2．
∴．
解得．
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15
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2
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，
∴①_____．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，②_____．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝③_____．
交通方式
公交车
自行车
步行
私家车
其它
人数（人）
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5
15
8
2
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°．
∵∠BAD＝∠CAD′，
∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．
∴∠DAE＝∠D′AE．
在△DAE和△D′AE中，
AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，
∴①_____．
∴DE＝D′E．
又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，
∴在Rt△ECD′中，②_____．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，
∴DE＝D′E＝③_____．