辽宁省铁岭市开原市2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省铁岭市开原市2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1.花钿(diàn)是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，其中以红色为最多，是唐代比较流行的一种首饰.下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
2.不等式x+1≤3 的解集在数轴上表示正确的是 ( )
3. 三角形的三边长a, b, c, 满足 则此三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能
4.下列从左到右的变形中，是因式分解的是 ( )
A. (a+b)(a-b) =a²-b²

5.已知点P(a-1，4)在第二象限，则a的取值范围正确的是 ( )
A. a>1 B. a≥1 C. a≤1 D. a<1
6.在联合会上，有 A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的 ( )
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三边中垂线的交点 D.三边上高的交点
7. 如图, 将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF, DF交BC于点H, CH=2cm,EF=5cm，则阴影部分的面积为 ( )

8. 如图所示的△ABC, 进行以下操作: ①以A, B为圆心, 大于 AB为半径作圆弧，相交点D，E; ②以A, C为圆心, 大于 AC为半径作圆弧, 相交于点F, G. 两直线DE, FG相交于△ABC外一点P, 且分别交BC点M, N. 若∠MAN=50°, 则∠MPN等于 ( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
9. 如图, 在△ABC中, ∠A=90°, BD平分∠ABC交AC于点D, AB=4, BD=5, AD=3, 若点 P是BC上的动点，则线段 DP的最小值是 ( )
A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 5
10. 函数y=kx+b的图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A. 当x=-2时, y=1
B. k<0
C.若y=kx+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则b=2
D. 若点 (﹣1, m) 和点 (1, n) 在直线上, 则m>n
二.填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)
11. 不等式2x+1<7的非负整数解共有 个.
12.在平面直角坐标系中，点(3， -2)关于原点的对称点的坐标是： .
13.小明用200元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本4元，每支钢笔 10元，则小明至少能买笔记本 本.
14. 如图, 在 中, BD和CD分别是 和 的平分线, EF过点D, 且 若 , 则EF的长为 .
15. 如图, 在△ABC中, , 动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为 当点 P到达点B时，
P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.
①当t= 秒时, △PBQ为等边三角形;
②当t= 秒时, △PBQ为直角三角形.
三.解答题(共8小题，满分75分)
16.把下列各式分解因式：

17.解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
18. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A(3, 3), B (4, 0), C (0, -1).
(1) 作出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁;
(2) 作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的.
(3) 点B的对应点 B₂的坐标为 .
19.顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”。如图， 和. 互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、点E均在 外, 连接BD、CE交于点 M, 连接AM, 求证: MA平分
20.阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解，如. 细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

.分组
..组内分解因式
…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式:
(2) 已知 的三边a、b、c满足 判断. 的形状并说明理由.
21. 如图, 在四边形ABCD中, AC, BD 是对角线, 是等边三角形.线段CD 绕点 C顺时针旋转 得到线段CE, 连接AE, DE.2
(1) 求证:
(2) 若 , 求DE的长.
22.某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书.购买2本甲种书和1 本乙种书共需100元； 购买3本甲种书和2本乙种书共需175元.
(1)求甲、乙两种书的单价；
(2)学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书?
23.【问题背景】
学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图 1，已知等边 D 是 外一点, 连接AD、CD、BD, 若 求CD的长.
该小组在研究如图2中. 中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程.
解：如图3所示，以DC为边作等边 连接AE.
∵△ABC、△DCE是等边三角形,
∴BC=AC, DC=EC, ∠BCA=∠DCE=60°.

∴∠BCD=∠ACE,
∴ ,
∴AE=BD=5.
∵∠ADC=30°, ∠CDE=60°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵AD=3,

【尝试应用】
如图4, 在△ABC中, 以AC为直角边，A 为直角顶点作等腰直角△ACD, 求BD 的长.
【拓展创新】
如图 5, 在△ABC 中, ，以 BC 为边向外作等腰 120°, 连接AD, 求AD的最大值.
答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1 -5 D A B B D 6-10 C B B A C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．3． 12．（﹣3，2）． 13．17． 14．7． 15．（1）2． （2）1.5或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解：（1）原式＝（3n+m）2； 4分
（2）原式＝a（a4﹣16）
＝a（a2+4）（a2﹣4） 6分
＝a（a2+4）（a+2）（a﹣2）． 8分
17．（8分）解：由﹣3（x﹣2）＞4﹣x得：x＜1，2分
由x﹣3≥得：x≥﹣2， 4分
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1． 6分
将解集表示在数轴上如下： 8分
18．（9分）解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 3分（图2分，“△A1B1C1即为所求”1分）
（2）如图，△A2B2C即为所求． 6分（同上）
（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．9分
19．（8分）解：证明：如图3，过点A作AG⊥BD于G，AH⊥CE于H， 1分
则∠AGB＝∠AHC＝90°，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE， 3分
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， 6分
∴AG＝AH，
∵AG⊥BD，AH⊥CE，
∴MA平分∠BME． 8分
20．（8分）解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2
＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y） 2分
＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y） 3分
＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）； 4分
（2）△ABC为等腰三角形． 5分
理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， 6分
∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0，
∵△ABC三边a、b、c都大于0，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b， 7分
∴△ABC为等腰三角形． 8分
21．（10分）（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°， 2分
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE， 3分
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）， 4分
∴∠CBD＝∠CAE； 5分
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝5， 6分
∵∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 8分
在Rt△ADE中，DE＝＝＝4． 10分
22．（12分）解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：， 3分
解得：． 5分
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元； 6分
（2）设该校购买m本乙种书，则购买（60﹣m）本甲种书，
根据题意得：25（60﹣m）+50m≤2500， 9分
解得：m≤40， 11分
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买40本乙种书． 12分
23．（12分）解：
【问题背景】∠DCE，△BCD≌△ACE（SAS），4； 4分（1分；2分；1分）
【尝试应用】以A点为旋转中心，将△ABD绕A点顺时针旋转90°，
得到△AEC，连接BE，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EBA＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝90°，
∵AB＝，
∴EB＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴BD＝EC＝2； 8分
【拓展创新】以点D为旋转中心，将△ACD绕点D顺时针旋转120°，得到△BDF，连接AF，
∴AD＝DF，∠ADF＝120°，AC＝BF，
∴当A、B、F三点共线时，AF最大，此时AD最大，
∵AB＝4，AC＝8，
∴AF＝AB+BF＝AB+AC＝12，
过点D作DG⊥AF交于点G，
∵AD＝DF，∠ADF＝120°，
∴∠DAG＝30°，AG＝GF＝6，
∴AD=DG，在Rt△DAG 中利用勾股定理解得AD =4，
∴AD的最大值为4． 12分