广州外国语学校2023届九年级下学期3月月考数学试卷(含解析)

这是一份广州外国语学校2023届九年级下学期3月月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. πB. C. ﹣2D. 3
答案：A
解析：
详解：解：∵π＞3＞＞﹣2，
∴最大的数是：π．
故选A．
2. 2022年2月20日，北京冬奥会圆满闭幕，冬奥会的部分金牌榜如表所示，榜单上各国代表团获得的金牌数的众数为（ ）
A. 9B. 8.5C. 8D. 7
答案：C
解析：
详解：解：8出现的次数为3次，是出现次数最多的数，
∴榜单上各国代表团获得的金牌数的众数为8．
故答案为：C．
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 三棱柱C. 长方体D. 圆锥
答案：A
解析：
详解：解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆形，
故该几何体是一个圆柱，
故选：A．
4. 方程＝的解为（ ）
A. x＝1B. x＝﹣1C. x＝2D. x＝3
答案：A
解析：
详解：解：去分母得：8-2x＝3x+3，
移项并合并同类项得：5x=5，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：A、，故运算错误；
B、，故运算正确；
C、，故运算错误；
D、，故运算错误；
故选：B．
6. 若，，三点均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A. 24B. 18C. 16D. 6
答案：C
解析：
详解：解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
∴口袋中白色球的个数可能是个．
故选：C．
8. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：根据题意得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长，
∴重物上升的高度为．
故选：C
9. 如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是（ ）
A. 16B. 15C. 13D. 12
答案：D
解析：
详解：∵△ABC是等边三角形，BC=7，
∴AC=BC=7，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=5，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+5=5+7=12．
故选：D．
10. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
二、填空题（本大题共6小圈，每小3分，满分18分）
11. 当x满足条件______时，式子在实数范围内有意义．
答案：
解析：
详解：解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 分解因式：=_________.
答案：
解析：
详解：
故答案为
13. 已知0是关于的一元二次方程的一个实数根，则=______．
答案：-1
解析：
详解：解：∵0是关于的一元二次方程的一个实数根，
∴，且，
∴，
故应填-1．
14. 如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是__________．
答案：880
解析：
详解：解：由图知，草坪的面积等于矩形的面积-三条路的面积+重合部分的面积，
则六块草坪的总面积是：，
故答案为：880
15. 已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为___________．
答案：或
解析：
详解：解：（1）当点E在边AD上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ECB=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=5，
∴tan∠DAC=；
（2）当点E在边DA的延长线上时，如图2，
由（1）可知DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=；
综上，tan∠DAC的值为或，
故答案为：或．
16. 如图，在中，，，，是上方一动点，且，交于点．当点运动到时，的值为________；随着点的运动，的最大值为________．
答案： ①. 1 ②.
解析：
详解：①∵AB=3，BC=6，，

∴，
∴．
又∵PB=PC，
∴是等边三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴；
②如图，作BC的垂线交BD的延长线于点F，作于点Q．
∵，
∴，
∴B、C、F、P四点共圆．
根据所作辅助线可知，
∴BF为⊙O直径．
∵，，
∴，
∴，即．
∴求的最大值，即PQ最大即可．
根据题意结合图形可知当Q点和O点重合时PQ最大，即最大值为⊙O半径．
∵，
∴，
∴PQ最大值为，
∴．
故答案为：1，．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式组，并把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
答案：，见解析
解析：
详解：解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
18. 如图，点C，E，B，F在同一条直线上，．说明．
答案：见解析
解析：
详解：说明：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
19. 已知A＝（a﹣）÷．
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，求A的值．
答案：（1）；
（2）
解析：
小问1详解：
A＝（a﹣）÷
＝
＝
＝．
小问2详解：
∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象的交点，
∴将点P（a，b）分别代入得，，
∴，
∴A＝＝2．
20. 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 名；D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
答案：（1）25名 （2）4，2，统计图见解析
（3）
解析：
小问1详解：
解：同学，
∴王老师一共调查了25名同学；
小问2详解：
解：名，
∴C类女生共有4名，
∴D类男生有名；
补全统计图如下：
小问3详解：
解：画树状图如下：
由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果数有10种，
∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．
21. 教室里的饮水机接通电就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电，水温（℃）与时间（）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于50℃水，请问她最多需要等待多长时间？
答案：（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟；
解析：
详解：（1）由题意可得，
，
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟；
22. 如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
小问2详解：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，解得，，
∵，，
∴，
∴，解得．
∴．
23. 图1是一商场的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）
答案：1.4米.
解析：
详解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cs∠A≈0.8，
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cs∠D≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
24. 四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．
（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．
答案：（1）；（2）；（3）
解析：
详解：解：（1） 四边形ABCD是菱形，
四边形ABCD是正方形，






，



设


而




（2）延长相交于，过作于 联结
菱形，


为的中点，


,



设 则

设





由菱形可得：

（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使



设
则

菱形










，
解得：
经检验：是原方程组的解，

即菱形的边长为：
25. 抛物线与轴交于、两点（左右），，与轴的交点是，顶点是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为对称轴上一点，为平面内一点，、、、为矩形的四个顶点，求出符合条件的点坐标；
（3）直线与抛物线交于、两点，连接，，满足，求证；直线恒过定点，并求出定点坐标．
答案：（1）
（2）或或或；
（3）证明见解析，
解析：
小问1详解：
令，
则方程的两根，
∵，
∴
解得：或
∵，
∴
∴
小问2详解：
解：∵，
∴对称轴为直线，，
令，即
解得：
令，解得，
∴，，
∴，
则
∵点在对称轴上，
设，与轴交于点，
当为矩形的边时，当，则，
∴，
∴，
当时，设与交于点，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∴，
当时，则点在的中点为圆心，为直径的圆上，
∵，，
∴，
∴
即
解得：或
∴或,
综上所述，或或或；
小问3详解：
解：∵
将抛物线向上移动4个单位，再向右移动1个单位得到，即将抛物线顶点平移至原点，
设直线与抛物线交于两点，
∴
化简，得，
∴，
如图所示，过点作轴于，轴于．
则：
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴．
∴，必过点：；
将定点向下移动4个单位，再向左移动1个单位得到，
即直线恒过定点，定点坐标．代表团
挪威
德国
中国
美国
瑞典
荷兰
奥地利
金牌数
16
12
9
8
8
8
7