福州金山中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份福州金山中学2024届九年级上学期开学考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列曲线中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：根据函数定义，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数．而选项A中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：A．
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（ ）
A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. AC＝BDD. OA＝OC
答案：B
解析：
详解：四边形ABCD是矩形
ABBC，A项成立
AC⊥BD不是矩形的性质，B项不成立
AC＝BD，C项成立
OA＝OC，D项成立
故答案选B
3. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A. B. ，
C. ，，D. ，，
答案：C
解析：
详解：解：A. ∵，，∴，故该选项不符合题意；
B. ∵ ，，∴，故该选项不符合题意；
C. ∵ ，，，，∴ ，∴不是直角三角形，故该选项符合题意；
D. ∵，，，，∴，∴是直角三角形，故该选项不符合题意．
故选：C．
4. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：C
解析：
详解：把x=0代入方程有：
a2-4=0，
a2=4，
∴a=±2；
∵a-2≠0，
∴a=-2，
故选C．
5. 如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）
A. 2.5B. 4C. 5D. 10
答案：C
解析：
详解：解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，F是BC的中点，
∴BC=2AF=10，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
故选C．
6. 下列抛物线通过先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，可得到抛物线y=3x2的是（ ）
A. y=3（x+3）2﹣2B. y=3（x+3）2+2
C. y=3（x+2）2﹣3D. y=3（x﹣2）2+3
答案：A
解析：
详解：解：抛物线y=3x2先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到y=3（x+3）2-2．
故选A．
7. 某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为，
故选：A．
8. 函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
详解：选项A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
选项B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
选项C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
选项D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．
故选C．
9. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，连接AD，BE，
根据题意得：，
，
∴AD=CD，，，
∴∠ADC=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴．
故选：B
10. 如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A. B. 2C. 4D.
答案：A
解析：
详解：过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，
则∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥AD，
当DE⊥AB时， DE最小，
此时，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值为．
故选A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____．
答案：
解析：
详解：把代入一元二次方程得，
所以.
故答案为：1．
12. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________．
答案：12
解析：
详解：解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，
所以这组数据的和为6×2＝12，
故答案为：12．
13. 二次函数的最小值为_________．
答案：2
解析：
详解：解：∵二次函数的解析式为，
∴当时，y最小，最小值为2，
故答案为：2．
14. 如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线分别交AB，BD于点E，F，连接CF，则 ______°．
答案：70
解析：
详解：解：如图，连接AF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD=∠BAD=110°，AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA=35°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴FB=FA，
∴∠FBA=∠FAB=35°，
∴∠AFD=∠FBA+∠FAB=70°，
∵A、C关于直线BD对称，
∴∠AFD=∠CFD=70°，
故选答案为：70．
15. 函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为__________．
答案：0、1、9
解析：
详解：解：由题意可分：
当函数是二次函数时，即，则该函数图象与x轴只有一个交点时，即一元二次方程只有一个解，
所以，即，
解得，
当函数是一次函数时，即，所以该函数解析式为，该函数图象与x轴只有一个交点，
综上所述：a的值为0或1或9；
故答案为0、1、9．
16. 如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有______．

答案：①④⑥
解析：
详解：解：①抛物线与轴有两个交点，
，
，故①正确；
②抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
与异号，即，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故②错误；
③抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
当时，，
，故③错误；
④抛物线与轴的一个交点为，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，故④正确；
⑤，
，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
，故⑤错误；
⑥当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，取最小值，
，
，故⑥正确；
综上所述，①④⑥正确，
故答案为：①④⑥．
三、解答题（共86分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
解析：
小问1详解：
解：，
，，，
，
，
，，
原方程的解为，；
小问2详解：
解：，
，
，
，即，
或，
解得：，，
原方程的解为，．
18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；
（2）当为何值时，？
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
答案：（1）方程的两个根为，
（2）当时，
（3）当时，随的增大而减小
解析：
小问1详解：
解：由图象可得：
二次函数与轴的交点坐标为和，
方程的两个根为，；
小问2详解：
解：由图象可得：
当时，；
小问3详解：
解：由图象可得：
二次函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小．
19. 已知：，求代数式的值.
答案：3
解析：
详解：此题考查求代数式值知识点；此题可以先求出值然后代入求值，但是此方程的根是无理数，代入求值比较麻烦，所以此题考虑整体代换；
解：原式，把已知代入上式，可以得到：原式；
20. 求函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大或最小值．
答案：抛物线开口向下；对称轴：直线；顶点；函数y有最大值，最大值为-4.
解析：
详解：解：∵
∴抛物线开口向下
对称轴为：直线
∴顶点坐标横坐标为：2，将，代入解析式得：
∴顶点坐标为
∵函数的开口向下，
∴函数有最大值，当时y取最大值，此时，即最大值为.
21. 已知抛物线顶点且经过点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与轴的交点坐标．
答案：（1）
（2）该抛物线与轴的交点坐标为
解析：
小问1详解：
解：抛物线顶点是，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，即；
小问2详解：
解：令，则，
该抛物线与轴的交点坐标为．
22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式，
例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系，
∵x2﹣2x＋3＝（x﹣ ）2＋ ；所以x2﹣2x＋3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2＋6x﹣9变形为（x＋m）2＋n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2＋y2﹣4x＋2y＋6的值总为正数．
答案：（1）1；2；＞
（2）（x+3）2﹣18，最小值为-18 （3）见解析
解析：
小问1详解：
解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，
∴x2﹣2x+3＞0，
故答案为：1；2；＞；
小问2详解：
解：x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
小问3详解：
证明：x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
23. 5G提速了，网络丰富了大家的生活！小石通过某平台进行带货直播销售一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
答案：（1）：y﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元
（3）每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
解析：
小问1详解：
解：根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
小问2详解：
解：当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
小问3详解：
解：根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
24. 如图．已知抛物线经过点和点，点为抛物线与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值．
答案：（1）
（2）面积的最大值为
解析：
小问1详解：
解：抛物线经过点和点，
将点和点代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为；
小问2详解：
解：在抛物线中，令，则，
，
设直线的解析式为：，
将和代入直线的解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴，交于点，
，
设，则，
，
，
当时，最大，为，
面积的最大值为．
25. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

答案：（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)
解析：
详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），
∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．