2025版《优化探究》高考数学总复习人教版数学配套专题课件

这是一份2025版《优化探究》高考数学总复习人教版数学配套专题课件，文件包含第四章三角函数docx、第二章函数的概念性质与基本初等函数docx、第七章立体几何与空间向量docx、第三章三角函数docx、第十章计算原理概率随机变量及其分布docx、第九章圆锥曲线的方程docx、第一章集合常用逻辑用语与不等式docx、第六章数列docx、第十一章统计与成对数据的分析docx、第五章平面向量与复数docx、第八章直线和圆的方程docx等11份课件配套教学资源，其中PPT共0页， 欢迎下载使用。

第一节　直线的方程[学习要求]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.　3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.[知识梳理]知识点一　直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l　向上　方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0°　；（3）范围：直线l的倾斜角α的取值范围是　0°≤α＜180°　.2.直线的斜率（1）定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝　tan α　；（2）斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率为k＝　y2－y1x2－x1　.知识点二　直线的方程[小题诊断]1.已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为（　　）A.3　　　　B.33C.－33　　　 D.－3答案：D2.已知直线l过点（1，1），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（　　）A.x＋y＝1　　B.x－y＝1C.y＝1　　　 D.x＝1答案：D解析：因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线的斜率不存在，与x轴垂直.又因为直线l过点（1，1），所以直线l的方程为x＝1.3.若直线l：y＝－（a＋1）x＋a－2不经过第二象限，则实数a的取值范围为　　　　.答案：（－∞，－1]解析：因为直线不过第二象限，所以-(a+1）≥0，a－2≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围为（－∞，－1].4.过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0考点一　直线的倾斜角与斜率[例1]　（1）已知点A（2，3），B（－3，－2），若直线l过点P（1，1），且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）A.34，2　　　B.－∞，34∪（2，＋∞）C.34，＋∞　　D.（－∞，2）（2）直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是（　　）A.π6，π3　　　B.π4，π3C.π4，π2　　　D.π4，2π3[答案]　（1）A　（2）B[解析]　（1）由已知得kAP＝3－12－1＝2，kBP＝－2－1－3－1＝34.如图，因为过点P（1，1）的直线l与线段AB始终没有交点，所以斜率k的取值范围是34，2.（2）直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].由于θ∈[0，π），所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.❙方法总结❙直线的斜率与倾斜角的区别与联系1.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　.答案：13　－3解析：在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan（θ－45°）＝tanθ－tan45°1+tanθtan45°＝2－11+2＝13，kOC＝tan（θ＋45°）＝tanθ＋tan45°1－tanθtan45°＝2+11－2＝－3.考点二　直线方程的求法[例2]　（1）直线过点（－4，0），倾斜角为30°的直线方程为　　　　；（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为　　　　.[答案]　（1）3x－3y＋43＝0　（2）4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0[解析]　（1）k＝tan 30°＝33，由点斜式得y＝33（x＋4），即3x－3y＋43＝0.（2）由题设知纵、横截距不为0，设直线方程式为xa＋y12－a＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.❙方法总结❙求直线方程时的注意点1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用：若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.3.截距是数，不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标，在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.2.已知直线l的一个方向向量为n＝（2，3），若l过点A（－4，3），则直线l的方程为（　　）A.y－3＝－32（x＋4）B.y＋3＝32（x－4）C.y－3＝32（x＋4）D.y＋3＝－32（x－4）答案：C解析：法一：因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以直线l的斜率k＝32，故直线l的方程为y－3＝32（x＋4）.法二：设P（x，y）是直线l上的任意一点（不同于A），则AP＝（x＋4，y－3）.因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以3（x＋4）－2（y－3）＝0，故直线l的方程为y－3＝32（x＋4）.3.（多选）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为（　　）A.x－y＋1＝0　　B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0　　　D.x－y－1＝0答案：ABC解析：当直线经过原点时，斜率为k＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A（1，2）代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.考点三　直线方程的应用[例3]　已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.[解]　法一：依题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1（a＞0，b＞0），将点P（3，2）的坐标代入方程得3a＋2b＝1≥26ab，即ab≥24，当且仅当3a＝2b时，等号成立，从而S△AOB＝12ab≥12，故△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的斜率k＝－ba＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0，所以△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.法二：依题意，直线l的斜率k存在，且k＜0，可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0），则A3－2k，0，B（0，2－3k），所以S△AOB＝12（2－3k）3－2k＝1212+(-9k）＋4(-k）≥12［12＋2(-9k）·4(-k）］＝12×（12＋12）＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立.此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.❙方法总结❙与直线有关的求最值的常用方法1.与直线的倾斜角、斜率、方程等有关的最值问题，常常转化为求函数最值、利用基本不等式求最值等.2.直线过定点问题，常常把直线方程整理变为含有参数为主元的方程，得到两个关于直线方程中的变量的方程组求解得到定点坐标.4.若[例3]条件不变， 求PA·PB的最大值及此时直线l的方程.解：由原例题法二知A3－2k，0，B（0，2－3k），k＜0.故PA·PB＝－2k,-2·（－3，－3k）＝6k＋6k＝－［－6k＋（－6k）］≤－2 －6k·(-6k）＝－12，当且仅当－6k＝－6k，即k＝－1时，等号成立.此时直线l的方程为x＋y－5＝0.所以PA·PB的最大值为－12，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.[A组　基础保分练]1.（2024·湖北武汉模拟）若直线l的一个方向向量为（－1，3），求直线的倾斜角（　　）A.π3　　　　　　　　　 B.π6C.2π3　　　　　　　　　D.5π6答案：C解析：直线l的一个方向向量为（－1，3），则直线l斜率为－3，所以直线l的倾斜角为2π3.2.过点P（－1，3）且倾斜角为30°的直线方程为（　　）A.3x－3y＋43＝0　　B.3x－y＋23＝0C.3x－3y＋23＝0　　D.3x－y＝0答案：A3.若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是（　　）A.－32　　　　　　　　 B.32C.－23　　　　　　　　 D.23答案：C解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），则平移后直线的方程为y＝k（x－3）＋b－2＝（kx＋b）＋（－3k－2），可得kx＋b＝（kx＋b）＋（－3k－2），即k＝－23.4.（多选）（2024·辽宁大连模拟）已知直线l：3x－y＋1＝0，下列说法正确的是（　　）A.直线l的倾斜角为60°B.直线l在x轴上的截距为1C.直线l的一个方向向量为a＝（1，3）D.直线l与直线x＋3y＋c＝0垂直答案：ACD解析：由3x－y＋1＝0，可得l：y＝3x＋1，所以直线的斜率k＝3，即tan α＝3，又α∈0，π，所以倾斜角为60°，故A正确；在3x－y＋1＝0中，令y＝0，解得x＝－33，所以直线l在x轴上的截距为－33，故B错误；由直线的方向向量可知a＝1，3是直线l的一个方向向量，故C正确；由直线方程可得两直线的斜率分别为3，－33，所以3×－33＝－1，所以两直线垂直，故D正确.5.（多选）下面说法错误的是（　　）A.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示B.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示C.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示D.经过任意两个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1）表示答案：ABC解析：A错，斜率不存在，则不可用.B错，与坐标轴垂直的直线不可用.C错，y轴不可用.6.方程y＝ax＋1aa>0表示的直线可能是（　　）答案：A解析：当a＞0时，直线y＝ax＋1a的斜率a＞0，该直线在y轴上的截距1a＞0，则直线y＝ax＋1a过一、二、三象限.7.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）A.[－2，2]B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）C.[－2，0）∪（0，2]D.（－∞，＋∞）答案：C解析：令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为12b2｜－b｜＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2].8.直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0k∈R，则该直线过定点　　　　.答案：－2，1解析：kx－y＋2k＋1＝0可化为k（x＋2）－y＋1＝0，令x+2=0，－y+1=0，得x＝－2，y=1，即直线过定点－2，1.9.直线l的倾斜角是直线3x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点（3，－1），则直线l的方程为　　　　.答案：3x＋y－2＝0解析：直线3x－y－1＝0可化为y＝3x－1，其斜率为3，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan 120°＝－3，∴直线l的方程为y＋1＝－3（x－3），即3x＋y－2＝0.10.过点1，14，且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为　　　　.答案：x＋4y－2＝0解析：因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，所以可设直线方程为xa＋ay＝1（a≠0）.又直线过点1，14，所以1a＋14a＝1，解得a＝2，所以所求直线方程为12x＋2y＝1，即x＋4y－2＝0.11.在△ABC中，点A（2，1），B（1，3），C（5，5）.若D为BC的中点，则直线AD所在直线方程为　　　　.答案：y＝3x－5解析：因为D为BC的中点，所以D（3，4），直线AD的斜率k＝1－42－3＝3，所以直线AD所在的直线方程为y－4＝3（x－3），即直线AD方程为y＝3x－5.[B组　能力提升练]12.直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是（　　）A.33　　　 B.3C.－3　　D.－33答案：A解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.13.（2024·贵州遵义模拟）若直线l：a－2x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为（　　）A.（－∞，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，0）∪[2，＋∞）C.（－∞，0）∪32，＋∞D.（－∞，0）∪32，＋∞答案：C解析：若a＝0，则l的方程为x＝－32，不经过第四象限.若a＝2，则l的方程为y＝－12，经过第四象限.若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－a－2ax－2a－3a.因为l经过第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－2a－3a<0，解得a＜0或32＜a＜2或a＞2.综上知，a的取值范围为（－∞，0）∪32，＋∞.14.已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy（　　）A.无最小值，且无最大值B.无最小值，但有最大值C.有最小值，但无最大值D.有最小值，且有最大值答案：D解析：线段AB的方程为x3＋y4＝1（0≤x≤3），则y＝4·1－x3（0≤x≤3），所以xy＝4x1－x3＝－43·x－322＋3，显然当x＝32时，xy取最大值3；当x＝0或3时，xy取最小值0.15.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜PiPi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚P1A1满足｜OP1｜＝66 m，｜OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（　　）A.±0.47　　B.±0.45C.±0.42　　D.±0.40答案：C解析：根据题意，｜OA10｜＝｜OA1｜＋｜A1A10｜＝86＋9×16＝230，即点A10（230，0），同理B10（－230，0），又｜OP10｜＝｜OP1｜＋｜P1P10｜＝66＋9×3.4＝96.6，即点P10（0，96.6），所以kA10P10＝96.6－00－230＝－0.42，kB10P10＝96.6－00+230＝0.42.16.（多选）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是（　　）A.4　　　　B.－4C.3　　　　D.－3答案：CD解析：设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d3，－d4，所以6＝12×－d3×－d4＝d224，所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.17.（多选）已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（　　）A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案：BD解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝121－sinα·1－cosα＝1｜sin2α｜≥1，所以D正确.18.过点P（－1，0）且与直线l1：3x－y＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是　　　　.答案：x＋1＝0或x－3y＋1＝0解析：直线l1的倾斜角β∈[0，π）且tan β＝3，则β＝π3.因为所求直线与直线l1的夹角为π6，所以所求直线的倾斜角为π6或π2，当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y＝33（x＋1），故直线为x－3y＋1＝0.综上，所求直线为x＋1＝0或x－3y＋1＝0.19.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2＋y2＝1，过P－2,-2作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设Ax1，y1，Bx2，y2，由PA·OA＝0，化简可得x12＋y12＋2x1＋2y1＝0，又因为x12＋y12＝1，所以2x1＋2y1＋1＝0，同理可得2x2＋2y2＋1＝0，…则直线AB的方程为　　　　.答案：2x＋2y＋1＝0解析：由于2x1＋2y1＋1＝0，2x2＋2y2＋1＝0，故Ax1，y1，Bx2，y2均满足方程2x＋2y＋1＝0，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为2x＋2y＋1＝0.20.已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则｜PQ｜的最小值为　　　　.答案：1解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝a＋c2，代入动直线l：ax＋by＋c＝0，得ax＋a＋c2y＋c＝0，即a（2x＋y）＋c（y＋2）＝0.∵a，c不全为零，∴2x＋y=0，y+2=0，解得x＝1，y＝－2，∴动直线l过定点N（1，－2）.设点P（x，y），∵当点P与点N不重合时，AP⊥NP，∴AP·NP＝（x－1，y－2）·（x－1，y＋2）＝0，整理，得x2＋y2－2x－3＝0，即（x－1）2＋y2＝4，∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d＝｜3+12｜32＋42＝3＞2，∴｜PQ｜的最小值等于圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d减去圆的半径2，∴｜PQ｜的最小值为3－2＝1.第二节　两条直线的位置关系与距离公式[学习要求]　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.[知识梳理]知识点一　两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔　k1＝k2　，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2　平行　.（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔　k1·k2＝－1　，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线　垂直　.2.两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0的解一一对应.相交⇔方程组有　唯一解　，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组　无解　；重合⇔方程组有　无数个解　.知识点二　距离公式1.两点间的距离公式平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为｜P1P2｜＝　（x2－x1）2＋（y2－y1）2　.特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离｜OP｜＝x2＋y2.2.点到直线的距离公式平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝｜Ax0＋By0＋C｜A2＋B2（A2＋B2≠0）.3.两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝｜C1－C2｜A2＋B2（A2＋B2≠0）.[小题诊断]1.经过两点A（－2，5），B（1，－4）的直线l与x轴的交点的坐标是（　　）A.－13，0　　　　　　B.（－3，0）C.13，0　　　　　　　D.（3，0）答案：A解析：过点A（－2，5）和B（1，－4）的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为－13，0.2.点A（2，5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为（　　）A.25　　　　　　　　 B.55C.5　　　　　　　　　D.255答案：C解析：点A（2，5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为｜2－10+3｜1+4＝5.3.直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝（　　）A.2　　　　　　　　　B.－3C.2或－3　　　　　　 D.3答案：C4.已知点A（3，2）和B（－1，4）到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为　　　　.答案：12或－4解析：由点到直线的距离公式可得｜3a+2+1｜a2+1＝|-a+4+1｜a2+1，解得a＝12或a＝－4.考点一　两直线的位置关系◉角度（一）　判断两直线的位置关系[例1]　（2024·天津模拟）“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[答案]　A[解析]　设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0.若l1与l2平行，则a（a＋1）－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，故a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行.故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充要条件.◉角度（二）　由两直线的位置关系求参数[例2]　已知两直线l1：（m－1）x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝　　　　；若l1∥l2，则m＝　　　　.[答案]　3或－2　17[解析]　因为l1：（m－1）x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m（m－1）－6＝0，解得m＝3或m＝－2.若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝17，经检验符合题意.❙方法总结❙两直线位置关系的三种判断方法1.“m＝3”是“直线l1：2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：由l1⊥l2得，2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，解得m＝3或m＝－2，即m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.2.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则实数m的值为（　　）A.1　　　　　B.－2C.1或－2　　 D.－32答案：A解析：由题意可知2－m（1＋m）＝0，解得m＝－2或m＝1.经检验，当m＝－2时，两直线重合，不符合题意，舍去；当m＝1时，符合题意.故m的值为1.3.若直线（2m－1）x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为（　　）A.1　　　　　　　　B.0C.2　　　　　　　　D.－1或0答案：D解析：由题意可知m（2m－1）＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1.考点二　两直线的交点问题[例3]　（2024·海南海口模拟）若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝（　　）A.4　　　　　　　　B.2C.12　　　　　　　　D.14[答案]　A[解析]　解方程组y＝－2x+4，y＝x+2，得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点23，83，依题意，83＝23k，解得k＝4，所以实数k＝4.❙方法总结❙　　在解决与两直线的交点坐标有关的题目时，先求出两直线的交点，再结合其他条件求解.4.已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－23，则直线l的方程是（　　）A.3x－2y－1＝0　　B.3x－2y＋1＝0C.2x＋3y－5＝0　　D.2x－3y＋1＝0答案：C解析：解方程组x＋y=2，2x－y=1，得x=1，y＝1.所以两直线的交点为1，1.因为直线l的斜率为－23，所以直线l的方程为y－1＝－23x－1，即2x＋3y－5＝0.考点三　距离问题[例4]　（1）已知三角形的三个顶点A2，4，B3,-6，C5，2，则BC边上中线的长为（　　）A.210　　　　　 B.10C.112　　　　　 D.310（2）点P（3，1）到直线l：3x＋4y＋2＝0的距离为（　　）A.2　　　　　　　 B.3C.32　　　　　　　 D.4（3）（2024·福建厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是　　　　.[答案]　（1）A　（2）B　（3）2或－6[解析]　（1）设BC的中点为Dx，y，由中点坐标公式得x＝3+52=4，y＝－6+22＝－2，所以D4,-2，所以AD＝4－22＋－2－42＝40＝210.（2）由点到直线的距离公式可得d＝9+4+29+16＝3.（3）依题意，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，则直线方程6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0.又两平行线之间的距离为21313，所以c2+132＋(-2）2＝21313，解得c＝2或c＝－6.❙方法总结❙距离问题的常见题型及解题策略1.求两点间的距离.关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.5.过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与y＝x＋m平行，则AB的值为（　　）A.6　　　　　　　　B.2C.2　　　　　　　 D.不能确定答案：C解析：由题意知kAB＝1，即b－a1＝1，则b－a＝1.故｜AB｜＝（5－4）2＋（b－a）2＝1+1＝2.6.（2024·广东广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为　　　　.答案：[0，10]解析：点P到直线的距离为｜4×4－3a－1｜16+9＝｜15－3a｜5.由｜15－3a｜5≤3，即｜15－3a｜≤15，得0≤a≤10，所以a的取值范围为[0，10].直线系方程[例1]　过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　.[答案]　x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0[解析]　设所求直线方程为x＋2y＋1＋λ（2x－y＋1）＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x－3y＝0；当直线不过原点时，令x＝0，得y＝λ+1λ－2，令y＝0，得x＝－λ+12λ+1.由题意得λ+1λ－2＝－λ+12λ+1，解得λ＝13或λ＝－1（舍），此时所求直线方程为5x＋5y＋4＝0.综上所述，所求直线方程为x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0.[例2]　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为　　　　.[答案]　4x－3y＋9＝0[解析]　法一：由2x+3y＋1=0，x－3y+4=0，解得x＝－53，y＝79，故交点的坐标为－53，79.因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为43，所以所求直线的方程为y－79＝43x＋53，即4x－3y＋9＝0.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.由2x+3y+1=0，x－3y+4=0，可解得交点的坐标为－53，79.将点－53，79的坐标代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.❙方法总结❙1.过直线交点的直线系过直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与直线l2：A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（λ为参数),其中不包括直线l2.2.平行直线系与Ax＋By＋C=0平行的直线设为Ax＋By＋n=0.3.垂直直线系与Ax＋By＋C=0垂直的直线设为Bx－Ay＋m=0.1.求经过A（2，4），且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程　　　　.答案：x－2y＋6＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，∵直线过定点（2，4），∴2－2×4＋m＝0，∴m＝6，∴直线l的方程为x－2y＋6＝0.2.过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是　　　　.答案：2x＋y－10＝0解析：由3x－y+5=0，2x－y+6=0，解得x=1，y=8，直线x－2y＋1＝0的斜率为12，故过点（1，8）且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2（x－1），即2x＋y－10＝0.[A组　基础保分练]1.已知M（2，1），N（－1，5），则MN＝（　　）A.13　　　　　　　B.4C.5　　　　　　　　 D.37答案：C解析：M（2，1），N（－1，5），所以MN＝（2+1）2＋（1－5）2＝5.2.已知直线l1：mx＋3y－3＝0，l2：（3m－2）x＋my＋1＝0.则“m＝－13”是“l1⊥l2”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A解析：当m＝－13时，直线l1的斜率为19，l2的斜率为－9，又19×（－9）＝－1，所以l1⊥l2，充分性成立；直线l1：mx＋3y－3＝0，l2：（3m－2）x＋my＋1＝0，若l1⊥l2，则有m（3m－2）＋3m＝0，解得m＝0或m＝－13，必要性不成立.所以“m＝－13”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.3.过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　）A.x－2y＋4＝0　　　 B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0　　　 D.x－2y＋5＝0答案：A解析：由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A（2，3）代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.4.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是（　　）A.4　　　　　　　　 B.21313C.51326　　　　　　　D.71326答案：D解析：因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d＝12－－332＋22＝7213＝71326.5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A5,-1，B1，1，C2，3，则其形状为（　　）A.直角三角形　　　　B.锐角三角形C.钝角三角形　　　　D.无法判断答案：A解析：由题意得kAB＝1+11－5＝－12；kBC＝3－12－1＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC为直角三角形.6.若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为5，则a的值为（　　）A.4　　　　　　　 B.5－6C.4或－16　　　　D.8或－16答案：C解析：将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝｜a-(-6)|16+4＝｜a+6｜25，根据题意可得｜a+6｜25＝5，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16，所以a的值为a＝4或a＝－16.7.过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为（　　）A.19x－9y＝0　　　　B.9x＋19y＝0C.19x－3y＝0　　　　D.3x＋19y＝0答案：D解析：法一：解方程组x－3y+4=0，2x＋y+5=0，可得直线l1和l2的交点坐标为－197，37.又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y＝－319x，即3x＋19y＝0.法二：根据题意可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x－3y＋4－45（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0.8.（多选）已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（　　）A.1　　　　　　　　 B.13C.－2　　　　　　　 D.－1答案：BCD解析：因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－12，所以直线l1，l2一定相交，交点坐标是方程组3x－y=1，x+2y=5的解，解得交点坐标为（1，2）.当a＝0时，直线l3与横轴垂直，方程为x＝3不经过点（1，2），所以三条直线能构成三角形；当a≠0时，直线l3的斜率为1a.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即1a＝3⇒a＝13，此时这两直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即1a＝－12⇒a＝－2，此时这两直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l3过直线l1，l2交点（1，2）时，三条直线不能构成三角形，即有1－2a－3＝0⇒a＝－1.9.直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为　　　　.答案：（－1，3）解析：解方程组2x＋y－1=0，x－2y+7=0，得x＝－1，y=3，所以两条直线交点的坐标为（－1，3）.10.直线（m－1）x－（m＋3）y－（m－11）＝0（m为常数）恒过定点的坐标为　　　　.答案：72，52解析：由题意得mx－x－my－3y－m＋11＝0，即m（x－y－1）－（x＋3y－11）＝0，由x－y－1=0，x+3y－11=0，得x＝72，y＝52，即直线恒过定点72，52.11.一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于5的直线方程为　　　　.答案：x－2y＋9＝0（答案不唯一）解析：设该直线方程为x－2y＋b＝0，由距离公式可知｜3－b｜5＞5，解得b＜－2或b＞8，则该直线可为x－2y＋9＝0（答案不唯一）.12.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为π4，则a＝　　　　；若l1⊥l2，则a＝　　　　；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为　　　　.答案：－1　1　22解析：若直线l1的倾斜角为π4，则－a＝k＝tanπ4＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×（－1）＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝｜1-(-3)|2＝22.[B组　能力提升练]13.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　）A.1　　　　　　　 B.2C.3　　　　 　　 D.2答案：B解析：设点A（0，－1），直线l：y＝k（x＋1），由l过定点B（－1，0），知当AB⊥l时，距离最大，最大值为2.学生用书⬇第392页14.已知点A（1，3），B（5，－2），在x轴上有一点P.若｜AP｜－｜BP｜最大，则点P的坐标为（　　）A.（3，0）　　　　B.（13，0）C.（5，0）　　　　D.（－13，0）答案：B解析：作出点A关于x轴的对称点A'（1，－3），则A'B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为（13，0）.15.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为（1，p），则m－n＋p的值为（　　）A.－4　　　　　　　B.0C.16　　 　　　　　D.20答案：D解析：由两条直线互相垂直，得－m4×25＝－1，m＝10.又垂足坐标为（1，p），代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2.将（1，－2）代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12.故m－n＋p＝20.16.（多选）已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（　　）A.存在k，使得l2的倾斜角为90°B.对任意的k，l1与l2都有公共点C.对任意的k，l1与l2都不重合D.对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD解析：对于动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组x－y－1=0，（k+1）x＋ky＋k=0，可得（2k＋1）x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；当k＝－12时，k+11＝k－1成立，此时l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为k+1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确.17.（多选）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的有向距离为d＝Ax0＋By0＋CA2＋B2.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中正确的是（　　）A.若d1＝d2，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＝－d2，则直线P1P2与直线l垂直C.若d1·d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交D.若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交答案：CD解析：若d1＝d2＝0，则P1∈l，P2∈l，故A不正确；若d1＝－d2，则P1与P2在直线l两旁，故P1P2与l相交，不一定垂直，故B不正确；若d1·d2＞0，则P1与P2在l同旁，则P1P2∥l或P1P2与l相交，故C正确；若d1·d2＜0，则P1与P2在l两旁，则P1P2与l相交，故D正确.18.已知在△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（－4，6），则△ABC的面积为　　　　.答案：10解析：由两点式得直线BC的方程为y－26－2＝x－4－4－4，即为x＋2y－8＝0，由点A到直线BC的距离公式得BC边上的高d＝｜1+2－8｜5＝5，B，C两点之间的距离为（6－2）2＋(-4－4）2＝45，∴△ABC的面积为12×45×5＝10.19.（2024·广东汕头模拟）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A（－4，0），B（0，4），C（2，0），则△ABC欧拉线的方程为　　　　.答案：x－y＋2＝0解析：因为△ABC的顶点为A（－4，0），B（0，4），C（2，0），则△ABC的重心G－23，43，显然△ABC的外心M在线段AC的垂直平分线x＝－1上，设M（－1，a），由｜MA｜＝｜MB｜得 9+a2＝1+（a－4）2，解得a＝1，即点M（－1，1），直线MG：y－1＝43－1－23+1（x＋1），化简整理得x－y＋2＝0，所以△ABC欧拉线的方程为x－y＋2＝0.20.已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k的值.解：由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，4），直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝12×2k2×4＋（4－k＋4）×2×12＝4k2－k＋8，故四边形面积最小时，k＝18.提升课9　对称问题考点一　点关于点对称[例1]　点（1，2）关于点（5，－3）的对称点为（　　）A.（6，－1）　　　　B.（－6，1）C.（9，－8）　　　　D.（－9，8）[答案]　C[解析]　设所求对称点为A（x，y），则x=2×5－1，y=2×(-3)-2，解得x=9，y＝－8，∴A（9，－8）.❙方法总结❙点关于点对称问题的求解方法　　点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P'(x',y')满足x'=2a－x，y'=2b－y.1.点A（－2，－3）关于点B（1，0）的对称点A'的坐标为（　　）A.（4，3）　　　B.（－4，3）C.（3，－3）　　D.12，32答案：A解析：设对称点A'的坐标为（x，y）则x=2+2，y=0+3，解得x=4，y=3.∴A'（4，3）.考点二　点关于直线对称[例2]　（2024·湖南长沙模拟）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　　　　.[答案]　6x－y－6＝0[解析]　设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以b－4a-(-3）·1=－1，－3+a2－b+42+3=0，解得a=1，b=0.又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.❙方法总结❙点关于直线对称问题的求解方法　　解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.2.一条光线从点P（－1，5）射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点（2，3），则反射光线所在直线的方程为（　　）A.2x－y－1＝0　　B.3x－y－3＝0C.x－2＝0　　　　D.4x－y－5＝0答案：C解析：设点P（－1，5）关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P'（a，b），则b－5a+1×13＝－1，a－12－3×b＋52+1=0，化简得b＝－3a+2，a－3b－14=0，解得a=2，b＝－4，故反射光线过点P'（2，－4）与点（2，3），则反射光线所在直线的方程为x－2＝0.考点三　直线关于直线对称[例3]　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是（　　）A.x－2y＋3＝0　　 B.x－2y－3＝0C.x＋2y＋1＝0　　 D.x＋2y－1＝0[答案]　A[解析]　设所求直线上任意一点P（x，y），点P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P'（x0，y0），由x＋x02－y＋y02+2=0，x－x0＝-(y－y0),得x0＝y－2，y0＝x+2.因为点P'（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，所以2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故所求直线方程为x－2y＋3＝0.❙方法总结❙直线关于直线的对称问题的求解方法1.若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用点斜式求解.2.若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解.3.两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为（　　）A.3x－2y－4＝0　　B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0　　D.3x－2y－6＝0答案：C解析：设所求直线上任一点M（x，y），M关于直线x－y－2＝0的对称点为M'（x1，y1），则y－y1x－x1＝－1，x＋x12－y＋y12－2=0，解得x1＝y+2，y1＝x－2.（*）∵点M'在直线3x－2y－6＝0上，∴将（*）式代入，得3（y＋2）－2（x－2）－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程.考点四　对称性的应用 [例4]　如图，已知A（4，0），B（0，4），O（0，0），若光线l从点P（2，0）射出，经直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回点P，则光线l所在的直线方程为　　　　.[答案]　y＝3x－6[解析]　由题意知直线AB的方程为y＝－x＋4，设光线分别射在AB，OB上的M，N处，作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，易得点P关于y轴的对称点P1（－2，0）.∵OA＝OB＝4，∴∠P2AB＝∠PAB＝45°，∴P2A⊥OA，∴P2的横坐标为4，由对称性可知P2A＝PA＝2，可得P2的纵坐标为2，∴P2（4，2），∴直线P1P2的方程为y2＝x+24+2，即x－3y＋2＝0，联立x－3y+2=0，x＋y－4=0，得x＝52，y＝32，则M52，32，∴直线PM：y32＝x－252－2，即光线l所在的直线方程为y＝3x－6.❙方法总结❙1.点关于点的对称点：利用中点坐标公式易得.2.点关于线的对称点：点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数（仅指斜率存在的情况).3.线关于线的对称线：一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称.4.已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x，则直线BC的方程为　　　　.答案：2x－3y－1＝0解析：由题意可知，点B在y＝x上，可设点B的坐标是（m，m），则AB的中点m+12，m+22在直线CM上，∴m+12＋2×m+22－1＝0，解得m＝－1，故点B（－1，－1）.设A关于直线y＝x的对称点为A'（x0，y0），则有y0－2x0－1＝－1，y0+22＝x0+12，解得x0=2，y0=1，即A'（2，1），则由A'在直线BC上，可得BC的方程为y+11+1＝x＋12+1，即3（y＋1）＝2（x＋1），即2x－3y－1＝0.1.如果平面直角坐标系内的两点A（a－1，a＋1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（　　）A.x－y＋1＝0　　　　　B.x＋y＋1＝0C.x－y－1＝0　　　　　D.x＋y－1＝0答案：A解析：因为直线AB的斜率为a+1－aa－1－a＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点2a－12，2a+12，所以2a+12＝2a－12＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.2.（2024·黑龙江牡丹江模拟）直线y＝33x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是（　　）A.3x＋y－2＝0　　　　B.3x＋y＋2＝0C.x＋3y－2＝0　　　　D.x＋3y＋2＝0答案：C解析：直线y＝33x与直线x＝1交于点A1，33，所以直线l的斜率为－33且过点A1，33，所以直线l的方程为y－33＝－33（x－1），即x＋3y－2＝0.3.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4），若直线l上存在点P使得｜PA｜＋｜PB｜最小，则点P的坐标为（　　）A.（－2，－3）　　　　B.（－2，3）C.（2，3）　　　　　　D.（－2，2）答案：B解析：根据题意画出大致图象，如图.设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1（m，n）.则有n－0m－2·12＝－1，m+22－2·n+02+8=0，解得m＝－2，n=8.故A1（－2，8）.此时直线A1B的方程为x＝－2，所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，｜PA｜＋｜PB｜最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为（－2，3）.4.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B（－2，0），若将军从山脚下的点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）A.4　　　　B.5　　　　C.26　　　　D.32答案：C解析：根据题意建系如图.因为点A（2，0），设其关于直线x＋y＝3的对称点为A1（x0，y0），则－1×y0x0－2＝－1，x0+22＋y02=3，解得x0＝3，y0＝1，即A1（3，1），故“将军饮马”的最短总路程为｜A1B｜＝（3+2）2＋（1－0）2＝26.5.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图所示）.若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为（　　）A.2　　　　B.1　　　　　C.83　　　　　D.43答案：D解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B（4，0），C（0，4），A（0，0），则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P（t，0）（0＜t＜4），可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为（4，4－t），点P关于y轴的对称点P2的坐标为（－t，0），根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝4－t4+t·（x＋t）.设△ABC的重心为G，易知G43，43.因为重心G43，43在光线RQ上，所以43＝4－t4+t·43＋t，得t＝43（t＝0舍去），即｜AP｜＝43.6.（多选）已知两点A（－4，8），B（2，4），点C在直线y＝x＋1上，则｜AC｜＋｜BC｜的值可能为（　　）A.213　　B.9　　　　　C.74　　　　D.10答案：BCD解析：依题意，设B（2，4）关于直线y＝x＋1对称的点为B'（m，n），∴n－4m－2＝－1，n+42＝m+22+1，解得m=3，n=3，∴B'（3，3），连接AB'交直线y＝x＋1于点C'，连接BC'，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B'C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB'，则有｜AC｜＋｜BC｜＝｜AC｜＋｜B'C｜≥｜AB'｜＝｜AC'｜＋｜B'C'｜＝｜AC'｜＋｜BC'｜，当且仅当点C与C'重合时取等号，∴（｜AC｜＋｜BC｜）min＝｜AB'｜＝(-4－3）2＋（8－3）2＝74，故｜AC｜＋｜BC｜≥74.7.（多选）（2024·湖北武汉模拟）台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值可能为（　　）A.16　　　　B.12　　　　C.1　　　　D.32答案：AD解析：如图1，A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，由题可得tan α＝EGGF＝3AD2AD＝32.如图2，A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，连接EF，EG，由题可得tan α＝EFGF＝AD6AD＝16.8.已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对称，则b＋c＝　　　　.答案：－10解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），则点M，N关于点P（1，0）的对称点分别为M1（3，0），N1（2，2）.因为点M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，所以12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，所以b＋c＝－10.9.已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P（0，1＋3）以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为　　　　.答案：x＋3y－（1＋3）＝0解析：如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P'，由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3，又入射光线过点P（0，1＋3），所以入射光线所在的直线方程为y－（1＋3）＝－3x，即3x＋y－（1＋3）＝0.解方程组3x＋y-(1+3）=0，x＋y－2=0，得x=1，y=1，所以点Q的坐标为（1，1）.过点Q作垂直于l的直线l'，显然l'的方程为y＝x.由反射原理知，点P（0，1＋3）关于l'的对称点P'（3＋1，0）必在反射光线所在的直线上.所以反射光线所在直线P'Q的方程为y－01－0＝x-(3+1）1-(3+1），即x＋3y－（1＋3）＝0.10.（2024·山东临沂模拟）已知光线从点A（6，1）射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D（4，4），则CD所在直线的方程为　　　　.答案：x－2y＋4＝0解析：如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A（6，1）关于x轴的对称点A'（6，－1），且一定过点D（4，4）关于y轴的对称点D'（－4，4），所以BC所在直线的方程为y－4＝4+1－4－6（x＋4），即x＋2y－4＝0.令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为（0，2），所以CD所在直线的方程为y＝4－24－0x＋2，即x－2y＋4＝0.11.已知三角形的一个顶点A（4，－1），它的两条角平分线所在的直线分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为　　　　.答案：2x－y＋3＝0解析：易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上.设点A关于l1的对称点为A1（x1，y1），点A关于l2的对称点为A2（x2，y2），则4+x12－y1－12－1=0，y1+1x1－4·1=－1，解得x1=0，y1=3，所以A1（0，3），又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为（－2，－1），所以BC边所在直线的方程为y－3－1－3＝x－2，即2x－y＋3＝0.12.如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程.解：当k＝0时，折叠后A与D重合，折痕所在直线方程为y＝12；当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上.设点G的坐标为（t，1），则1t＝－1k，t＝－k，G（－k，1），M－k2，12，直线EF的方程为y＝kx＋k2＋12＝kx＋k22＋12，经检验，k＝0时也满足该方程，综上所述，直线EF的方程为y＝kx＋k22＋12.第三节　圆的方程[学习要求]　理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.[知识梳理]知识点一　圆的定义和圆的方程知识点二　点与圆的位置关系　平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：（1）d＞r ⇔M在圆外，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2⇔M在　圆外　；（2）d＝r ⇔M在圆上，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔M在　圆上　；（3）d＜r ⇔M在圆内，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2⇔M在　圆内　.[小题诊断]1.圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（　　）A.（x＋1）2＋（y－2）2＝9B.（x－1）2＋（y＋2）2＝3C.（x＋1）2＋（y－2）2＝3D.（x－1）2＋（y＋2）2＝9答案：D解析：因为圆心为（1，－2），半径为3，所以圆的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）A.（x－1）2＋（y－1）2＝1B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2D.（x－1）2＋（y－1）2＝2答案：D解析：因为圆心为（1，1）且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.3.（多选）下列各点中，在圆（x－1）2＋（y＋2）2＝25的内部的是（　　）A.（0，2）　　　B.（3，3）C.（－2，2）　　D.（4，1）答案：AD解析：由（0－1）2＋（2＋2）2＜25知（0，2）在圆内；由（3－1）2＋（3＋2）2＞25知（3，3）在圆外；由（－2－1）2＋（2＋2）2＝25知（－2，2）在圆上；由（4－1）2＋（1＋2）2＜25知（4，1）在圆内.4.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是　　　　.答案：（－∞，－22）∪（22，＋∞）考点一　求圆的方程[例1]　（2022·全国甲卷）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　　　　.[答案]　（x－1）2＋（y＋1）2＝5[解析]　法一：设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则2a＋b－1=0，（3－a）2＋（0－b）2＝r2，（0－a）2＋（1－b）2＝r2，解得a=1，b＝－1，r＝5，所以☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.法二：易得过（3，0）和（0，1）的直线方程为x3＋y＝1，即x＋3y－3＝0.以（3，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线的方程为3x－y－4＝0，联立2x＋y－1=0，3x－y－4=0，解得x=1，y＝－1，所以圆心为（1，－1），则所求圆的半径r＝（1－3）2＋(-1－0）2＝5，所以☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.❙方法总结❙求圆的方程的两种方法1.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法:(1）若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.1.已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，－2）两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程.解：设圆心C的坐标为（a，b）.因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0. ①因为A，B是圆上两点，所以｜CA｜＝｜CB｜.根据两点间距离公式，有（a－1）2＋（b－1）2＝（a－2）2＋（b+2）2，即a－3b－3＝0. ②由①②可得a＝－3，b＝－2，所以圆心C的坐标是（－3，－2）.圆的半径r＝｜AC｜＝（1+3）2＋（1+2）2＝5，所以，所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y＋2）2＝25.考点二　与圆有关的轨迹问题[例2]　（2024·河北衡水模拟）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）.求：（1）直角顶点C的轨迹方程；（2）直角边BC的中点M的轨迹方程.[解]　（1）法一：设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.又kAC＝yx+1，kBC＝yx－3，所以yx+1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）.法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知｜CD｜＝12｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点），所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）.（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0+32，y＝y0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x－4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1.因此中点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）.2.（2024·湖南长沙模拟）已知圆A：x2＋（y－3）2＝1，过动点P作圆A的切线PB（B为切点），使得PB＝3，则动点P的轨迹方程为　　　　.答案：x2＋（y－3）2＝4解析：设Px，y，由PB＝3得｜PB｜2＝3，则x2＋（y－3）2－1＝3，即x2＋（y－3）2＝4.考点三　与圆有关的最值、范围问题◉角度（一）　动点在定圆上[例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：（1）yx的最大值和最小值；（2）y－2x的取值范围；（3）y－x的最小值；（4）x2＋y2的最大值和最小值.[解]　（1）如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点（2，0）为圆心，3为半径的圆.设yx＝k，即y＝kx，则圆心（2，0）到直线y＝kx的距离为半径时，直线与圆相切，斜率取得最大值或最小值.由｜2k－0｜k2+1＝3，解得k2＝3，∴yxmax＝3，yxmin＝－3.（2）设y－2x＝t，即tx－y＋2＝0，∴｜2t+2｜1+t2≤3，∴t2＋8t＋1≤0，解得－4－15≤t≤－4＋15，∴y－2x的取值范围为[－4－15，－4＋15 ].（3）设y－x＝b，即y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，则由点到直线的距离公式，得｜2－0+b｜2＝3，则b＝－2±6.又∵b＜0，∴b＝－2－6.故（y－x）min＝－2－6.（4）x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，设圆与x轴交于点B，B'，B在B'的左侧，则（x2＋y2）max＝｜OB'｜2＝（2＋3）2＝7＋43，（x2＋y2）min＝｜OB｜2＝（2－3）2＝7－43.❙方法总结❙　　借助几何性质求与圆有关的最值问题，常根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.1.形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.2.形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.3.形如m＝（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.◉角度（二）　动点在定直线上[例4]　已知点A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上运动，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上运动，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　　　　.[答案]　25[解析]　依题意，圆心C（2，1），半径r＝5.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），则m+02＋n+22+2=0，n－2m－0=1，解得m＝－4，n＝－2，故A'（－4，－2）.连接A'C交直线x＋y＋2＝0于点P，交圆C于点Q（图略），此时｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值.由对称性可知此时｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA'｜＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝25.❙方法总结❙　　形如｜PA｜＋｜PQ｜形式的与圆有关的折线段问题（其中P，Q均为动点),要立足两点：1.减少动点的个数.2.“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.3.设P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上的任意一点，则（x－5）2＋（y＋4）2的最大值是（　　）A.6　　　　　B.25C.26　　　　 D.36答案：D解析：（x－5）2＋（y＋4）2表示点P（x，y）到（5，－4）的距离的平方，∵P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上的任意一点，∴（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为圆心（2，0）到（5，－4）的距离与半径之和的平方，即[（x－5）2＋（y＋4）2]max＝[（2－5）2＋（0+4）2＋1]2＝36.4.已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为（　　）A.52－4　　 B.17－1C.6－22　　 D.17答案：A解析：因为P是x轴上的动点，所以｜PM｜的最小值为｜PC1｜－1，同理，｜PN｜的最小值为｜PC2｜－3，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为｜PC1｜＋｜PC2｜－4.作点C1关于x轴的对称点C'1（图略），则C'1（2，－3），所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC'1｜＋｜PC2｜≥｜C'1C2｜＝52，则｜PC1｜＋｜PC2｜－4≥52－4，所以｜PM｜＋｜PN｜的最小值为52－4.5.若点P（x，y）在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则yx+1的最大值为　　　　.答案：43解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心为（1，1），半径为1，yx+1表示圆上的点（x，y）与点（－1，0）连线的斜率.设过点（－1，0）的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k（x＋1），即kx－y＋k＝0.由圆心到切线的距离等于半径，可得｜k－1+k｜k2+1＝1，解得k＝0或k＝43，所以0≤yx+1≤43，即yx+1的最大值为43.[A组　基础保分练]1.（2024·北京模拟）若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋y＋a2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）A.－1　　　　　 B.1C.12　　　　　　 D.－12答案：A解析：圆x2＋y＋a2＝1的圆心为0,-a，因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心0,-a在直线2x＋y－1＝0上，所以2×0＋－a－1＝0，解得a＝－1.2.若△AOB的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（0，－4），O（0，0），则△AOB外接圆的圆心坐标为（　　）A.（1，－1）　　B.（－1，－2）C.（1，－2）　　D.（－2，1）答案：C解析：由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点.设圆心坐标为（x，y），由中点坐标公式得x＝2+02＝1，y＝0－42＝－2，故所求圆心坐标为（1，－2）.3.（2024·福建宁德模拟）已知点M（3，1）在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为（　　）A.－6＜k＜12　　　　B.k＜－6或k＞12C.k＞－6　　　　　 D.k＜12答案：A解析：∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝1－2k，∴圆心坐标为（1，－2），半径r＝1－2k.若点M（3，1）在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足（3－1）2＋（1+2）2＞1－2k，且1－2k＞0，即13＞1－2k且k＜12，即－6＜k＜12.4.圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（　　）A.x2＋y2＋10y＝0　　　B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0　　　D.x2＋y2－10x＝0答案：B解析：根据题意，设圆心坐标为（0，r），半径为r，则32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5.自圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（　　）A.8x－6y－21＝0　　　B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0　　　D.6x－8y－21＝0答案：D解析：由题意得，圆心C的坐标为（3，－4），半径r＝2，如图所示.设P（x0，y0），由题意可知｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x02＋y02＋4＝（x0－3）2＋（y0＋4）2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意.6.（多选）若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于yx－1的判断正确的是（　　）A.yx－1的最大值为3　　B.yx－1的最小值为－3C.yx－1的最大值为33　　D.yx－1的最小值为－33答案：CD解析：由x2＋y2＋2x＝0得（x＋1）2＋y2＝1，表示以（－1，0）为圆心、1为半径的圆，yx－1表示圆上的点（x，y）与点（1，0）连线的斜率，易知，yx－1的最大值为33，最小值为－33.7.（2024·云南昆明模拟）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的半径为3，则a＝　　　　.答案：－4解析：将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的方程转化为x+12＋y－22＝5－a，因为圆C的半径为3，所以5－a＝9，即a＝－4.8.已知点A－2，0，B0，2，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是　　　　.（写出一个符合题意的整数值）答案：0或1 （只写一个即可）解析：由题设知AM⊥MB，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为（－1，1），半径为2，所以M的轨迹为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，而（－1，1）到y＝x＋2的距离为d＝02＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离范围[0，2]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.9.已知圆C过点A2，5，B4，3，则圆心C到坐标原点的距离的最小值为　　　　.答案：22解析：依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，线段AB的中点为3，4，故线段AB的中垂线方程为y＝x＋1，故C到坐标原点的距离的最小值为12＝22.10.已知圆C1经过点A（1，3），B（2，4），圆心在直线2x－y－1＝0上.（1）求圆C1的方程；（2）若M，N分别是圆C1和圆C2：（x＋3）2＋（y＋4）2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求｜PM｜＋｜PN｜的最小值，以及此时点P的坐标.解：（1）由题意知AB的中点坐标为32，72，kAB＝4－32－1＝1，∴AB的垂直平分线为y＝5－x，联立y=5－x，y=2x－1，解得x=2，y=3，即圆C1的圆心坐标为（2，3），半径r＝1，其方程为（x－2）2＋（y－3）2＝1.（2）注意到点C1（2，3）和点C2（－3，－4）在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.∴｜PM｜＋｜PN｜≥｜PC1｜－1＋｜PC2｜－3≥｜C1C2｜－4＝74－4，当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，联立x＋y=0，7x－5y+1=0，解得x＝－112，y＝112，∴点P的坐标为－112，112.[B组　能力提升练]11.若直线x＋2y＋1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）A.12　　　　　　　B.－12C.1　　　　　　　D.－1答案：D解析：由题意得，圆心为a，0，因为直线x＋2y＋1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线过圆心，即a＋1＝0，解得a＝－1.12.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是（　　）A.－15＜k＜－1　　B.－15＜k＜1C.－13＜k＜1　　　D.－2＜k＜2答案：B解析：圆x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，由y＝x+2k，y=2x＋k+1，得x＝k－1，y=3k－1，则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为（k－1，3k－1），依题意得（k－1）2＋（3k－1）2＜4，解得－15＜k＜1.13.过点M（2，2）的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是（　　）A.（x－2）2＋（y－2）2＝8B.（x－1）2＋（y－2）2＝8C.（x＋2）2＋（y－2）2＝8D.（x－1）2＋（y＋2）2＝8答案：A解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1（a＞0，b＞0），由直线l过点M（2，2），得2a＋2b＝1.又S△OAB＝12ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M（2，2），半径｜OM｜＝22，所以△OAB外接圆的标准方程是（x－2）2＋（y－2）2＝8.14.（2024·海南海口模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝4（y≥0），则m＝3x＋y的取值范围是（　　）A.（－23，4）　　 B.[－23，4]C.[－4，4]　　　　　D.[－4，23]答案：B解析： x2＋y2＝4（y≥0）表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线3x＋y－m＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为m.当直线3x＋y－m＝0过点（－2，0）时，m＝－23.设圆心（0，0）到直线3x＋y－m＝0的距离为d，则m≥－23，d≤2，即m≥－23，|-m｜2≤2，解得m∈[－23，4].15.（多选）已知圆C过点M（1，－2）且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（　　）A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点（2，－1）在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为42答案：ACD解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M（1，－2），所以设圆心坐标为（a，－a）（a＞0），故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为（1，－1）或（5，－5），所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为（x－1）2＋（y＋1）2＝1，（x－5）2＋（y＋5）2＝25，将点（2，－1）代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为（5－1）2＋(-5+1）2＝42，D正确.16.已知圆C：x2＋（y－1）2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为22，则满足条件的点P的个数为　　　　.答案：3解析：设Px0，y0，由点P到直线y＝x的距离为22，得x0－y02＝22，两边平方整理得到x02＋y02－2x0y0＝1.①因为Px0，y0在圆C上，所以x02＋y0－12＝2，即x02＋y02－2y0＝1.②联立①②得y0x0－1＝0，解得y0＝0或x0＝1.当y0＝0时，由①②可得x02＝1，解得x0＝1或x0＝－1，即P（1，0）或P（－1，0）.当x0＝1时，由①②可得y02－2y0＝0，解得y0＝0或y0＝2，即P（1，0）或P1，2.综上，满足条件的点P的个数为3.17.已知长为2a（a＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为　　　　.答案：x2＋y2＝a2解析：如图，不论端点A，B怎么移动，线段AB的中点P（x，y）与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即｜OP｜＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.18.（2024·福建厦门模拟）已知动点P（x，y）满足x2＋y2－2｜x｜－2｜y｜＝0，O为坐标原点，求x2＋y2的最大值.解：由曲线的方程x2＋y2－2｜x｜－2｜y｜＝0，可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可.作出曲线在第一象限内（含坐标轴）的图象，如图.将曲线方程x2＋y2－2x－2y＝0转化为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点（0，0）的坐标满足方程，所以曲线在第一象限的图象为以C（1，1）为圆心，半径为2的圆的一部分，所以｜OP｜的最大值为圆的直径，即为22.第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系[学习要求]　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.[知识梳理]知识点一　直线与圆的位置关系　设圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C（a，b）到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C=0，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为Δ.学生用书⬇第192页知识点二　圆与圆的位置关系　设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：知识点三　直线被圆截得的弦长1.几何法：弦心距d、半径r和弦长｜AB｜的一半构成直角三角形，弦长｜AB｜＝2 r2－d2.2.代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则｜MN｜＝ 1+k2·（xM＋xN）2－4xMxN.[小题诊断]1.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是（　　）A.相交　　B.相切C.相离　　D.相切或相交答案：A解析：圆心到直线的距离为d＝532＋42＝1＜4，所以直线与圆相交.2.（2024·北京模拟）直线y＝x＋1被圆（x－2）2＋（y－3）2＝1所截得的弦长为（　　）A.1　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.3答案：C解析：由已知得圆心为（2，3），半径r＝1，因为圆心（2，3）在直线x－y＋1＝0上，所以直线y＝x＋1被圆（x－2）2＋（y－3）2＝1所截得的弦长为2.3.在平面直角坐标系中，圆O1：（x－1）2＋y2＝1和圆O2：x2＋（y－2）2＝4的位置关系是（　　）A.外离　　B.相交　　C.外切　　D.内切答案：B解析：由题意知，圆O1：（x－1）2＋y2＝1，可得圆心坐标O1（1，0），半径r1＝1，圆O2：x2＋（y－2）2＝4，可得圆心坐标为O2（0，2），半径r2＝2，则两圆的圆心距｜O1O2｜＝1+4＝5，则2－1＜5＜2＋1，即r2－r1＜｜O1O2｜＜r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交.4.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为（　　）A.1　　　 B.2　　　　C.3　　　 D.4答案：B解析：∵两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，∴圆C1圆心为－1,-1，半径为2，圆C2圆心为2，1，半径为2，∴两圆圆心距为－1－22＋－1－12＝13.∵2－2＜13＜2＋2＝4，∴两圆相交，有2条公切线.考点一　直线与圆的位置关系◉角度（一）　切线问题[例1]　已知点P（2＋1，2－2），点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4.（1）求过点P的圆C的切线方程；（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.[解]　由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.（1）∵（2＋1－1）2＋（2－2－2）2＝4，∴点P在圆C上.又kPC＝2－2－22+1－1＝－1，∴过点P的切线的斜率为－1kPC＝1，∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－2）＝1×[x－（2＋1）]，即x－y＋1－22＝0.（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆C的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d'＝｜k－2+1－3k｜k2+1＝r＝2，解得k＝34，∴切线方程为y－1＝34（x－3），即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，∴过点M的圆C的切线长为｜MC｜2－r2＝5－4＝1.❙方法总结❙1.圆的切线方程的求法（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k.2.与圆的切线有关的结论（1）与圆x2＋y2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2；（2）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a)(x－a）＋（y0－b)(y－b）＝r2；（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.◉角度（二）　弦长问题[例2]　（1）已知直线y＝2x与圆x－22＋y－22＝1交于A，B两点，则AB＝（　　）A.55　　　　 B.255C.355　　　　D.455（2）已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点.若｜AB｜＝6，则r的值为　　　　.[答案]　（1）B　（2）5[解析]　（1）因为圆的方程为x－22＋y－22＝1，所以圆心坐标为（2，2），半径r＝1，则圆心2，2到直线y＝2x的距离d＝2×2－222+1＝255，所以弦长AB＝2r2－d2＝21－45＝255.（2）设圆心（0，0）到直线x－3y＋8＝0的距离为d，则d＝｜8｜12＋(-3）2＝4，所以r2＝｜AB｜22＋d2＝32＋42＝25.又r＞0，所以r＝5.❙方法总结❙1.求直线与圆相交弦长的常用方法（1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长｜AB｜=2r2－d2.（2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为｜AB｜＝1+k2·｜x1－x2|.2.与圆有关的最值问题及解决方法圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.1.由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为　　　　.答案：7解析：设圆心为C（3，0），P为直线y＝x＋1上一动点，过点P向圆引切线，切点设为N，所以｜PN｜min＝（｜PC｜2－1）min＝｜PC｜min2－1.又｜PC｜min＝｜3－0+1｜12＋(-1）2＝22，所以｜PN｜min＝7.2.（2024·天津模拟）直线x＋y－1＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0相交，所得的弦的长为　　　　.答案：22解析：因为圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0可化为x－12＋y+22＝4，则圆心1,-2到直线x＋y－1＝0的距离d＝1－2－11+1＝2，由弦长公式可得弦长为2r2－d2＝24－2＝22.考点二　圆与圆的位置关系◉角度（一）　切线问题[例3]　已知圆C：x－12＋y2＝1与圆E：x2＋y－32＝1，写出圆C和圆E的一条公切线的方程　　　　.[答案]　x－3y＋1＝0或3x＋y－3－2＝0或3x＋y－3＋2＝0[解析]　设圆的公切线为y＝kx＋b，则k＋bk2+1=1，b－3k2+1=1⇒｜k＋b｜＝｜b－3｜，即k＝－3或k＝3－2b，代入求解得k＝－3，b＝3±2或b＝33，k＝33，所以切线方程为y＝－3x＋3＋2，或y＝－3x＋3－2，或x－3y＋1＝0.◉角度（二）　弦长问题[例4]　圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为　　　　，公共弦长为　　　　.[答案]　x－2y＋4＝0　25[解析]　联立两圆的方程得x2＋y2－2x+10y－24=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程.法一：设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组x－2y+4=0，x2＋y2+2x+2y－8=0，解得x＝－4，y=0或x=0，y=2，所以｜AB｜＝(-4－0）2＋（0－2）2＝25，即公共弦长为25.法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1）2＋（y＋5）2＝50，圆C1的圆心坐标为（1，－5），半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝｜1－2×(-5）+4｜1+(-2）2＝35.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝（35）2＋l2，解得l＝5，故公共弦长为25.❙方法总结❙1.两相交圆的公共弦所在直线方程的求法设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2=0　③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.2.两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.3.若圆C：x2＋y2＝5－m与圆E：（x－3）2＋（y－4）2＝16有三条公切线，则m的值为（　　）A.2　　B.3C.4　　D.6答案：C解析：由题意可知两圆外切，圆C的圆心坐标为（0，0），半径为5－m，圆E的圆心坐标为（3，4），半径为4，则32＋42＝5－m＋4，解得m＝4.4.圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成的图形的面积为（　　）A.1　　B.2C.4　　D.8答案：B解析：将两圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程，为4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝－2，所以公共弦所在的直线与两坐标轴的交点分别为（0，2），（－2，0），所以所围成的图形的面积S＝12×2×2＝2.一、圆系方程[例1]　圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为　　　　.[答案]　x2＋y2－x＋7y－32＝0[解析]　由题意可设所求圆的方程为（x2＋y2＋6x－4）＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0，即（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，∴圆心－31+λ,-3λ1+λ在直线x－y－4＝0上，∴－31+λ＋3λ1+λ－4＝0，∴λ＝－7，∴圆的方程为－6x2－6y2＋6x－42y－4＋196＝0，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.❙方法总结❙常用的圆系方程1.圆心为定点（a，b）的同心圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，其中a，b为定值，r是参数.2.半径为定值r的圆系方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，其中a，b为参数，r>0是定值.3.过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线Ax＋By＋C=0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）=0（λ∈R).4.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）=0（λ≠－1),此圆系方程中不含圆C2.1.（多选）已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）交于不同的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，下列结论正确的是（　　）A.a（x1－x2）＋b（y1－y2）＝0B.2ax1＋2by1＝a2＋b2C.x1＋x2＝aD.y1＋y2＝2b答案：ABC解析：圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，则将圆C1与圆C2的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.将A，B两点的坐标代入直线AB的方程可得2ax1+2by1＝a2＋b2，2ax2+2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a（x1－x2）＋2b（y1－y2）＝0，即a（x1－x2）＋b（y1－y2）＝0，所以A，B正确.由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D不正确.二、阿波罗尼斯圆证明阿波罗尼斯圆的性质性质1：点A、点B在圆心C的同侧；当λ＞1时，点B在圆C内，点A在圆C外；当0＜λ＜1时，点A在圆C内，点B在圆C外.性质2：设圆C与x轴交于P1，P2两点，一点在线段AB内，称为内分点，一点在线段AB外，称为外分点，由阿波罗尼斯圆的定义可得：P1AP1B＝P2AP2B.此时，我们称P1，P2调和分割AB，同时A，B也调和分割P1P2.设点P是圆C上不同于点P1，P2的任意一点，连接PA，PP1，PB，PP2，则PP1，PP2分别是∠APB的内、外角平分线.性质3：AC·BC＝r2.性质4：AB·AC＝AP1·AP2.性质5：过点B作圆C不与P1P2重合的弦EF，则AB平分∠EAF.[例2]　已知A（－2，0），P是圆C：（x＋4）2＋y2＝16上的任意一点，问在x轴上是否存在一点B，使得PAPB＝12？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由.[解]　假设存在符合的点B.法一：利用性质3可得，AC·BC＝16，∴BC＝8，∴B（4，0）.法二：利用性质1可得，λ＝12，r＝4，∴2λa1－λ2＝4，∴a＝3，∴AB＝6，∴B（4，0）.法三：利用性质4，作AP⊥x轴，与圆C交于点P，如图所示，连接CP，作PB⊥PC，交x轴于点B，点B即为所求.∵P（－2，23），∴kCP＝232＝3，∴kPB＝－33，设B（b，0），则kPB＝23－2－b＝－33，∴b＋2＝6，∴b＝4，∴B（4，0）.法四：设B（b，0），P（x，y），由PA＝12PB得，4（x＋2）2＋4y2＝（x－b）2＋y2，∴3x2＋3y2＋（2b＋16）x＋16－b2＝0.①∵（x＋4）2＋y2＝16，∴x2＋y2＝－8x.②把②代入①得，（2b－8）x＋16－b2＝0，x∈[－8，0]，∴2b－8=0，16－b2=0，∴b＝4，∴B（4，0）.❙方法总结❙　　巧用阿波罗尼斯圆的性质来解决问题，可以让答案更容易得到.2.已知圆C：（x＋4）2＋y2＝16，问在x轴上是否存在定点A，B，使得对于圆C上任意一点P，都有PAPB＝12，若存在，求出点A，B的坐标；若不存在，请说明理由. 解：设圆C与x轴交于另一点D，此题就是寻找定点A，B，使得点O，D分别是线段AB的内外分点，设A（a，0），Bb，0，其中a＜0，b＞0，由OAOB＝12得：－ab＝12，∴b＝－2a.①由DADB＝12得：a+88+b＝12，∴b＝2a＋8.②由①②得，a＝－2，b＝4，∴A（－2，0），B（4，0）.下面证明圆C上的任意一点P（x，y）都满足PAPB＝12，∵PA2PB2＝（x+2）2＋y2（x－4）2＋y2＝（x+2）2+16-(x+4）2（x－4）2+16-(x+4）2＝4－4x16－16x＝14，∴PAPB＝12，∴存在符合条件的点A，B，其中A（－2，0），B（4，0）.[A组　基础保分练]1.圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为（　　）A.相离　　B.相切　　C.相交　　D.不确定答案：B解析：由题意知，圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心为（－1，2），半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|-3+8+5｜32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的位置关系是相切.2.已知直线l：y＝22x＋b与圆C：x－12＋y+12＝9相切，则实数b＝（　　）A.8－22或－10－22　　B.－11或9C.11或－9　　D.－8＋22或10＋22答案：A解析：依题知圆心C1,-1，半径为3，则22－－1＋b（22）2＋(-1）2＝3，解得b＝8－22或b＝－10－22.3.过点P（2，4）作圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为（　　）A.3x＋4y－4＝0B.4x－3y＋4＝0C.x＝2或4x－3y＋4＝0D.y＝4或3x＋4y－4＝0答案：C解析：当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，则｜k－1+4－2k｜k2+1＝1，解得k＝43，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.4.过点P（3，4）作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　）A.5－3　　B.5－2　　C.2215　　D.4215答案：D解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线PA的方程为x1x＋y1y＝4，直线PB的方程为x2x＋y2y＝4，点P（3，4）在这两条直线上，故3x1＋4y1＝4，3x2＋4y2＝4，则直线AB的方程为3x＋4y＝4.点（0，0）到直线AB的距离d＝45，则｜AB｜＝24－1625＝4215.5.（多选）（2024·安徽滁州模拟）已知圆C1：（x－a）2＋（y＋2）2＝25，圆C2：（x＋1）2＋（y＋a）2＝4.若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是（　　）A.－2　　　 B.2　　　　C.－1　　D.1答案：BC解析：由题可知圆心C1（a，－2），半径r1＝5，圆心C2（－1，－a），半径r2＝2.因为圆C1与圆C2内切，所以｜C1C2｜＝（a+1）2＋(-2+a）2＝｜r1－r2｜＝3，解得a＝－1或a＝2.6.（多选）已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（　　）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离C.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切D.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离答案：ACD解析：A中，若点A在圆C上，则a2＋b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝｜r｜，所以直线与圆相切，即A正确；B中，若点A在圆C外，则a2＋b2＞r2，而圆心到直线l的距离d＝r2a2＋b2＜｜r｜，所以直线l与圆相交，所以B不正确；C中，若点A在直线l上，则a2＋b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝r2a2＋b2＝｜r｜，所以直线l与圆相切，所以C正确；D中，若点A在圆C内，则a2＋b2＜r2，而圆心到直线l的距离d＝r2a2＋b2＞｜r｜，所以直线l与圆相离，所以D正确.7.已知直线l：y＝kx＋b（k＞0）与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：（x－4）2＋y2＝1均相切，则k＝　　　　，b＝　　　　.答案：33　－233解析：由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，因为直线l与C1，C2都相切，故有d1＝b1+k2＝1，d2＝｜4k＋b｜1+k2＝1，则有b1+k2＝｜4k＋b｜1+k2，故可得b2＝（4k＋b）2，整理得k（2k＋b）＝0.因为k＞0，所以2k＋b＝0，即b＝－2k，代入d1＝b1+k2＝1，解得k＝33，则b＝－233.8.（2024·山西阳泉模拟）若直线（m＋1）x＋my－2m－1＝0与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长｜MN｜的最小值为　　　　.答案：2解析：直线MN的方程可化为m（x＋y－2）＋x－1＝0，由x＋y－2=0，x－1=0，得x=1，y=1，所以直线MN过定点A（1，1）.因为12＋12＜3，即点A在圆x2＋y2＝3内，圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为3，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，此时｜MN｜取最小值，故｜MN｜min＝23-|OA｜2＝2.9.已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（－2，－1），则m＝　　　　，r＝　　　　.答案：－2　5解析：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+12＝－12，解得m＝－2，∴圆心为（0，－2），则半径r＝(-2－0）2＋(-1+2）2＝5.10.（2024·黑龙江鸡西模拟）过点P（4，2）作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是　　　　.答案：（x－2）2＋（y－1）2＝5解析：由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O（0，0），由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P（4，2），从而OP的中点坐标（2，1）为所求圆的圆心，12｜OP｜＝5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.[B组　能力提升练]11.已知直线l：x＋ky－3k－1＝0，若无论k取何值，直线l与圆（x＋2）2＋（y＋1）2＝r2（r＞0）恒有公共点，则r的取值范围是（　　）A.5，＋∞　　B.3，＋∞C.4，6　　　 D.3，5答案：A解析：将直线l：x＋ky－3k－1＝0化为x－1＋ky－3＝0，故直线l恒过定点A1，3.又直线l与圆（x＋2）2＋（y＋1）2＝r2（r＞0）恒有公共点，所以点A1，3在圆上或圆内，即（1＋2）2＋（3＋1）2≤r2，又r＞0，所以r≥5，即r的取值范围为5，＋∞.12.圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点到直线3x－4y－2＝0距离的取值范围是（　　）A.1，3　　　B.23，43C.0，3　　　D.2－3，2+3答案：A解析：圆x2＋y2－4y＋3＝0的标准方程为x2＋y－22＝1，所以圆心坐标为0，2，半径r＝1，圆心到直线3x－4y－2＝0的距离为d＝2×－4－232＋－42＝2，所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是d－r，d＋r，即1，3.13.已知圆O：x2＋y2＝4与直线3x－4y＋c＝0相交于A，B两点.若∠AOB＝90°，则实数c的值为（　　）A.±5　　　　 B.±52C.±10　　　　D.±102答案：B解析：法一（代数法）：由x2＋y2=4，3x－4y＋c=0，消去y，得25x2＋6cx＋c2－64＝0，Δ＝6 400－64c2＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝c2－6425，x1＋x2＝－6c25.　①由题意得OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋14（c＋3x1）·14（c＋3x2）＝0，化简得2516x1x2＋316c（x1＋x2）＋c216＝0，②将①代入②，解得c＝±52，符合题意.法二（几何法）：根据∠AOB＝90°可知圆心O到直线3x－4y＋c＝0的距离为d＝2，所以｜3×0－4×0+c｜5＝2，解得c＝±52.14.（多选）点P是直线x＋y－4＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4引切线PA（A为切点），则下列关于切线长PA的说法正确的为（　　）A.切线长没有最大值　　B.切线长可能为4C.切线长有最小值　　 D.切线长不可能为3答案：ABC解析：根据题意，设P（x，4－x），则｜PA｜＝x2＋（4－x）2－4＝2x2－8x+12＝2（x－2）2+4≥2.15.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　）A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝32D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝32答案：ACD解析：由题意可知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心（5，5）到直线AB的距离d＝｜5+2×5－4｜12＋22＝1155＞4，∴直线AB与圆（x－5）2＋（y－5）2＝16相离，∴点P到直线AB的距离的取值范围为1155－4，1155+4.∵1155－4∈（0，1），1155＋4∈（8，9），∴选项A正确，选项B错误.过点B作圆的两条切线，切点分别为P1，P2，如图，当点P在切点P1的位置时，∠PBA最小，当点P在切点P2的位置时，∠PBA最大，易知｜P1B｜＝｜P2B｜，圆心（5，5）到点B的距离为34，圆的半径为4，所以｜P1B｜＝｜P2B｜＝34－16＝18＝32，故选项C，D均正确.16.已知☉O：x2＋y2＝1，点A（0，－2），B（a，2），从点A观察点B，要使视线不被☉O挡住，求实数a的取值范围　　　　.答案：－∞,-433∪433，＋∞解析：易知点B在直线y＝2上，过点A（0，－2）作圆的切线（如图）.设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.由d＝｜0－0－2｜1+k2＝1，得k＝±3.∴切线方程为y＝±3x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为－433，2，433，2.故要使视线不被☉O挡住，则实数a的取值范围是－∞,-433∪433，＋∞.17.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值为　　　　.答案：－34解析：圆C：（x－4）2＋y2＝1的圆心C（4，0），半径r＝1，以直线y＝kx－2上的点P（x0，kx0－2）为圆心，3为半径的圆与圆C有公共点，则｜PC｜≤4，于是（x0－4）2＋（kx0－2）2≤4，整理得（k2＋1）x02－4（k＋2）x0＋4≤0，依题意，不等式（k2＋1）x02－4（k＋2）x0＋4≤0有解，则Δ＝16（k＋2）2－16（k2＋1）≥0，解得k≥－34，所以k的最小值为－34.18.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），B是第一象限内的一点，以C为圆心的圆经过O，A，B三点，且圆C在点A，B处的切线相交于点P.若点P的坐标为（4，2），则直线PB的方程为　　　　.答案：x＋7y－18＝0解析：因为点A的坐标为（2，0），以C为圆心的圆经过O，A，B三点，所以圆心C在线段OA的垂直平分线上.设圆心C的坐标为（1，b）.因为圆C在点A，B处的切线相交于点P，点P的坐标为（4，2），所以kPA＝2－04－2＝1，所以kAC＝b－01－2＝－1，解得b＝1，即C（1，1），所以圆C的半径r＝｜AC｜＝2，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.易知直线PB的斜率必定存在，则设直线PB的方程为y－2＝k（x－4），即kx－y－4k＋2＝0，则有|-3k+1｜1+k2＝2，解得k＝－17或k＝1（舍去），所以直线PB的方程为y－2＝－17（x－4），即x＋7y－18＝0.滚动训练（八）1.（2024·陕西西安模拟）不等式x2－2x＋5＞a2对任意的x∈（1，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A.[－2，2]B.（－2，2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－∞，－2）∪[2，＋∞）答案：A解析：由于直线x＝1是y＝x2－2x＋5的图象的对称轴，所以当x＞1时，x2－2x＋5＞12－2＋5＝4，所以a2≤4，解得－2≤a≤2.2.（2024·河南郑州模拟）已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（　　）A.（2－17，2＋17）　B.（2－17，2）C.（－15，＋∞）　　　 D.（－15，2）答案：D解析：圆心（1，－1），半径r＝2－a，2－a＞0，所以a＜2，圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝｜1－1－4｜2＝22，则弦长为2（2－a）2-(22）2＝2－a－6＜6.解得a＞－15，故－15＜a＜2.3.（2024·湖北咸宁模拟）已知函数f（x）＝ln（e2x＋1）＋x2－x，使得不等式f（a）＞f（b）恒成立的条件是（　　）A.a＞b　　　　　　　 B.a＜bC.a2＞b2　　　　　　　D.｜a｜＜｜b｜答案：C解析：f（x）＝ln（e2x＋1）＋x2－x＝ln（e2x ＋1） －ln ex＋x2＝lne2x+1ex＋x2＝ln（ex＋e－x）＋x2，易证得函数f（x）为R上的偶函数，且y＝ln（ex＋e－x），y＝x2在[0，＋∞）上均单调递增，故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.∵f（a）＞f（b），∴｜a｜＞｜b｜，a2＞b2.4.（2024·河南郑州模拟）已知函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）0<φ＜π2，其函数图象的一个对称中心是点π12，0，则该函数的一个单调递减区间是（　　）A.－5π6，π6　　　　　 B.－π6，π3C.－π3，π6　　　　　　D.－5π12，π12答案：D解析：因为函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）图象的一个对称中心是点π12，0，所以2×π12＋φ＝kπ2，k∈Z，解得φ＝kπ2－π6，k∈Z.又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f（x）＝－2tan2x＋π3.令－π2＋kπ＜2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－5π12＋kπ2＜x＜π12＋kπ2，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为－5π12＋kπ2，π12＋kπ2，k∈Z.当k＝0时，得f（x）的一个单调递减区间为－5π12，π12.5.（2024·山东聊城模拟）圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围是（　　）A.（－∞，－5]　　 B.[5，＋∞）C.[－5，5]　　　　D.（－∞，－5]∪[5，＋∞）答案：D解析：将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得（x＋m）2＋y2＝1，即圆心为（－m，0），半径为1.圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0，2），半径为2.因为圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以m2＋22≥2＋1，即m2≥5，解得m∈（－∞，－5]∪[5，＋∞）.6.（2024·河北承德模拟）在刘徽对我国古代数学名著《九章算术》所作注解中有“斜解立方，得两堑堵”.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中“斜解”得到一堑堵ABB1－DCC1，E为C1D的中点，则异面直线AB1与BE所成的角为（　　）A.π2　　　B.π3　　　C.π4　　　D.π6答案：A解析：如图，易知在堑堵ABB1－DCC1中，AB1∥DC1，则∠C1EB或其补角为直线AB1与BE所成的角.连接BC1，BD，由正方体的性质可知，BC1＝BD＝C1D，所以△BDC1为等边三角形，又E为C1D的中点，所以BE⊥C1D，即∠C1EB＝π2，故异面直线AB1与BE所成的角为π2.7.（2024·山东青岛模拟）已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说法正确的是（　　）A.m＞1是曲线C表示圆的充要条件B.当m＝33时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.m＝－3是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点答案：C解析：对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，即（x＋2）2＋（y＋m）2＝m2－1，若曲线C表示圆，则m2－1＞0，解得m＜－1或m＞1，所以m＞1是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，当m＝33时，直线l：x＋3y＋1＝0，曲线C：（x＋2）2＋（y＋33）2＝26，圆心C（－2，－33）到直线l的距离d＝|-2+3×(-33）+1｜1+3＝5，所以弦长为2r2－d2＝226－25＝2，故B错误；对于C，若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离|-6－m2+3｜9+m2＝m2－1，解得m＝±3，所以m＝－3是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当m＝－2时，曲线C：（x＋2）2＋（y－2）2＝3，其圆心坐标为（－2，2），半径为3，由(-2－0）2＋（2－0）2＝22＞3＋1，知两圆相离，不会有两个公共点，故D错误.8.（2024·山东菏泽模拟）已知直线3x－y－3＝0与x轴交于点A，与圆M：（x－2）2＋（y＋3）2＝4交于B，C两点，过点A的直线与过B，C两点的动圆N相切于点P，当△PBC的面积最大时，切线AP的方程为（　　）A.x＋3y＋3＝0　　B.3x＋y＋3＝0C.3x＋y－3＝0　　D.x＋3y－3＝0答案：D解析：由题意得，A（3，0），圆M的圆心M（2，－3），连接AM，则｜AM｜2＝（3－2）2＋32＝16－43.连接MN，交BC于H，则H是BC的中点，连接CM，NP，NA，NC，如图，则｜AP｜2 ＝｜AN｜2－ ｜NP｜2＝｜AN｜2－｜NC｜2＝（｜AH｜2 ＋ ｜NH｜2） － （｜CH｜2 ＋｜NH｜2）＝｜AH｜2－｜CH｜2＝（｜AM｜2－｜MH｜2）－（｜MC｜2－｜MH｜2）＝｜AM｜2－｜MC｜2＝12－43，所以｜AP｜为定值.在△PBC中，设BC边上的高为h，则S△PBC＝12｜BC｜·h，由于｜BC｜不变，则当PA⊥BC时，h最大，此时S△PBC取得最大值，此时AP的方程为y＝－33（x－3），即x＋3y－3＝0.9.（多选）（2024·甘肃兰州模拟）已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是（　　）A.圆A的半径为2B.圆A截y轴所得的弦长为23C.圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D.圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离答案：ABC解析：把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为（x－1）2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为（1，0），半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×4－1＝23，B正确；圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B（4，4），半径为3，则点A与点B之间的距离为（4－1）2＋42＝5，圆A与圆B相切，D错误.10.（多选）（2024·山东泰安模拟）已知圆M：（x＋cos θ）2＋（y－sin θ）2＝1，直线l：y＝kx.下列命题中正确的是（　　）A.对于任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点B.对于任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切C.对于任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切D.存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3答案：AC解析：选项A，圆M：（x＋cos θ）2＋（y－sin θ）2＝1恒过原点O（0，0），所以A正确；圆心M（－cos θ，sin θ）到直线l的距离为d，d＝｜kcosθ＋sinθ｜1+k2＝｜sin（θ＋φ）｜≤1，∴对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以选项C正确，选项B不正确；圆上的点到直线l距离最大值为d＋1≤2，所以选项D不正确.11.（2024·山东泰安模拟）已知函数f（x）＝1x，x≥1，x3，x<1，若f（x0）＝－1，则x0＝　　　　；若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是　　　　.答案：－1　（0，1）解析：解方程f（x0）＝－1，得x0≥1，1x0＝－1或x0<1，x03＝－1，解得x0＝－1.关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k有两个不同交点，如图，作出y＝f（x）与y＝k的图象，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f（x）的图象与直线y＝k有两个不同交点.即k∈（0，1）.12.（2024·河北邯郸模拟）已知直线l：ax＋by－ab＝0（a＞0，b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，则△AOB的面积的最小值为　　　　.答案：1解析：由已知可得A（b，0），B（0，a）.因为直线l：ax＋by－ab＝0（a＞0，b＞0）与圆O：x2＋y2＝1相切，所以aba2＋b2＝1，即1a2＋1b2＝1.因为1a2＋1b2＝1≥2ab，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以ab≥2.所以S△AOB＝12ab≥1，所以△AOB面积的最小值为1.13.（2024·山东德州模拟）某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时货轮到灯塔S的距离为　　　　海里.答案：122解析：根据题意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得BSsin30°＝24sin45°，∴BS＝1222＝122，故此时货轮到灯塔S的距离为122海里.14.（2024·江西上饶模拟）已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M（3，2）到直线AB距离的最大值为　　　　.答案：5解析：设P（a，b），因为点P在直线x＋y＝4上，所以a＋b＝4.连接OA，OB（图略），由题意知PA⊥OA，PB⊥OB，连接OP，则点A，B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方程是x－a22＋y－b22＝14（a2＋b2）　①，将x2＋y2＝4与①作差，可得直线AB的方程为ax＋by－4＝0，（求解两个相交圆的公共弦所在直线的方程，直接将两个圆的方程作差即可）将b＝4－a代入直线AB的方程，得ax＋（4－a）y－4＝0，即a（x－y）＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，所以直线AB过定点N（1，1），点M到直线AB距离的最大值即点M，N之间的距离，连接MN，易知｜MN｜＝5，所以点M（3，2）到直线AB距离的最大值为5.15.（2024·湖北鄂州模拟）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知acosB＝bcosA且a＝6，b＝8.（1）建立适当的直角坐标系，求△ABC的内切圆方程；（2）P为内切圆上任意一点，求｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2的最大值与最小值.解：（1）由正弦定理可知sin 2A＝sin 2B，所以A＝B或A＋B＝π2，因为a＜b，∴A＋B＝π2，所以c＝62＋82＝10，以直角顶点C为原点，CA，CB所在直线为x轴、y轴建系，如图.由于△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆圆心为O'，切点分别为D，E，F，则AD＋DB＋EC＝12×（10＋8＋6）＝12，上式中AD＋DB＝c＝10，所以内切圆半径r＝EC＝2，则内切圆方程为（x－2）2＋（y－2）2＝4.（2）设圆上动点P的坐标为（x，y），令S＝｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2，则S＝（x－8）2＋y2＋x2＋（y－6）2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[（x－2）2＋（y－2）2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x，因为点P在内切圆上，所以0≤x≤4，所以Smax＝88－0＝88，Smin＝88－16＝72.16.（2024·贵州贵阳模拟）已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn，S4＝120，2a2是3a1与a3的等差中项，数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝3log3an.（1）求an与bn；（2）证明：13≤1T1＋1T2＋…＋1Tn＜23.（1）解：依题意，得a1（1－q4）1－q=120，2×2a1q=3a1＋a1q2，q≠1，解得q=3，a1=3，∴an＝3×3n－1＝3n，bn＝3log3an＝3log33n＝3n.（2）证明：易知Tn＝3n（n+1）2，∴1Tn＝23n（n+1）＝231n－1n+1，∴1T1＋1T2＋…＋1Tn＝231－12＋12－13＋…＋1n－1n+1＝231－1n+1＜23.又y＝231－1n+1单调递增，且n为正整数，∴当n＝1时，y＝231－1n+1有最小值13.∴13≤1T1＋1T2＋…＋1Tn＜23.名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k（x－x0）两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1（x1≠x2，y1≠y2）与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）所有直线学生用书⬇第184页学生用书⬇第185页学生用书⬇第389页学生用书⬇第390页学生用书⬇第185页学生用书⬇第186页学生用书⬇第187页学生用书⬇第188页学生用书⬇第391页学生用书⬇第188页学生用书⬇第189页学生用书⬇第393页学生用书⬇第189页定义平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的轨迹叫做圆方程标准（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）圆心C（a，b）半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）充要条件：　D2＋E2－4F＞0　圆心坐标：　－D2,-E2　半径r＝12D2＋E2－4F学生用书⬇第190页学生用书⬇第191页学生用书⬇第394页学生用书⬇第395页学生用书⬇第191页方法位置关系几何法代数法相交d＜rΔ＞0相切d＝rΔ＝0相离d＞rΔ＜0位置关系相离外切相交内切内含几何特征d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数4　3　2　1　0学生用书⬇第193页学生用书⬇第194页学生用书⬇第195页学生用书⬇第396页学生用书⬇第397页学生用书⬇第398页提醒：学生用书第九章　第196页（见下页）