《高考总复习》数学 第七章 第8讲 轨迹与方程[配套课件]

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1.(多选题)下列说法正确的是(
点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的
垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是(
解析：由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线.答案：D
3.(选修2－1P50第2题改编)已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，则动圆圆心M的轨迹方程为________.解析：设动圆 M 半径为 r，根据两圆相切的充要条件，得|MB|＝8－r，|MA|＝r，所以|MA|＋|MB|＝8.这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之和是常数 8，根据椭圆的定义，动点 M 的轨迹为椭圆，这里 a＝4，c＝3，则 b2＝7，
故选 ACD.答案：ACD
解析：设 AB＝2a(a>0)，以 AB 中点为坐标原点建立如图D55 所示的平面直角坐标系，
答案：x 2＋y2＋26x＋25＝0
3.已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则 N(x,0).所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1 时，轨迹是圆；
当λ＞0 且λ≠1 时，轨迹是椭圆；当λ＜0 时，轨迹是双曲线；当λ＝0 时，轨迹是直线.
综上，动点 M 的轨迹不可能是抛物线.故选 C.答案：C
【题后反思】直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹方程了.
[例 1](1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，
①动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________；②若动圆M同时与圆C1及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________；③若动圆M与圆C1外切及圆C2相内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________；④若动圆M与圆C1内切及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
解析：如图 7-8-1，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点
A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，
(2)已知点 M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M，N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的
解析：设另两个切点为E，F，如图7-8-2所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以点 P 的轨迹是以M，N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的右支.
动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为______________.
【题后反思】定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.
【考法全练】(多选题)已知圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 所在平面内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线
OP 相交于点 Q.当点 P 在圆上运动时，下列判断正确的是(
A.当点 A 在圆 O 内(不与圆心重合)时，点 Q 的轨迹是椭圆B.点 Q 的轨迹可能是一个定点C.当点 A 在圆 O 外时，点 Q 的轨迹是双曲线的一支D.点 Q 的轨迹不可能是抛物线
解析：对 A，如图 D56(1)，连接 QA，由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点 A 在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A为焦点，r 为长轴长的椭圆；
对 B，如图 D56(2)，当点 A 在圆上时，点 Q 与圆心重合，
对 C，如图 D56(3)，连接 QA，由已知得|QA|＝|QP|.所以||QA|
－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝r.
又因为点 A 在圆外，所以|OA|>|OP|，
根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为
对 D，由于当点 A 与圆心 O 重合时，点 Q 的轨迹为圆，综合 A，B，C 可知点 Q 的轨迹不可能为抛物线.故选 ABD.答案：ABD
利用相关点法求轨迹方程
【题后反思】动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫相关点法(也叫转移法).
⊙轨迹方程中的分类讨论[例 3](1)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲
A.曲线 E 经过坐标原点B.曲线 E 关于 x 轴对称C.曲线 E 关于 y 轴对称D.若点(x，y)在曲线 E 上，则－3≤x≤3
平方得(x2＋y2＋2x＋1)(x2＋y2－2x＋1)＝64，(0,0)不满足方程，故A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于x轴对称，故B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于y轴对称，故C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x＝±3，故－3≤x≤3，故D正确.故选BCD.
(2)(多选题)数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线(如图7­8­4).
给出下列结论正确的是(
A.曲线 C 经过 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都
C.曲线 C 围成区域的面积大于 4πD.方程(x2＋y2)3＝16x2y2(xy>0)表示的曲线C在第一象限和第三象限
由曲线的对称性可知，该点的位置是图 7-8-5 中的点 M，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线 C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线 C 在第一象限内不经过任何整点，
再结合曲线的对称性可知，曲线 C 只经过整点(0,0)，即 A 错误；
所以x2＋y2≤4，即B正确；以 O 为圆点，2 为半径的圆 O 的面积为 4π，显然曲线 C 围成的区域的面积小于圆 O 的面积，即 C 错误；因为 xy>0，所以 x 与 y 同号，仅限与第一象限和第三象限，即 D 正确.故选 BD.
【高分训练】(2019 年北京)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2＋y2＝1＋|x|y 就是其中之一(如图 7-8-6).给出下列三个结论：①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.
其中，所有正确结论的序号是(
如图 D57，易知 A(0，－1)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
(1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
(2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的需求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
三种方法：求轨迹的常用方法
(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹方程了.
(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方
程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.