2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，余弦定理，常用结论，考点突破题型剖析，因为AD＝2DC，因为BD＝b，直角三角形，则b＋c＝2a，解得a＝8，且a＋b＝11等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
解析　因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcs C，
2.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　)
解得C＝45°或C＝135°.
得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
5.(易错题)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析　由已知得cs C(sin A－sin B)＝0，所以cs C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
6.(易错题)在△ABC中，角A，B，C，满足sin Acs C－sin Bcs C＝0，则三角形的形状为__________________________.
直角三角形或等腰三角形
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
证明　因为BDsin∠ABC＝asin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.
例1 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.解　法一　如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为∠BED＝π－∠ABC，所以cs∠BED＝－cs ∠ABC，
化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，
所以9b2＝4a2＋4accs∠ABC＋c2.①又b2＝ac＝a2＋c2－2accs∠ABC，②
所以①－②，得8ac＝3a2＋6accs∠ABC，
因为b解析　由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，
A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形
所以sin Acs A＝sin Bcs B，即sin 2A＝sin 2B.
又A，B∈(0，π)，
又B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcs A，即sin(A＋B)＜sin Bcs A，所以sin Acs B＜0.因为在三角形中sin A＞0，所以cs B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形
解析　由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为______________.
∴△ABC为直角三角形.
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
解　若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝(2c－b)tan B，
∵sin B≠0，∴sin Acs B＝2sin Ccs A－sin Bcs A，即sin(A＋B)＝2sin Ccs A，即sin C＝2sin Ccs A.
化简可得2cs2A＋cs A＝1，
(2)求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解　由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
训练3 在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积.
且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得
在△ABC中，由正弦定理，得
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
在△ABC中，由正弦定理，可得
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcs C＋ccs B；b＝ccs A＋acs C；c＝acs B＋bcs A.注：以“a＝bcs C＋ccs B”为例，b，c在a上的射影分别为bcs C，ccs B，故名射影定理.
证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，则bcs C＝CD，ccs B＝BD，故bcs C＋ccs B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcs C＋ccs B，同理可证b＝ccs A＋acs C，c＝acs B＋bcs A.
解析　法一　因为sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C，所以sin B＋2sin Bcs C＝sin Acs C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcs C＝sin Acs C＋sin B，
例 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C，则下列等式成立的是(　　)A.a＝2b B.b＝2aC.A＝2B D.B＝2A
即cs C(2sin B－sin A)＝0，所以cs C＝0或2sin B＝sin A，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.法二　由正弦定理和余弦定理得
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.法三　由正弦定理及sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C得b＋2bcs C＝2acs C＋ccs A＝acs C＋(acs C＋ccs A)＝acs C＋b，即2bcs C＝acs C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cs C≠0，则2b＝a.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
解析　在△ABC中，由正弦定理及acs B＋bcs A＝3ccs C.得sin Acs B＋cs Asin B＝3sin Ccs C，∴sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ccs C，
由正弦定理及asin A－csin C＋bsin A＝0，得a2－c2＝－ab.
解析　∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
6.(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　 )A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形B.若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形C.若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.
解析　A＝2B⇒sin A＝sin 2B⇒sin A＝2sin Bcs B，由正弦定理得a＝2bcs B，
7.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，则a＝________.
解析　由题意画出△ABC，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cs B
8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为________平方里.
∵sin Asin C≠0，A＋C＝π－B，
∴ac＝8，而a＋c＝6，∴(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，∴a2＋c2＝20，
解　由题设及余弦定理得
解　在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
而0°＝sin(30°＋C)，
＝sin Csin C，
解　若选①，由正弦定理得
余下同①.若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
法二　∵a＝3，∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2≤36，∵b＋c＞0，∴0＜b＋c≤6，当且仅当b＝c时取“＝”，∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9.
解　因为2sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因为c＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，则a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；