2025年新高考数学高频考点+重点题型专题26平面向量的应用含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题26平面向量的应用含解析答案，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
2．已知､为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点､，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）
A．36B．60C．72D．108
3．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．的内心B．的垂心
C．的重心D．边的中点
5．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
6．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝，O是的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
7．向量满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则

A．I１11．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（ ）
A． B．
C． D．
12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．8B．C．D．4
二、多选题
13．已知的外接圆圆心为，半径为，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在上的投影向量为
B．
C．在上的投影向量为
D．
14．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
15．已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）
A．若，则点在的中位线上
B．若，则为的重心
C．若，则为锐角三角形
D．若，则与的面积比为
16．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
17．已知向量，函数，下列命题，说法正确的选项是（ ）
A．
B．的图像关于对称
C．若，则
D．若，则
18．在中，，，，在下列命题中，是真命题的为（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为直角三角形
三、填空题
19．若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为 ．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
20．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为 ．
21．如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则 ．
22．在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
23．已知是半径为的⊙O上的两个点，，⊙O所在平面上有一点C满足，则向量的模的取值范围是 .
24．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
25．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为 ．
26．在中，O为其外心，，且，则边的长是 ．
27．在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ．
28．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程 .
29．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ．
30．已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为 .
四、解答题
31．在△ABC中，已知，是边上靠近点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得?
32．在平面四边形中，，，对角线与交于点E；E是的中点，且；若，求的长.
33．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．
34．我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.
35．已知A、B、C的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cs，sin）．
（1）若，求角的值；
（2）若求的值．
36．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
37．已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N： 的任一条直径，求的最值．
38．如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
39．已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】由推出，由推出，则可得答案.
【详解】由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
2．B
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.
【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，设，
∴，；
由，得；
又，
∴，；
∴；
∴，
∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,
则扫过的三角形的面积为，
设点
∵，
∴，
∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,
∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和，得到动点的轨迹，进而得到扫过的三角形的面积而得解.
3．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
4．C
【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心．
【详解】取的中点D，则，
∵，
∴，而，
∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过的重心．
故选：C.
5．D
【分析】化简条件后分析点轨迹
【详解】条件可化为，
故
故，动点P的轨迹一定通过的垂心．
故选：D
6．B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.
【详解】在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则
bcsin A＝ (a＋b＋c)r，解得r＝，
所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为＝.
故选：B
【点睛】本题考查了余弦定理、根据内切圆半径求三角形的面积，属于基础题.
7．C
【分析】根据题意得，利用平面向量数量积的运算化简可得，从而可得结果.
【详解】设向量与的夹角为，，
因为，
所以，
解得，故．
故选：C．
8．B
【详解】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
9．A
【分析】根据题意，取中点为，结合⊥，⊥，求得·，即可列出方程，求得结果.
【详解】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，
则⊥，⊥，
＝－＝－(x＋y)＝－y，
＝－＝－(x＋y)＝－x.
由⊥，得－y·＝0，①
由⊥，得－x·＝0，②
又因为＝(－)2＝2－2·＋，
故·＝＝－，③
把③代入①，②得解得x＝，y＝.
故实数对(x，y)为.
故选：.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，以及向量的线性运算，属综合基础题.
10．C
【详解】因为，，，所以，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到．
11．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示及已知不等关系得，即可确定点的集合.
【详解】因为向量与关于轴对称，且点，所以，，
所以，即，
所以点的集合为以为圆心，为半径的圆的内部.
故选：B
12．C
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则．
圆的方程为，可设，
所以．
故．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值．
13．BCD
【分析】根据题意，可得四边形是边长为2的菱形，再根据投影向量及向量的数量积可求解.
【详解】由，得，所以四边形为平行四边形，又为的外接圆圆心，所以，又，所以为正三角形.
对于A、C，因为的外接圆半径为2，所以四边形是边长为2的菱形，所以，
所以在上的投影向量为，故C正确,A不正确.
对于B、D，因为，，故B，D正确.
故选：BCD
14．AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
15．ABD
【分析】设中点为，中点为，由可得，可知A正确；
设中点为，由得，对应重心的性质可知B正确；
由知为锐角，但无法确定，知C错误；
根据平面向量基本定理可知，将面积比转化为，知D正确.
【详解】对于A，设中点为，中点为，
，，
，即，三点共线，
又为的中位线，点在的中位线上，A正确；
对于B，设中点为，由得：，
又，，在中线上，且，
为的重心，B正确；
对于C，，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误；
对于D，，为线段上靠近的三等分点，即，
，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量在几何中的应用问题，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的应用等知识；本题解题关键是能够根据平面向量线性运算将已知等式进行转化，确定点的具体位置及其满足的性质.
16．BD
【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
17．BD
【解析】首先根据条件可得，再根据三角函数的性质，通过代入验证，整体运算，逐一判断即可.
【详解】函数，
A：当时，，，故A错；
B：，当时，对应的函数值取得最小值为，所以B正确；
C：时， ，所以函数在不单调，故C错；
D：因为，所以，
又，即2恒成立，故D对；
故选：BD.
【点睛】本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是中档题.
18．BCD
【分析】对A，由数量积定义和向量夹角可得是钝角，所以是钝角三角形，可判断；对B，由，可得得解；对C，由，可得，取的中点D，可得，可得，得解；对D，根据向量数量积运算将条件式化简得，结合余弦定理得，得解.
【详解】对于A，若，则，所以是钝角，所以是钝角三角形，故A错误；
对于B，若，则，为直角三角形，故B正确；
对于C，若，则，即，，取的中点D，
则，所以，即为等腰三角形，故C正确；
对于D，若，则，即，
即，由余弦定理可得，
即，即，即为直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
19．等腰三角形
【分析】取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】取中点，连接，
则，
又，
，
，
，
；
；
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
【点睛】平面向量是既有几何又有代数的双重身份，求解时要充分利用平面几何的知识进行求解.
20．3
【分析】由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案
【详解】解：因为，
所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,
所以，
所以，
故答案为：3
21．
【分析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
即，同理可知：，
不妨设，所以，
又因为，，，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以；
在中，，
所以，所以，
又在中，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.
22．
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
23．
【分析】以为邻边作平行四边形，根据条件结合平行四边形法则得出，然后判断出点的轨迹，从而求向量的模的取值范围.
【详解】以为邻边作平行四边形，
因为，，所以，
即，又因为，所以，
所以，
因为，所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点为线段与圆的交点时向量的模最小，最小为；
点为的延长线与圆的交点时向量的模最大，最大为，
所以向量的模的取值范围是.
故答案为：.
24．/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
25．
【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.
【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
26．－1/
【分析】根据条件，利用向量数量积运算求得，由，求得，在中，由余弦定理得解.
【详解】设外接圆的半径为R，∵O为的外心，
∴，又，
则，，
，
从而，又，所以，
又，
∴，而，∴，
在中，由余弦定理得
，
所以．
故答案为：.
27．
【详解】∵，
∴，
∴，即．
以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设，
所以
．
所以当时有最小值，此时．
答案：
28．y2＝8x(x≠0)
【分析】由题意得，，由向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】由题意得，，
因为⊥，所以，
即，化简得.
故答案为：.
29．
【分析】根据题意，有两个不等的实根，求得，再利用向量夹角公式求得，从而求得答案.
【详解】设与的夹角为θ．
∵，
∴，
∵函数在R上有两个极值，
∴方程有两个不同的实数根，
即，∴，
又，
∴，即，又，
∴．
故答案为：.
30．
【解析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，
根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．
【详解】如图所示：
分别过作底面的垂线，垂足分别为，．
由已知可得，，，，．
∵， 而，
∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；
当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．
∴线段长度的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
31．线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，结合向量垂直的坐标表示列方程，通过解方程来进行判断.
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
，是边上靠近点的一个三等分点，
所以，，
假设上存在点使得，设，
，，
，
不合题意.
所以不存在符合题意的点.
32．
【分析】根据题意，，由向量运算可得，在中，由余弦定理求出答案.
【详解】因为，所以，
又因为E是的中点，所以，
所以，
即，
所以，
解得：，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故答案为：.

33．证明见解析
【分析】设，结合正弦定理求得，由此证得.
【详解】设，则.
由解得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
为锐角，所以.
，在中，，
.
在中，.
在三角形中，，
由正弦定理得.
而，结合图象可知均为锐角，
所以.
34．证明见解析.
【分析】结合向量的数量积即可证明.
【详解】如图，设，则，
①-②得：，即
故，即，又
所以，，三点共线，
所以，，相较于一点.
35．（1）（2）.
【详解】(I)A（3，0），B（0，3），C（cs，sin）,

由得,
所以,,

（II）由得.
即.
36．（1）;（2）
【详解】试题分析：（1）由平面向量的数量积定义与正弦定理进行化简的值，进而求教B;（2）利用余弦定理与基本不等式进行求解．
试题解析：（1）由题意得（a－c）csB＝bcsC．
根据正弦定理有（sinA－sinC）csB＝sinBcsC，
所以sinAcsB＝sin（C＋B），即sinAcsB＝sinA．
因为sinA>0，所以csB＝，
又B∈（0，π），所以B＝．
（2）因为||＝，所以
即b＝
根据余弦定理及基本不等式得
6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－）ac（当且仅当a＝c时取等号），即ac≤3（2＋）．
故△ABC的面积S＝acsinB≤．
考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．
37．(1)
(2)最大值为19；最小值为 ．
【分析】（1）设 ，则，根据已知向量等式化简可得，用坐标表示，化简即可求得答案；
（2）根据向量的数量积的运算表示出，继而用P点坐标表示，利用点P在椭圆上，将的表达式转化为关于y的二次函数，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】（1）设 ，则，
由·=0，得，
即
化简得，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为．
（2）因为EF为圆N： 的任一条直径，故，且，
所以，
P是椭圆上的任一点，则
又 ，
所以，
因为P点在椭圆上，故，
所以当 时，取得最大值20，故·的最大值为19；
当 时，取得最小值为（此时x=0），故·的最小值为．
38．时，有最小值．
【分析】设木板对球的支持力为，得到，绳子的拉力为，化简得，利用三角函数的基本性质和基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，设木板对球的支持力为，则，
设绳子的拉力为，又由，，
由动力矩等于阻力矩得，
所以，
当且仅当即，即时，有最小值．
39．（1）或；（2）或.
【分析】（1）按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；
（2）不等式化为恒成立，令取1和－1代入解不等式组即可得．
【详解】（1）由题意，，
记向量与的夹角为，又，
则，
当时，，，当时，，．
（2）
，
由得，
∵，∴，
∴，解得或．
【点睛】本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式中把作为一个整体，它是关于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1时均成立即可．