2025年新高考数学高频考点+重点题型专题29等差数列通项与前n项和公式含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题29等差数列通项与前n项和公式含解析答案，共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A．64B．128C．256D．512
3．等差数列的前n项和为Sn ，若则
A．130B．170C．210D．260
4．等差数列,的前项和分别为,，若，则
A．B．C．D．
5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则中最大的项为（ ）
A．B．C．D．
7．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
8．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
9．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是
A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤
10．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（ ）
A．1055里B．1146里C．1510里D．1692里
11．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（ ）
A．－2B．0C．3D．6
12．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝
A．58B．88C．143D．176
13．是等差数列，，，则该数列前10项和等于
A．64B．100C．110D．120
14．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
15．已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（ ）
A．169B．144C．12D．13
17．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为
A．B．C．D．
二、多选题
18．等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．
B．的前项和中最小
C．的最小值为-49
D．的最大值为0
19．已知为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．B．
C．D．满足的的最小值为17
20．（多选）设是无穷数列，，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等差数列，则是等差数列
C．若是等比数列，则是等比数列
D．若是等差数列，则是等差数列
21．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．4B．5C．7D．8
22．设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式可能成立的是（ ）
A．2a4＝a2＋a6B．2b4＝b2＋b6
C．＝a2a8D． ＝b2b8
三、填空题
24．已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是 .
25．已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 .
26．已知公差不为0的等差数列满足，则= .
27．等差数列 ， 的前 项和分别为 ，，若对任意的正整数 都有 ，则 .
28．记等差数列的前n项和为，若，，则 ；当取得最大值时， ．
29．在等差数列中，，其前项和为，若，则 .
30．已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时， .
31．已知是等差数列的前项和，若，，则 ．
32．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2a4a6a8＝120，且，则S9的值为 ．
33．已知等差数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足，，n≥2，n∈N*，那么a= ．
34．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
35．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为 .
四、解答题
36．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
37．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
38．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
39．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
40．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
41．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
42．已知各项均为正数的数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列的前项和为，求证：．
43．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
44．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
45．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
46．已知公差大于零的等差数列的前n项和为,且满足，．
（1）求和；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c．
47．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立．
（1）若λ=1，求数列{an}的通项公式;
（2）求λ的值，使数列{an}是等差数列．
参考答案：
1．C
【分析】利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.
【详解】 ，
则，
故选：C．
2．B
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列前n项和的性质求解即可
【详解】等差数列中构成等差数列，所以
故选：C
4．C
【详解】由题意结合等差数列的性质有：
.
本题选择C选项.
5．C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
6．D
【详解】试题分析：：∵等差数列前n项和，
由S15>0，S16<0，得，∴，
若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，
分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，
∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．
考点：等差数列性质及求和
7．A
【分析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.
【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列项的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.
8．C
【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可知，五年累计总投入资金为：
，
因为，
所以，
当且仅当时取等号，
故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，
故选：C.
9．B
【详解】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴，
解得．
∴．选B．
10．B
【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.
【详解】良马日行里数构成以为首项，为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以为首项，为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数（里），
而驽马日行里数（里），
所以良马较驽马日行里数多（里）．
故选：B．
11．A
【分析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，
所以a3＝a1＋2d＝－2.
故选：A.
12．B
【详解】试题分析：等差数列前n项和公式，．
考点：数列前n项和公式．
13．B
【详解】设等差数列的公差为，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：
解方程组可得.
故选：B
考点：等差数列通项公式及求和
14．C
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
15．A
【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.
【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；
，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，
综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，
故选A
【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.
16．B
【分析】按照题意求解出等差数列的公差，然后即可计算出结果.
【详解】解：由题意，
，又因为数列是等差数列，
所以，且满足各项为非负数，
则有，
可得
故选：B
17．B
【详解】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，
设首项为，结合等差数列前n项和公式有：
，
解得：，则.
即第八个孩子分得斤数为.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．BC
【分析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.
【详解】设数列的公差为d，则
解得，，A错误；
，当n=5时取得最小值，故B正确；
，设函数，
则，当时，，
当时，，
所以，，且，，
所以最小值为-49，C正确；
，没有最大值，D错误．
故选：BC
19．AD
【分析】先由等差数列的性质及求得，结合及等差数列的性质即可判断选项A；由选项A得到数列的公差，进而得到等差数列的通项公式，然后求出，的值，结合的增减性即可判断选项B，C；由等差数列的性质及，易得到，的值，结合的增减性即可判断选项D．
【详解】因为，所以.
又，所以，A选项正确；
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
，.
所以，B选项不正确；
由知数列为递减数列，又，.
所以为的最大值，C选项不正确；
因为，.
所以满足的的最小值为17，D选项正确.
故选AD．
【点睛】结论点睛：在处理等差数列及其前n项和问题时，通常会用到如下的一些性质结论；
1.通项性质：
若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq＝2ak.
2.前n项和的性质：
(1) Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列
(2) S2n－1＝(2n－1)an.
20．AD
【分析】利用等差数列的定义可判断AD选项的正误，取可判断BC选项的正误.
【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，
则，即数列是等差数列，A对；
对于B选项，取，则，数列为等差数列，
，则数列为等差数列，但数列不是等差数列；
对于C选项，取，由B选项可知，数列为等比数列，
但，数列不是等比数列，C错；
对于D选项，设等差数列的公差为，
则，
所以，数列的偶数项成等差数列，即数列是等差数列，D对.
故选：AD.
21．BD
【分析】设最上面一层放根，一共放层，则最下面一层放根，利用等差数列的性质可得，结合，可得n为200的因数，，且其为偶数，后逐一验证各个选项即可得解．
【详解】最上面一层放根，一共放层，则最下面一层放根
则由等差数列前n项和公式有：，整理得：
结合，可得n为200的因数，故且为偶数.故可排除C.
又当，为奇数不合题意，故排除A；
当，符合题意，故B正确.
当，符合题意，故D正确.
故选：BD
22．ABD
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，
所以和均为的最大值，所以D正确.
故选：ABD.
23．ABC
【分析】由已知可得{bn}为等差数列，然后由等差中项的定义可判断AB，对于CD，由等差数列的通项公式化简计算结合已知条件判断即可，
【详解】由题意，知b1＝S2＝a1＋a2，
bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，
可得bn＝a2n－1＋a2n(n>1，n∈N*)．
由{an}为等差数列，可知{bn}为等差数列．
选项A中，由a4为a2，a6的等差中项，得2a4＝a2＋a6，成立．
选项B中，由b4为b2，b6的等差中项，得2b4＝b2＋b6，成立．
选项C中，中，a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，a8＝a1＋7d.
由＝a2a8，可得(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
化简得a1d＝d2，
又由d≠0，可得a1＝d，符合，成立．
选项D中，b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，
b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.
由＝b2b8，知(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，
化简得2a1d＝3d
又由d≠0，可得.
这与已知条件矛盾．
故选：ABC
24．16.
【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】由题意可得：，
解得：，则.
【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
25．5
【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.
【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
则当时，，当时，，不符；
故的最小值为5，
故答案为：5
26．0
【分析】根据题意可化简得出，再根据求和公式即可求出.
【详解】设数列公差为（），
由可得，则，
则，则可得，
所以.
故答案为：0.
27．
【分析】根据等差数列的前项和的计算公式，结合等差数列的性质及已知条件，即可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
28． 0 1009或1008
【分析】根据等差数列的性质和求和公式公式可得，再求出与d的关系，可得，即可求出当或1008时，取得最大值
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
，
故当取得最大值时，或，
故答案为0，1009或1008．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
29．
【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．
因为，所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
30．
【分析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故
故答案为：20.
31．2020
【分析】推导出是以﹣2018为首项，1为公差的等差数列．由此能求出S2020的值．
【详解】由等差数列的性质可得为等差数列．
设其公差为，则，∴．
故，
∴．
故答案为：2020. ．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的特点及求法，考查运算求解能力，是基础题．
32．
【详解】等式两边同时乘以a2a4a6a8得a2＋a4＋a6＋a8＝14，即2(a2＋a8)＝14，a2＋a8＝7，从而S9＝＝＝.
33．3
【分析】根据条件，分别令n=2，n=3求出a2=12-2a，a3=3+2a，再根据a1+a3=2a2，即可求出的值.
【详解】在中，因为a1=a，所以分别令n=2，n=3
得(a+a2)2=12a2+a2，(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2，因为，所以a2=12-2a，a3=3+2a．
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2(12-2a)=a+3+2a，解得a=3．
经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=，满足Sn2=3n2an+ Sn-12．所以a=3．
故答案为：.
34．
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
35．
【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出．
【详解】由等差数列的性质可得：．
对于任意的都有，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
36．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
37．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
38．(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
39．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
40．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
41．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
42．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；
（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.
【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数 得
则，所以数列是等差数列；
（2），则公差
∴，
∴.
43．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
44．证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.
45．（1）见解析；（2），．
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
46．（1），；（2）.
【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而求出； 再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；
（2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出的值.
【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，
所以是方程的两实根，
又公差，所以，所以，
所以，，所以，
所以，.
（2）由（1）知，所以，
所以，，，
因为数列是等差数列，所以，即，
所以，解得或(舍)，所以.
47．（1）；（2）λ=0.
【分析】（1）若λ=1，根据已知可得=，累乘可得，再根据与的关系即可得解；
（2）根据已知求得，再由数列{an}是等差数列，得，解得λ=0，代入已知，证明数列{an}时等差数列即可.
【详解】解：（1）若λ=1，则 ,，令n=1，得．
又因为，，所以=，
所以 ··=···，
即，所以①
所以当n≥2时，②
①-②，得，所以=2(n≥2)．当n=1时上式也成立．
所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，即．
（2）令n=1，得．令n=2，得．
要使数列{an}是等差数列，必须有，解得λ=0．
当λ=0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，则=，
从而·=·，
化简，得，即，所以．
综上所述，an=1(n∈N*)．
所以λ=0时，数列{an}是以1为公差的等差数列．