2025年新高考数学高频考点+重点题型专题24平面向量的线性运算与坐标运算含解析答案

这是一份2025年新高考数学高频考点+重点题型专题24平面向量的线性运算与坐标运算含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．在正方形中，为的中点，若，则的值为
A．B．C．D．1
3．已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则
A．点在线段上
B．点在线段的反向延长线上
C．点在线段的延长线上
D．点不在直线上
4．若为的边的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点在线段上(与点，不重合)，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在正六边形中，＋＋＝（ ）

A．B．
C． D．
8．已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为（ ）
A．[－2，2]B．(1，]
C．[1，]D．[1，2]
9．已知在▱ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则的坐标为( )
A．B．
C．D．
10．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．－C．1或－D．－1或－
12．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A．B．C．D．
13．在平行四边形中，,,则点的坐标为
A．B．C．D．
14．已知正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
15．已知平面内一点及△，若，则点与△的位置关系是（ ）
A．点在线段上B．点在线段上
C．点在线段上D．点在△外部
16．已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3B．2C．1D．
17．在中，点满足.若存在点，使得，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
18．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设，则＝（ ）
A．B．
C．3D．
19．已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式成立的实数x的取值集合为
A．B．
C．D．
二、多选题
20．在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为锐角三角形．
21．给出下列命题，其中假命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．⇔与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
22．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：
A．线段A、B的中点的广义坐标为（）；
B．A、B两点间的距离为；
C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；
D．向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0
三、填空题
24．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为 ．
25．在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为 .
26．设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ．
27．已知三点共线，则，则 ， ．
28．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(是锐角)总成立，则 ．
29．已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ).若c(2a+b)，则λ= .
30．若，则 ．
31．已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 ．
32．在中，过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是 ．
33．在四边形中，，则四边形的面积为_____________．
四、解答题
34．已知，设.
(1)求；
(2)求满足的实数
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
35．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n (m，n∈R)，求m＋n的值．
36．已知三点共线，O为直线外任意一点，若，求的值.
37．已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？
38．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问：
（1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？
（2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．B
【分析】先求出,再求即得解.
【详解】由题得,
.
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．B
【解析】根据，利用向量减法的三角形法则得到，然后根据向量的定义和共线向量定理即可求得答案．
【详解】解：，
，即，
点在线段的反向延长线上，
故选：．
【点睛】本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则，对变形是解决此题的关键，属于基础题．
4．A
【分析】直接利用向量的加减法及数乘运算即可.
【详解】2(2-.
故选:A.
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
5．D
【分析】由得，在中，利用向量加法可得.
【详解】∵∴
∴.
故选： D.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算.
用已知向量表示某一向量的两个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键；
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
6．D
【分析】设，则，根据得出的范围，再结合得到的关系，从而得出的取值范围.
【详解】设，
则,
因为，点在线段上(与点C，D不重合)，
所以，
又因为，
所以，所以.
故选：D
【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.
7．D
【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案.
【详解】由题意可知: ,,
所以.
故选：D
8．D
【分析】建立直角坐标系，把＝λ＋μ 转化为坐标运算，得到，利用三角函数求最值.
【详解】设半径为1.由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，

则A，B(1，0)，C(csθ，sinθ)（其中），
则由＝λ＋μ (λ，μ∈R)，可得(csθ，sinθ)＝λ＋μ(1，0)，
整理得：－λ＋μ＝csθ，λ＝sinθ，解得λ＝，μ＝csθ＋，则λ＋μ＝＋csθ＋＝sinθ＋csθ＝2sin（其中），易知λ＋μ＝2sin在上单调递增，在上单调递减，由单调性易得其值域为[1，2]．
故选：D
9．C
【详解】
如图所示,=(-2,3)+(3,7)=(1,10),
∴.
∴.
10．C
【分析】先求出、，根据A，B，C三点共线，建立关于a、b的关系式2a＋b＝1，利用基本不等式求出ab的最大值.
【详解】因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝－＝(a－1，1)，
＝－＝(－b－1，2).
因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即(a－1，1)＝λ(－b－1，2)，
所以可得2a＋b＝1.
因为a＞0，b＞0，
所以1＝2a＋b≥2，所以ab≤.
当且仅当2a＝b＝时取等号.
因此ab的最大值为.
故选：C.
11．B
【分析】因为与反向共线，所以，建立等量关系，求解即可.
【详解】因为与反向共线，所以，
即，因为向量不共线，
所以，解得：或，因为且，所以.
故选：B
12．D
【详解】试题分析：由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
13．A
【分析】先求,再求,即可求D坐标
【详解】，∴，则D(6,1)
故选A
【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题
14．D
【分析】在正六边形中，利用向量加法即可求得.
【详解】解：如图，连接，，设与交于点，则：
，，
∴．
故选：D．
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
15．C
【分析】将化为，然后合并得，则点在线段上.
【详解】由，得，即，
故点在线段上．
故选：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，灵活转化是关键，属于简单题.
16．A
【分析】根据A、B、D共线的条件得到，进而得到，根据平面向量基本定理中的分解唯一性，得到关于的方程组，求解即得.
【详解】因为､､三点共线，
所以存在实数λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故选：A.
17．D
【详解】分析： 由，可得，
求得，解得，从而可得结果.
详解：，
∴，
，
可得，
∵
∴.
故选：D.
点睛：本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理的应用，属于难题．向量的几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
18．A
【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求
【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系
则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)
∵∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)
则λ＝m，且μ＝m，
∴
故选：A
【点睛】本题考查了平面基本向量的基本定理，通过构建直角坐标系，用坐标表示向量，由平面向量的基本定理求参数
19．C
【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程解得即可.
【详解】由题意，，又，
∴，即
又∵三点共线，
∴，即，解得或，
当时，B，C两点重合，不合题意，应舍去，
故，此时实数x的取值集合为.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的运算法则，三点共线的充要条件：三点共线（其中），属于基础题.
20．BC
【解析】根据向量加减法法则和数量积的运算判断各选项．
【详解】，A错；
由向量加法法则，B正确；
，即，，为等腰三角形，C正确；
，则是锐角，但其它两个内角是不是锐角，不知道，D错误．
故选：BC．
【点睛】易错点睛：本题考查向量的加减法运算，考查数量积的运算．在由判断是锐角时要注意，本题是，因此有锐角的结论，如果一般的两个向量满足，不一定能得出为锐角．判断三角形形状时，仅仅由，只能得出是锐角，但两个角什么角，没法判断．还有下结论是锐角三角形．
21．BCD
【分析】根据平面向量的定义与性质逐项判断即可.
【详解】对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；
对于B，当时，命题不成立；
对于C，当，之一为零向量时，命题不成立；
对于D，当时，的方向是任意的，它可以与，的方向都不相同，命题不成立；
故选：BCD.
22．AC
【分析】利用三角形相似得出点E的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可.
【详解】
由，可得，又，N是线段OD的中点，
∴，∴，∴D错误；
∵，∴C正确；
∵，
∴A正确，B错误．
故选：AC．
23．AC
【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．
【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；
只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；
故选AC．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．
24．.
【分析】根据条件化简得，再根据B,P，N三点共线，得,求出t 值
【详解】因为，所以
则
根据B,P，N三点共线，,则t=
故答案为 ．
【点睛】在平面中，若P,A,B,C四点不共线，且 ,若A,B,C三点共线，则
本题考查学生对向量中点共线问题的考察
25．
【分析】根据平行四边形的性质易得，将向量用坐标表示，进行坐标运算即可得结果.
【详解】平行四边形中，，
∴，
即点坐标为，故答案为.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.
26．
【分析】利用向量的减法求出，再利用向量共线求出k即得.
【详解】由，，得，
由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，
所以实数k为.
故答案为：
27． /
【分析】根据共线向量坐标表示公式，结合向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：；
28．
【分析】利用共线向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立的等量关系，求解即可求出的取值.
【详解】因为直线l上有不同的三点A，B，C,
所以存在实数，使得，所以，
即，所以，所以，
因为是锐角，所以．
故答案为：
29．
【解析】用已知向量坐标表示线性组合向量，再利用向量平行的坐标表示求λ即可；
【详解】∵由题意，知：2a+b=(4,2)，c(2a+b)，
∴4λ=2，解得λ=.
故答案为：
【点睛】本题考查了向量的坐标表示，利用向量平行的坐标表示求参数值，属于简单题；
30．
【分析】根据已知条件可判定是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解.
【详解】因为，则，
所以是边长为2的正三角形，
所以为△ABC的边BC上的中线长的2倍，
所以．
故答案为：.
31．(2，4)
【分析】先设出的坐标，根据题意可知，把和用坐标表示出来，利用向量相等即坐标相等建立等量关系即可求解.
【详解】∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，
∴,
设点D的坐标为(x，y)，
则，，
∴，
∴，解得，
∴点D的坐标为(2，4).
故答案为：(2，4).
【点睛】本题考查向量的相关知识点，由题得出是解决本题的关键，是一道基础题.
32．
【详解】试题分析：由题意可知，，，三点共线，故设，而，∴，
即，
∴
，当且仅当时，等号成立，故的最小值是．
考点：1．平面向量的数量积；2．基本不等式．
【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．
33．
【分析】由题可得四边形是菱形，其边长为，对角线等于边长的倍，再利用余弦定理及面积公式即得.
【详解】因为，
所以四边形为平行四边形，
又，
∴平行四边形的角平分线平分，四边形是菱形，其边长为，且对角线等于边长的倍，
所以，
故，
所以四边形的面积为.
故答案为：．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的加减、数乘的坐标运算、加减法的几何意义求解即可.
【详解】（1）由已知
得，同理
（2）∵
∴解得
（3）设O为坐标原点， ，
，
35．.
【分析】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据向量的夹角和结合三角函数的概念表示出点的坐标，即向量的坐标，然后把向量的坐标代入＝m＋n即可求出m＋n的值.
【详解】以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，则sin α＝，cs α＝，
所以cs(α＋45°)＝，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为，，∴， ，
又＝m＋n，∴＝m(1，0)＋n，
∴，解得，∴m＋n＝＋＝.
故答案为：.
36．
【详解】试题分析：由共线可设，进而得，化简对应的即可得解.
试题解析：
∵三点共线，
∴存在非零实数，使得，
∴
∴
∵，
∴.
37．存在这样的实数，只要，就能使与共线
【分析】假设存在,使与共线，将用表示，再运用向量共线的充要条件，得到方程组，消去参数，即得，假设成立.
【详解】由，
要使与共线，则必存在实数，使得，
即，
由消去，得．
故存在这样的实数，只要，就能使与共线．
38．（1），，；（2）不能，理由见解析.
【分析】（1）根据平面向量坐标运算求解，再根据坐标轴与象限的性质列式求解即可；
（2）若四边形OABP为平行四边形，则，再根据坐标运算判断解的情况即可
【详解】(1)∵，
∴
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得；
若点P在第三象限，则解得
(2)若四边形OABP为平行四边形，则
∴
∵该方程组无解，
∴四边形OABP不能成为平行四边形.