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人教版 (2019)选择性必修 第一册6 受迫振动 共振同步测试题
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这是一份人教版 (2019)选择性必修 第一册6 受迫振动 共振同步测试题，共41页。试卷主要包含了固有振动，阻尼振动，受迫振动，86 m/s2，π＝3等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 固有振动、阻尼振动、受迫振动
1.固有振动
(1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．
(2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定．
2.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动．
(2)阻尼振动特点：振幅减小，频率不变(如图)．
(3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理．
3.受迫振动
(1)驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动．为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力．
(2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．
【即学即练1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
E．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能
【即学即练2】(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图①所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图②所示．当把手以某一速度匀速转动、受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图③所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
知识点02 简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
【即学即练3】下列各种振动中，不是受迫振动的是( )
A．敲击后的锣面的振动
B．缝纫机针的振动
C．人挑担子时，担子上下振动
D．蜻蜓、蝴蝶翅膀的振动
知识点03 共振
1．定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2．共振曲线(如图所示)
3．发生共振的条件及理解
(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解：
①从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
4．共振曲线及理解
(1)如图所示，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
(2)对共振曲线的理解
共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。
5．共振的应用与防止
(1)共振的应用
①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
②实例：转速计、共振筛.
(2)共振的防止
①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
②实例：部队过桥时用 便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
B．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
C．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
D．较弱声音可震碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振
能力拓展
考法01 阻尼振动的应用
【典例1】(多选)单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
考法02 受迫振动的应用
【典例2】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将( )
A．逐渐增大
B．先逐渐减小后逐渐增大
C．逐渐减小
D．先逐渐增大后逐渐减小
考法03 共振的应用
【典例3】一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
题组A 基础过关练
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．阻尼振动必定有机械能损失
B．物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C．物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D．做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
3．下列说法正确的是( )
A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B．火车过桥要减速慢行，是为了防止火车因共振而倾覆
C．挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
4．(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
5．(多选)一洗衣机在正常脱水工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水缸的转动频率恰好等于洗衣机的固有频率
6．(多选)如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
7．(多选)如图所示，两个质量分别为M和m的小球A、B，悬挂在同一根水平细线上，当A在垂直于水平细线的平面内摆动时，不计空气阻力，经过足够长的时间，下列说法正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，B摆的振幅最大
C．悬挂A的竖直细线长度变化时，B摆的振幅一定减小
D．无论怎样改变悬挂A的竖直细线长度，B摆的振幅都不变
8．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动，已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
9．(多选)有甲、乙、丙三个单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆，则( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都为4f
D．乙的振动频率为4f，甲的振动频率为f，丙的振动频率为6f
10．两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
11．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
题组B 能力提升练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
2．如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
3．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
4．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮d2的eq \f(1,2).为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A．60 r/min B．120 r/min
C．30 r/min D．240 r/min
5．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
6．(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图象分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其它三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
7．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为7 Hz。当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为7 Hz
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
9．如图所示，一台玩具电机的轴上安有一个小皮带轮甲，通过皮带带动皮带轮乙转动(皮带不打滑)，皮带轮乙上离轴心O 2 mm处安有一个圆环P.一根细绳一端固定在圆环P上，另一端固定在对面的支架上，绳呈水平且绷直．在绳上悬挂着4个单摆a、b、c、d.已知电动机的转速是149 r/min，甲、乙两皮带轮的半径之比为1∶5,4个单摆的摆长分别是100 cm、80 cm、60 cm、40 cm.电动机匀速转动过程中，振幅最大的单摆是( )
A．单摆a B．单摆b
C．单摆c D．单摆d
题组C 培优拔尖练
1．一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
2．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取eq \r(g)≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
3．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
4．如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
课程标准
课标解读
1．知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动．
2．知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，通过实验，认识受迫振动的特点．
3．知道共振发生的条件以及应用共振和防止共振的事例和方法．
1．知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明．
2．知道受迫振动的概念．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图象
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
能量逐渐减小
由产生驱动力的物体提供
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
第06讲 受迫振动 共振
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知识精讲
知识点01 固有振动、阻尼振动、受迫振动
1.固有振动
(1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．
(2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定．
2.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动．
(2)阻尼振动特点：振幅减小，频率不变(如图)．
(3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理．
3.受迫振动
(1)驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动．为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力．
(2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．
【即学即练1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
E．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能
【解析】 单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A、D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对，选项E对．
【答案】 ADE
【归纳总结】 阻尼振动的能量和周期
(1)阻尼振动的振幅不断减小，能量不断减少，但阻尼振动的频率不变，其频率为固有频率，由系统本身决定．
(2)自由振动是一种理想情况，也叫简谐运动．实际中的振动都会受到阻力的作用，当阻力较小时，可认为是简谐运动．
(3)阻尼振动中，机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，E减小，但动能和势能相互转化，当Ep相等，Ek不相等，而从振动图象上可以确定Ep的关系．
【即学即练2】(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图①所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图②所示．当把手以某一速度匀速转动、受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图③所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
【解析】 图②是自由振动的图像，从中可读出固有周期；图③是受迫振动的图像，从中可读出驱动力的周期；要判定受迫振动的强弱，只需比较驱动力周期与系统固有周期的关系，驱动力周期越接近系统的固有周期，振幅越大；反之越小．由题意知，图②为系统自由振动的图像，该振动系统的固有振动周期为T0＝4 s，选项A正确，选项B错误；当驱动力的周期等于该系统的固有周期时，发生共振，此时振幅最大，选项C正确．选项D错误．
【答案】 AC
【归纳总结】 1．分析受迫振动的方法
(1)在分析受迫振动时，首先要弄清驱动力的来源．
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，因而首先应确定驱动力的频率．
(3)当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振．
2．改变受迫振动的振幅的方法
当f驱＝f固时，振幅最大．若改变受迫振动的振幅，可采取两种方法：
(1)改变给予振动系统周期性外力的周期，即改变驱动力频率．
(2)了解影响固有频率的因素，改变固有频率．
知识点02 简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
【即学即练3】下列各种振动中，不是受迫振动的是( )
A．敲击后的锣面的振动
B．缝纫机针的振动
C．人挑担子时，担子上下振动
D．蜻蜓、蝴蝶翅膀的振动
【解析】 受迫振动是物体在周期性驱动力作用下的运动，而锣面在敲击后并没有受到周期性驱动力作用，A不是受迫振动；B、C、D都在做受迫振动．
【答案】 A
知识点03 共振
1．定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2．共振曲线(如图所示)
3．发生共振的条件及理解
(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解：
①从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
4．共振曲线及理解
(1)如图所示，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
(2)对共振曲线的理解
共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。
5．共振的应用与防止
(1)共振的应用
①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
②实例：转速计、共振筛.
(2)共振的防止
①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
②实例：部队过桥时用 便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
B．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
C．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
D．较弱声音可震碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振
【解析】 挑水时为了防止水从桶中荡出，可以改变走路的步频，A正确；在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是受迫振动，B错误；部队便步通过桥梁，不能产生较强的驱动力，就避免桥梁发生共振现象，故C正确；当声音频率等于玻璃杯频率时，杯子发生共振而破碎，D正确．
【答案】 ACD
能力拓展
考法01 阻尼振动的应用
【典例1】(多选)单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【解析】 在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使动能逐渐转化为内能，故选项C错误，选项D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和重力势能仍在不断地相互转化，由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以重力势能相等，但动能不相等，故选项A错误，选项B正确。
【答案】 BD
【归纳总结】 阻尼振动及能量变化
(1)阻尼振动与简谐运动的关系：实际的振动都会受到阻力的作用，是阻尼振动。当阻力很小时，可以认为是简谐运动。
(2)机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，阻尼振动中，E减小，但动能和势能仍相互转化。
考法02 受迫振动的应用
【典例2】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将( )
A．逐渐增大
B．先逐渐减小后逐渐增大
C．逐渐减小
D．先逐渐增大后逐渐减小
【解析】 由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大。直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后，若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。
【答案】 D
【归纳总结】 共振曲线的特点
(1)当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；
(2)当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近，振幅越大，反之，相差越大，振幅越小；
(3)共振曲线上除峰值外，其他某一振幅都对应两个驱动力频率。
考法03 共振的应用
【典例3】一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
【解析】 由题意知，当单摆共振时频率f＝0.5 Hz，
即f固＝f＝0.5 Hz，由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))得
l＝eq \f(g,4π2f2)＝eq \f(10,4×3.142×0.52) m≈1 m，
根据单摆运动过程中机械能守恒可得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＝mgl(1－csθm)。
其中1－csθm＝2sin2 eq \f(θm,2)＝eq \f(A2,2l2)(θm很小)，
最大速度vm＝Aeq \r(\f(g,l))＝0.25 m/s。
【答案】 1 m 0.25 m/s
【归纳总结】 共振曲线的特点
(1)当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；
(2)当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近，振幅越大，反之，相差越大，振幅越小；
(3)共振曲线上除峰值外，其他某一振幅都对应两个驱动力频率。
题组A 基础过关练
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
【解析】 自由摆动的秋千可以看作阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化不仅是系统内部动能和势能的相互转化。振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系统由于受到阻力，因而振动的能量不断减小，但总能量守恒。故正确答案为C。
【答案】 C
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．阻尼振动必定有机械能损失
B．物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C．物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D．做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
【解析】 做阻尼振动的物体，其振幅不断减小，所以其机械能也在不断减小，即必定有机械能损失，但其频率由自身结构特点决定，与振幅无关，所以其频率不变．
【答案】 ACD
3．下列说法正确的是( )
A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B．火车过桥要减速慢行，是为了防止火车因共振而倾覆
C．挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
【解析】 摆钟走时快了说明摆的周期变短了，需要增大单摆的周期，根据单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g)) 可知，必须增大摆长，才可能使其走时准确，故A错误；
火车过桥时要减速是为了防止与桥发生共振，不是防止火车发生共振，故B错误；
挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，当扁担与水桶振动的固有频率等于人迈步的频率时，发生共振，水桶中的水溢出，挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频，故C正确；
停在海面的小船上下振动，是受迫振动，故D错误。故选C。
【答案】 C
4．(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
【解析】 由题图知，当驱动力频率为f2时，振子的振幅最大，可确定振子的固有频率为f2，当振子自由振动时其频率为固有频率，故选项A、C正确，D错误；
由受迫振动的特点可知选项B正确。
【答案】 ABC
5．(多选)一洗衣机在正常脱水工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水缸的转动频率恰好等于洗衣机的固有频率
【解析】 切断洗衣机电源，脱水缸的转速逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时脱水缸转动的频率与洗衣机固有频率相同，发生了共振，此后脱水缸转速减慢，则转动频率小于固有频率，所以共振现象消失，洗衣机的振动幅度随之减弱，所以选项A、D正确，B、C错误．
【答案】 AD
6．(多选)如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
【解析】 阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A错误，B正确；
因A、B两时刻摆球的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；
由于摆球振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误．
【答案】 BC
7．(多选)如图所示，两个质量分别为M和m的小球A、B，悬挂在同一根水平细线上，当A在垂直于水平细线的平面内摆动时，不计空气阻力，经过足够长的时间，下列说法正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，B摆的振幅最大
C．悬挂A的竖直细线长度变化时，B摆的振幅一定减小
D．无论怎样改变悬挂A的竖直细线长度，B摆的振幅都不变
【解析】 A摆动时，B摆做受迫振动，稳定后，B摆的振动周期应等于驱动力的周期，即等于A摆的周期，选项A正确；
当B摆长与A摆长相等时，两者的固有周期相等，而A摆的固有周期就是使B做受迫振动的驱动力的周期，可见B摆处于共振状态，B摆的振幅最大，选项B正确；
A摆长发生变化，就是使B做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于B的固有周期不变，这样两个周期差别就发生了变化，因而B的振幅也要发生变化但不一定减小，选项C、D错误．
【答案】 AB
8．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动，已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
【解析】 7个摆的摆长不完全相同，固有频率不相同，选项A错；
A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B对；
B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，选项C对，选项D错误．
【答案】 BC
9．(多选)有甲、乙、丙三个单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆，则( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都为4f
D．乙的振动频率为4f，甲的振动频率为f，丙的振动频率为6f
【解析】 驱动力的频率为4f，与乙摆的固有频率相同，因此乙发生共振，所以乙的振幅最大；丙的固有频率为6f，甲的固有频率为f，所以丙的固有频率更接近驱动力的频率，所以丙的振幅大于甲的振幅，但比乙小，故A正确，B错误；
由于三个单摆均做受迫振动，因此其频率均为4f，故C正确，D错误．
【答案】 AC
10．两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
【解析】 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，选项A错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，则由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))可知，l＝eq \f(g,4π2f2)，则若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1；若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，选项B正确，C错误；在地面附近，秒摆的摆长为l＝eq \f(gT2,4π2)≈1 m，选项D错误．
【答案】 B
11．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
【解析】 (1)小球振动达到稳定时周期为0.4 s，频率为2.5 Hz。
(2)由题图图象可以看出单摆的固有频率为0.3 Hz，周期为eq \f(1,0.3) s，
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得l＝eq \f(T2g,4π2)＝eq \f(1,0.32)×eq \f(9.86,4×3.142) m≈2.78 m。
【答案】 (1)2.5 Hz (2)2.78 m
题组B 能力提升练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
【解析】 根据单摆的周期公式，得；在同一地点，g一定，则知与L成正比，即单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比，故A错误。弹簧振子做简谐运动时，振动系统的机械能守恒，即振动系统的势能与动能之和保持不变，故B正确。根据弹簧振子的周期公式可知，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐振动的周期越小，故C错误。系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，与固有频率无关，故D正确。振子在同一位置振动方向有两种，所以已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，不知道初始时刻振子的振动方向，仍不能确定振子在任意时刻的位置，故E正确。故选BDE。
【答案】 BDE
2．如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
【解析】 物体通过O点时弹簧的弹力为零，但摩擦力不为零，选项A错误；
物体振动时要克服摩擦力做功，机械能减少，振幅减小，做阻尼振动，选项B正确；
物体最终停止的位置可能在O点也可能不在O点．若停在O点摩擦力为零，若不在O点，摩擦力和弹簧的弹力平衡，停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg，选项C、D错误．
【答案】 B
3．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
【解析】 当列车受到冲击的频率和列车故有频率相同时，会发生共振，比较危险，由T＝eq \f(l,v)可得危险车速为v＝eq \f(l,T)＝eq \f(12.6,0.315) m/s＝40 m/s，A正确；
列车过桥需要减速，是为了防止桥与列车发生共振现象，B错误；
列车的速度不同，则振动频率不同，C错误；
由题意可知，根据T＝eq \f(l,v)可知增加长度可以使危险车速增大，故可以使列车高速运行，D正确．
【答案】 AD
4．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮d2的eq \f(1,2).为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A．60 r/min B．120 r/min
C．30 r/min D．240 r/min
【解析】 若使振子振幅最大，则曲轴转动频率为f＝2 Hz，即转速为2 r/s.由于eq \f(d1,d2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,2)，ω1r1＝ω2r2，故eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(2,1)，所以电动机转速为4 r/s，即240 r/min.D选项正确．
【答案】 D
5．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【解析】 在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝eq \f(15,10) s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝eq \f(60,36) s≈1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大一些．正确选项为A、C.
【答案】 AC
6．(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图象分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其它三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
【解析】 若使M振动起来，其它小球也会振动，做受迫振动，故A错误；
受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；
若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确；
O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则振动周期为3 s，故D正确。
【答案】 CD
7．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为7 Hz。当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为7 Hz
【解析】 支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，甲、乙两个弹簧搌子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9 Hz，由于甲的频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B正确，A、C、D错误。
【答案】 B
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
【解析】 某简谐振子，设自由振动时的振动周期为T1，在某驱动力作用下做受迫振动时的周期为T2，显然T1f2.题图乙中c点对应的是发生共振时驱动力的频率，其等于固有频率f1；当受迫振动时，驱动力频率为f2【答案】 AD
9．如图所示，一台玩具电机的轴上安有一个小皮带轮甲，通过皮带带动皮带轮乙转动(皮带不打滑)，皮带轮乙上离轴心O 2 mm处安有一个圆环P.一根细绳一端固定在圆环P上，另一端固定在对面的支架上，绳呈水平且绷直．在绳上悬挂着4个单摆a、b、c、d.已知电动机的转速是149 r/min，甲、乙两皮带轮的半径之比为1∶5,4个单摆的摆长分别是100 cm、80 cm、60 cm、40 cm.电动机匀速转动过程中，振幅最大的单摆是( )
A．单摆a B．单摆b
C．单摆c D．单摆d
【解析】 电动机的转速是149 r/min，则周期T甲＝eq \f(1,n)＝eq \f(60,149) s，甲、乙的半径之比是1∶5，则乙的周期是T乙＝eq \f(300,149) s，如果要发生共振，由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))求得，对应单摆的摆长约为1 m，题中给出的四个单摆中，a最接近，所以a的振幅最大，故选A.
【答案】 A
题组C 培优拔尖练
1．一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
【解析】 由图可知，此单摆的固有频率为0.5 Hz，则周期为2 s，由公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得L≈1 m，故A正确，B错误；
若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误．
【答案】 A
2．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取eq \r(g)≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【解析】 若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据T＝2πeq \r(\f(L,g))知，周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A正确；
若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为2∶5，则固有周期比为5∶2，根据T＝2πeq \r(\f(L,g))，知摆长比为25∶4，故B正确；
图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则固有频率为0.5 Hz，则T＝2πeq \r(\f(L,g))＝2，解得L＝1 m，故C正确，D错误．
【答案】 ABC
3．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
【解析】 人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))＝f固，得l＝eq \f(g,4π2f\\al(2,固))
代入数据，得l＝0.062 5 m，
l为静止时弹簧的压缩长度，则kl＝(m1＋nm2)g
n＝eq \f(kl－m1g,m2g)＝eq \f(1.5×105×0.062 5－600×9.8,70×9.8)＝5(人)
【答案】 5人
4．如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【解析】 由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，所以l＝eq \f(g,4π2f2)，代入数据解得l＝1 m．
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm．设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mgh，又h＝l(1－cs θ)，当θ很小时，1－cs θ＝2sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(A\\al(2,max),2l2)，解得vmax＝eq \f(Amax,l)eq \r(gl)＝0.25 m/s．
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝geq \f(Amax,l)，代入数据解得amax＝0.8 m/s2．
【答案】 1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
课程标准
课标解读
1．知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动．
2．知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，通过实验，认识受迫振动的特点．
3．知道共振发生的条件以及应用共振和防止共振的事例和方法．
1．知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明．
2．知道受迫振动的概念．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图象
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
能量逐渐减小
由产生驱动力的物体提供
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
目标导航
知识精讲
知识点01 固有振动、阻尼振动、受迫振动
1.固有振动
(1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．
(2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定．
2.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动．
(2)阻尼振动特点：振幅减小，频率不变(如图)．
(3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理．
3.受迫振动
(1)驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动．为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力．
(2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．
【即学即练1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
E．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能
【即学即练2】(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图①所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图②所示．当把手以某一速度匀速转动、受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图③所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
知识点02 简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
【即学即练3】下列各种振动中，不是受迫振动的是( )
A．敲击后的锣面的振动
B．缝纫机针的振动
C．人挑担子时，担子上下振动
D．蜻蜓、蝴蝶翅膀的振动
知识点03 共振
1．定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2．共振曲线(如图所示)
3．发生共振的条件及理解
(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解：
①从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
4．共振曲线及理解
(1)如图所示，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
(2)对共振曲线的理解
共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。
5．共振的应用与防止
(1)共振的应用
①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
②实例：转速计、共振筛.
(2)共振的防止
①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
②实例：部队过桥时用 便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
B．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
C．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
D．较弱声音可震碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振
能力拓展
考法01 阻尼振动的应用
【典例1】(多选)单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
考法02 受迫振动的应用
【典例2】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将( )
A．逐渐增大
B．先逐渐减小后逐渐增大
C．逐渐减小
D．先逐渐增大后逐渐减小
考法03 共振的应用
【典例3】一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
题组A 基础过关练
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．阻尼振动必定有机械能损失
B．物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C．物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D．做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
3．下列说法正确的是( )
A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B．火车过桥要减速慢行，是为了防止火车因共振而倾覆
C．挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
4．(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
5．(多选)一洗衣机在正常脱水工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水缸的转动频率恰好等于洗衣机的固有频率
6．(多选)如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
7．(多选)如图所示，两个质量分别为M和m的小球A、B，悬挂在同一根水平细线上，当A在垂直于水平细线的平面内摆动时，不计空气阻力，经过足够长的时间，下列说法正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，B摆的振幅最大
C．悬挂A的竖直细线长度变化时，B摆的振幅一定减小
D．无论怎样改变悬挂A的竖直细线长度，B摆的振幅都不变
8．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动，已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
9．(多选)有甲、乙、丙三个单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆，则( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都为4f
D．乙的振动频率为4f，甲的振动频率为f，丙的振动频率为6f
10．两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
11．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
题组B 能力提升练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
2．如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
3．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
4．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮d2的eq \f(1,2).为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A．60 r/min B．120 r/min
C．30 r/min D．240 r/min
5．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
6．(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图象分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其它三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
7．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为7 Hz。当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为7 Hz
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
9．如图所示，一台玩具电机的轴上安有一个小皮带轮甲，通过皮带带动皮带轮乙转动(皮带不打滑)，皮带轮乙上离轴心O 2 mm处安有一个圆环P.一根细绳一端固定在圆环P上，另一端固定在对面的支架上，绳呈水平且绷直．在绳上悬挂着4个单摆a、b、c、d.已知电动机的转速是149 r/min，甲、乙两皮带轮的半径之比为1∶5,4个单摆的摆长分别是100 cm、80 cm、60 cm、40 cm.电动机匀速转动过程中，振幅最大的单摆是( )
A．单摆a B．单摆b
C．单摆c D．单摆d
题组C 培优拔尖练
1．一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
2．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取eq \r(g)≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
3．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
4．如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
课程标准
课标解读
1．知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动．
2．知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，通过实验，认识受迫振动的特点．
3．知道共振发生的条件以及应用共振和防止共振的事例和方法．
1．知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明．
2．知道受迫振动的概念．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图象
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
能量逐渐减小
由产生驱动力的物体提供
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
第06讲 受迫振动 共振
目标导航
知识精讲
知识点01 固有振动、阻尼振动、受迫振动
1.固有振动
(1)固有振动：振动系统不受外力的作用．如：弹簧振子和单摆．
(2)固有频率：固有振动的频率．固有频率由振动系统本身因素决定．
2.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻力的作用，振幅逐渐减小的振动．
(2)阻尼振动特点：振幅减小，频率不变(如图)．
(3)理想化处理：当阻尼很小时，在短时间内看不出振幅明显减小，可以把它当作简谐运动来处理．
3.受迫振动
(1)驱动力：如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动．为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力．
(2)受迫振动：在周期性驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动频率：受迫振动的频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关．
【即学即练1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
E．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能
【解析】 单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A、D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对，选项E对．
【答案】 ADE
【归纳总结】 阻尼振动的能量和周期
(1)阻尼振动的振幅不断减小，能量不断减少，但阻尼振动的频率不变，其频率为固有频率，由系统本身决定．
(2)自由振动是一种理想情况，也叫简谐运动．实际中的振动都会受到阻力的作用，当阻力较小时，可认为是简谐运动．
(3)阻尼振动中，机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，E减小，但动能和势能相互转化，当Ep相等，Ek不相等，而从振动图象上可以确定Ep的关系．
【即学即练2】(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图①所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图②所示．当把手以某一速度匀速转动、受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图③所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
【解析】 图②是自由振动的图像，从中可读出固有周期；图③是受迫振动的图像，从中可读出驱动力的周期；要判定受迫振动的强弱，只需比较驱动力周期与系统固有周期的关系，驱动力周期越接近系统的固有周期，振幅越大；反之越小．由题意知，图②为系统自由振动的图像，该振动系统的固有振动周期为T0＝4 s，选项A正确，选项B错误；当驱动力的周期等于该系统的固有周期时，发生共振，此时振幅最大，选项C正确．选项D错误．
【答案】 AC
【归纳总结】 1．分析受迫振动的方法
(1)在分析受迫振动时，首先要弄清驱动力的来源．
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关，因而首先应确定驱动力的频率．
(3)当驱动力的频率等于固有频率时，发生共振．
2．改变受迫振动的振幅的方法
当f驱＝f固时，振幅最大．若改变受迫振动的振幅，可采取两种方法：
(1)改变给予振动系统周期性外力的周期，即改变驱动力频率．
(2)了解影响固有频率的因素，改变固有频率．
知识点02 简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
【即学即练3】下列各种振动中，不是受迫振动的是( )
A．敲击后的锣面的振动
B．缝纫机针的振动
C．人挑担子时，担子上下振动
D．蜻蜓、蝴蝶翅膀的振动
【解析】 受迫振动是物体在周期性驱动力作用下的运动，而锣面在敲击后并没有受到周期性驱动力作用，A不是受迫振动；B、C、D都在做受迫振动．
【答案】 A
知识点03 共振
1．定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2．共振曲线(如图所示)
3．发生共振的条件及理解
(1)驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
(2)对共振条件的理解：
①从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
②从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
4．共振曲线及理解
(1)如图所示，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
(2)对共振曲线的理解
共振曲线直观地反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系。当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时，受迫振动的振幅较小；当驱动力的频率，等于固有频率f0时，受迫振动的振幅最大。
5．共振的应用与防止
(1)共振的应用
①特点：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
②实例：转速计、共振筛.
(2)共振的防止
①特点：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好．
②实例：部队过桥时用 便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
【即学即练4】(多选)下列说法正确的是( )
A．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
B．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
C．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
D．较弱声音可震碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振
【解析】 挑水时为了防止水从桶中荡出，可以改变走路的步频，A正确；在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是受迫振动，B错误；部队便步通过桥梁，不能产生较强的驱动力，就避免桥梁发生共振现象，故C正确；当声音频率等于玻璃杯频率时，杯子发生共振而破碎，D正确．
【答案】 ACD
能力拓展
考法01 阻尼振动的应用
【典例1】(多选)单摆做阻尼振动的振动图线如图所示，下列说法正确的是( )
A．摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【解析】 在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使动能逐渐转化为内能，故选项C错误，选项D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和重力势能仍在不断地相互转化，由于A、B两时刻，单摆的位移相等，所以重力势能相等，但动能不相等，故选项A错误，选项B正确。
【答案】 BD
【归纳总结】 阻尼振动及能量变化
(1)阻尼振动与简谐运动的关系：实际的振动都会受到阻力的作用，是阻尼振动。当阻力很小时，可以认为是简谐运动。
(2)机械能E等于动能Ek和势能Ep之和，即E＝Ek＋Ep，阻尼振动中，E减小，但动能和势能仍相互转化。
考法02 受迫振动的应用
【典例2】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将( )
A．逐渐增大
B．先逐渐减小后逐渐增大
C．逐渐减小
D．先逐渐增大后逐渐减小
【解析】 由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大。直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后，若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。
【答案】 D
【归纳总结】 共振曲线的特点
(1)当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；
(2)当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近，振幅越大，反之，相差越大，振幅越小；
(3)共振曲线上除峰值外，其他某一振幅都对应两个驱动力频率。
考法03 共振的应用
【典例3】一单摆的共振曲线如图所示，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？(g取10 m/s2)
【解析】 由题意知，当单摆共振时频率f＝0.5 Hz，
即f固＝f＝0.5 Hz，由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))得
l＝eq \f(g,4π2f2)＝eq \f(10,4×3.142×0.52) m≈1 m，
根据单摆运动过程中机械能守恒可得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＝mgl(1－csθm)。
其中1－csθm＝2sin2 eq \f(θm,2)＝eq \f(A2,2l2)(θm很小)，
最大速度vm＝Aeq \r(\f(g,l))＝0.25 m/s。
【答案】 1 m 0.25 m/s
【归纳总结】 共振曲线的特点
(1)当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；
(2)当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近，振幅越大，反之，相差越大，振幅越小；
(3)共振曲线上除峰值外，其他某一振幅都对应两个驱动力频率。
题组A 基础过关练
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
【解析】 自由摆动的秋千可以看作阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化不仅是系统内部动能和势能的相互转化。振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系统由于受到阻力，因而振动的能量不断减小，但总能量守恒。故正确答案为C。
【答案】 C
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．阻尼振动必定有机械能损失
B．物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C．物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D．做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
【解析】 做阻尼振动的物体，其振幅不断减小，所以其机械能也在不断减小，即必定有机械能损失，但其频率由自身结构特点决定，与振幅无关，所以其频率不变．
【答案】 ACD
3．下列说法正确的是( )
A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B．火车过桥要减速慢行，是为了防止火车因共振而倾覆
C．挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
D．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
【解析】 摆钟走时快了说明摆的周期变短了，需要增大单摆的周期，根据单摆的周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g)) 可知，必须增大摆长，才可能使其走时准确，故A错误；
火车过桥时要减速是为了防止与桥发生共振，不是防止火车发生共振，故B错误；
挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，当扁担与水桶振动的固有频率等于人迈步的频率时，发生共振，水桶中的水溢出，挑水时为了防止水从水桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频，故C正确；
停在海面的小船上下振动，是受迫振动，故D错误。故选C。
【答案】 C
4．(多选)如图所示是一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3
【解析】 由题图知，当驱动力频率为f2时，振子的振幅最大，可确定振子的固有频率为f2，当振子自由振动时其频率为固有频率，故选项A、C正确，D错误；
由受迫振动的特点可知选项B正确。
【答案】 ABC
5．(多选)一洗衣机在正常脱水工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机脱水缸的转动频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水缸的转动频率恰好等于洗衣机的固有频率
【解析】 切断洗衣机电源，脱水缸的转速逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时脱水缸转动的频率与洗衣机固有频率相同，发生了共振，此后脱水缸转速减慢，则转动频率小于固有频率，所以共振现象消失，洗衣机的振动幅度随之减弱，所以选项A、D正确，B、C错误．
【答案】 AD
6．(多选)如图所示是某单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期不变
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
【解析】 阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A错误，B正确；
因A、B两时刻摆球的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；
由于摆球振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误．
【答案】 BC
7．(多选)如图所示，两个质量分别为M和m的小球A、B，悬挂在同一根水平细线上，当A在垂直于水平细线的平面内摆动时，不计空气阻力，经过足够长的时间，下列说法正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，B摆的振幅最大
C．悬挂A的竖直细线长度变化时，B摆的振幅一定减小
D．无论怎样改变悬挂A的竖直细线长度，B摆的振幅都不变
【解析】 A摆动时，B摆做受迫振动，稳定后，B摆的振动周期应等于驱动力的周期，即等于A摆的周期，选项A正确；
当B摆长与A摆长相等时，两者的固有周期相等，而A摆的固有周期就是使B做受迫振动的驱动力的周期，可见B摆处于共振状态，B摆的振幅最大，选项B正确；
A摆长发生变化，就是使B做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于B的固有周期不变，这样两个周期差别就发生了变化，因而B的振幅也要发生变化但不一定减小，选项C、D错误．
【答案】 AB
8．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动，已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
【解析】 7个摆的摆长不完全相同，固有频率不相同，选项A错；
A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B对；
B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，选项C对，选项D错误．
【答案】 BC
9．(多选)有甲、乙、丙三个单摆，它们的固有频率分别为f、4f、6f，都在频率为4f的驱动力作用下做受迫振动，比较这三个单摆，则( )
A．乙的振幅最大，丙的其次，甲的最小
B．乙的振幅最大，甲的其次，丙的最小
C．它们的振动频率都为4f
D．乙的振动频率为4f，甲的振动频率为f，丙的振动频率为6f
【解析】 驱动力的频率为4f，与乙摆的固有频率相同，因此乙发生共振，所以乙的振幅最大；丙的固有频率为6f，甲的固有频率为f，所以丙的固有频率更接近驱动力的频率，所以丙的振幅大于甲的振幅，但比乙小，故A正确，B错误；
由于三个单摆均做受迫振动，因此其频率均为4f，故C正确，D错误．
【答案】 AC
10．两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
【解析】 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，选项A错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，则由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))可知，l＝eq \f(g,4π2f2)，则若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1；若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，选项B正确，C错误；在地面附近，秒摆的摆长为l＝eq \f(gT2,4π2)≈1 m，选项D错误．
【答案】 B
11．如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，球将做阻尼振动。现使圆盘以不同的频率振动，测得共振曲线如图乙所示。(g＝9.86 m/s2，π＝3.14)
(1)当圆盘以0.4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，它振动的频率是多少？
(2)若一个单摆的摆动周期与球做阻尼振动的周期相同，该单摆的摆长约为多少？(结果保留三位有效数字)
【解析】 (1)小球振动达到稳定时周期为0.4 s，频率为2.5 Hz。
(2)由题图图象可以看出单摆的固有频率为0.3 Hz，周期为eq \f(1,0.3) s，
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得l＝eq \f(T2g,4π2)＝eq \f(1,0.32)×eq \f(9.86,4×3.142) m≈2.78 m。
【答案】 (1)2.5 Hz (2)2.78 m
题组B 能力提升练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐运动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．弹簧振子做简谐运动时，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐运动的周期越大
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，仍不能确定振子在任意时刻的位置
【解析】 根据单摆的周期公式，得；在同一地点，g一定，则知与L成正比，即单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比，故A错误。弹簧振子做简谐运动时，振动系统的机械能守恒，即振动系统的势能与动能之和保持不变，故B正确。根据弹簧振子的周期公式可知，弹簧的劲度系数越大，弹簧振子做简谐振动的周期越小，故C错误。系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，与固有频率无关，故D正确。振子在同一位置振动方向有两种，所以已知弹簧振子初始时刻的位置、振幅及周期，不知道初始时刻振子的振动方向，仍不能确定振子在任意时刻的位置，故E正确。故选BDE。
【答案】 BDE
2．如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是( )
A．物体通过O点时所受的合外力为零
B．物体将做阻尼振动
C．物体最终只能停止在O点
D．物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
【解析】 物体通过O点时弹簧的弹力为零，但摩擦力不为零，选项A错误；
物体振动时要克服摩擦力做功，机械能减少，振幅减小，做阻尼振动，选项B正确；
物体最终停止的位置可能在O点也可能不在O点．若停在O点摩擦力为零，若不在O点，摩擦力和弹簧的弹力平衡，停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg，选项C、D错误．
【答案】 B
3．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
【解析】 当列车受到冲击的频率和列车故有频率相同时，会发生共振，比较危险，由T＝eq \f(l,v)可得危险车速为v＝eq \f(l,T)＝eq \f(12.6,0.315) m/s＝40 m/s，A正确；
列车过桥需要减速，是为了防止桥与列车发生共振现象，B错误；
列车的速度不同，则振动频率不同，C错误；
由题意可知，根据T＝eq \f(l,v)可知增加长度可以使危险车速增大，故可以使列车高速运行，D正确．
【答案】 AD
4．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮d2的eq \f(1,2).为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A．60 r/min B．120 r/min
C．30 r/min D．240 r/min
【解析】 若使振子振幅最大，则曲轴转动频率为f＝2 Hz，即转速为2 r/s.由于eq \f(d1,d2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(1,2)，ω1r1＝ω2r2，故eq \f(ω1,ω2)＝eq \f(2,1)，所以电动机转速为4 r/s，即240 r/min.D选项正确．
【答案】 D
5．(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示．筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min.已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期．那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【解析】 在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝eq \f(15,10) s＝1.5 s，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱＝eq \f(60,36) s≈1.67 s．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大一些．正确选项为A、C.
【答案】 AC
6．(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图象分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其它三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
【解析】 若使M振动起来，其它小球也会振动，做受迫振动，故A错误；
受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；
若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确；
O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则振动周期为3 s，故D正确。
【答案】 CD
7．如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为7 Hz。当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为7 Hz
【解析】 支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，甲、乙两个弹簧搌子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9 Hz，由于甲的频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B正确，A、C、D错误。
【答案】 B
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中实线所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中虚线所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的(图乙为该简谐振子的共振曲线)( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
【解析】 某简谐振子，设自由振动时的振动周期为T1，在某驱动力作用下做受迫振动时的周期为T2，显然T1
9．如图所示，一台玩具电机的轴上安有一个小皮带轮甲，通过皮带带动皮带轮乙转动(皮带不打滑)，皮带轮乙上离轴心O 2 mm处安有一个圆环P.一根细绳一端固定在圆环P上，另一端固定在对面的支架上，绳呈水平且绷直．在绳上悬挂着4个单摆a、b、c、d.已知电动机的转速是149 r/min，甲、乙两皮带轮的半径之比为1∶5,4个单摆的摆长分别是100 cm、80 cm、60 cm、40 cm.电动机匀速转动过程中，振幅最大的单摆是( )
A．单摆a B．单摆b
C．单摆c D．单摆d
【解析】 电动机的转速是149 r/min，则周期T甲＝eq \f(1,n)＝eq \f(60,149) s，甲、乙的半径之比是1∶5，则乙的周期是T乙＝eq \f(300,149) s，如果要发生共振，由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))求得，对应单摆的摆长约为1 m，题中给出的四个单摆中，a最接近，所以a的振幅最大，故选A.
【答案】 A
题组C 培优拔尖练
1．一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的固有周期约为0.5 s
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
【解析】 由图可知，此单摆的固有频率为0.5 Hz，则周期为2 s，由公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得L≈1 m，故A正确，B错误；
若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误．
【答案】 A
2．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m(取eq \r(g)≈π)
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
【解析】 若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，因为图线Ⅰ单摆的固有频率较小，则固有周期较大，根据T＝2πeq \r(\f(L,g))知，周期大的重力加速度小，则图线Ⅰ是月球上单摆的共振曲线，故A正确；
若两次受迫振动均在地球上同一地点进行的，则重力加速度相等，因为固有频率比为2∶5，则固有周期比为5∶2，根据T＝2πeq \r(\f(L,g))，知摆长比为25∶4，故B正确；
图线Ⅱ若是在地球表面上完成的，则固有频率为0.5 Hz，则T＝2πeq \r(\f(L,g))＝2，解得L＝1 m，故C正确，D错误．
【答案】 ABC
3．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m.汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))(l为静止时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？
【解析】 人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))＝f固，得l＝eq \f(g,4π2f\\al(2,固))
代入数据，得l＝0.062 5 m，
l为静止时弹簧的压缩长度，则kl＝(m1＋nm2)g
n＝eq \f(kl－m1g,m2g)＝eq \f(1.5×105×0.062 5－600×9.8,70×9.8)＝5(人)
【答案】 5人
4．如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
【解析】 由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，所以l＝eq \f(g,4π2f2)，代入数据解得l＝1 m．
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm．设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mgh，又h＝l(1－cs θ)，当θ很小时，1－cs θ＝2sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(A\\al(2,max),2l2)，解得vmax＝eq \f(Amax,l)eq \r(gl)＝0.25 m/s．
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝geq \f(Amax,l)，代入数据解得amax＝0.8 m/s2．
【答案】 1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
课程标准
课标解读
1．知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动．
2．知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，通过实验，认识受迫振动的特点．
3．知道共振发生的条件以及应用共振和防止共振的事例和方法．
1．知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明．
2．知道受迫振动的概念．知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
概述
振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线
振幅逐渐减小的振动
振动系统在驱动力作用下的振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图象
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
能量逐渐减小
由产生驱动力的物体提供
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
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