[数学][期末]山东省2023-2024学年高一下学期期末联考试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]山东省2023-2024学年高一下学期期末联考试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以的终边位于第三象限，
所以.
故选：B.
2. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 设是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】对A，有可能，故A错误；
对B，可能异面，故B错误；
对D，可能异面，也可能相交，故D错误；
利用排除法可得C正确.
故选：C.
4. 已知一组数据：的平均数是10，方差是4，则，的方差是（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 18
【答案】A
【解析】由题意，数据的平均数为：
，
所以方差为
.
故选：A.
5. 已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，
即为的图象.
故选：D.
6. 如图，在梯形中，分别为的中点，若，其中，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别为的中点，，
，
而①，②，
联立①②得，.
故选：B.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由于向量与平行，
所以，由正弦定理得，
由于，所以，
由于，所以，，
两边平方得，
所以.
故选：D.
8. 如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，作出图形，如图所示，
因为是以AC为斜边等腰直角三角形，所以的外心在中点，
设为，设的外心为，中点为，，
因为，所以必在连线上，则，即，
因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，
所以，，
又因为二面角的大小为，，
所以，所以，
锥体外接球半径，
则三棱锥的外接球表面积为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知复数，则当且仅当时为纯虚数
B. 已知复数为实数，则
C 已知复数，则
D. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在第四象限
【答案】BC
【解析】对于A，复数，则当且仅当时为纯虚数，
所以A选项错误；
对于B，若复数为实数，则，所以B选项正确；
对于C，复数，则，所以C选项正确；
对于D，复数，则复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以D选项错误.
故选：BC.
10. 下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ）
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年
D. 2020年销量高于这六年销量的平均值
【答案】ABC
【解析】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；
对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序，
所以销量的第百分位数为第个数据，即，故B正确；
对于C，年的增长率为，
年的增长率为，
年的增长率为，
年的增长率为，
年增长率为，
年的增长率超过其他年份的增长率，故C正确；
对于D，这六年销量的平均数为
，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在点Q，使得
B. 存在点Q，使得
C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D. 对于任意点Q，都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由平面，平面，，平面，
∴直线与是异面直线，A正确；
平面，平面，则，
又，与是平面内两相交直线，所以平面，
又平面，所以，即当与重合时，，B正确；
此时是直角三角形，D错；
设（），，，，
，
，
所以，，
所以时，，或1时，，
所以的最大值是，最小值是，
记到的距离为，，
因此的最大值是，的最小值是，C正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量共线，且，则______．
【答案】或
【解析】由向量共线，故向量可能同向、可能反向，
当向量同向时，由，则，
当向量反向时，由，则，
即可能为或.
故答案为：或.
13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：，解得，
所以圆锥的表面积为．
故答案为：.
14. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________.
【答案】
【解析】满足，
，即，，
在上单调，，即，
当时最大，最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 中，，，分别为角，，的对边，且.
（1）求角A；
（2）若的内切圆面积为，求的面积S的最小值.
解：（1）因为，
由正弦定理和两角和正弦公式得：，
又因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，所以，所以，
所以，即.
（2）由题意知内切圆的半径为，则，解得，
如图，内切圆的圆心为，为切点，
则，
从而，
由余弦定理得，
整理化简并利用基本不等式得，
解得或（舍去），
（当时取等号），
从而，
即面积S的最小值为.
16. 如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）若正方体棱长为2，求点到平面的距离．
解：（1）直线平面，
理由如下：在正方体中，连接交于点，连接，如图1，
因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，因此，
又平面，平面，所以平面．
（2）解法一：（等体积法）
在三棱锥中，，
则，
的面积，
设点到平面的距离为，
由得：，
于是，所以点到平面的距离为．
解法二：（直接法）
连接，在平面中，设，
在正方形中，，
又∵平面，平面，∴，
又∵，、平面，
∴平面，而平面，∴，
同理可得：，
又∵，，平面，
∴平面，即平面，
所以为点到平面的距离，
由题意可知，在直角三角形中，，，，
由得，所以点到平面的距离为．
17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；
（3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数.
解：（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得.
（2）甲样本数据的平均值估计值为
；
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，
设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为，
由样本估计总体得（人），
故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人.
18. 如图，在三棱台中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．
解：（1）取中点为，连接，
∵，，∴，
故，
由三角形内角和可得，
故，
又∵，平面，为相交直线，
∴平面，平面，∴，
又∵，即，平面，
∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面.
（2）由（1）知直线与平面所成角为，
∴，由于，∴，
设平面和平面的交线为，
由于平面，平面，所以，
过点作于G，
又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面，
∴平面，平面，所以，
且，
再过点作于，连接，平面，
所以平面，
平面，故，
∵即为所求角，，
，
∴.
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最值．
（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，得函数
，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）当时，，所以，
则，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为.
（3）由题意得时，有解，
而此时，即有解，只需要即可，
，，
令，则在上单调递减，
所以当时，，即，所以.