2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x∈N||x|≤2}，B={x∈R|1−x≥0}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {x|−2≤x≤1}C. {1,2}D. {x|0≤x≤1}
2.命题“∀x∈R，3x−x≥0”的否定是( )
A. “∀x∈R，3x−x≤0”B. “∀x∈R，3x−x<0”
C. “∃x∈R，3x−x≤0”D. “∃x∈R，3x−x<0”
3.函数D(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，则D(D( 2))=( )
A. 2B. 2C. 1D. 0
4.已知函数f(x)=(m−2)xm为幂函数，若函数g(x)=lgx+x−m，则g(x)的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.函数y=6xx2+1的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.“a≥2”是“函数f(x)=ln(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流.如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为(π≈3)( )
A. 960B. 480C. 320D. 240
8.已知89<710，设a=lg87，b=lg98，c=0.9，则( )
A. c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=tan(x+π3)，则( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的定义域为{x|x≠π6+kπ,k∈Z}
C. f(x)是增函数
D. f(π4)10.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−2或x≥1}，则( )
A. b>0且c<0
B. 4a+2b+c=0
C. 不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−111.若正实数a，b满足a+2b=2，则( )
A. 1a+2b有最小值9B. ab有最大值12
C. 2a+4b的最小值是4D. a2+b2的最小值是25
12.已知函数f(x)，假如存在实数λ，使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x恒成立，称f(x)满足性质R(λ)，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)满足性质R(2)，且f(0)=2，则f(2)=−4
B. 若f(x)=sinπx，则f(x)不满足性质R(λ)
C. 若f(x)=ax(a>1)满足性质R(λ)，则λ<0
D. 若f(x)满足性质R(−12)，且x∈[0,12)时，f(x)=11−2x，则当x∈[32,2)时，f(x)=42−x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.集合A={−3,m}，B={m2+4m,−1}，且A=B，则实数m= ______．
14.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=713，则sinα−csα= ______．
15.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氛化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q=Q0e−0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，e=2.71828⋯，试估计______年以后将会有一半的臭氧消失.(ln2≈0.69)
16.已知函数f(x)=x−3,x≥ax2−2x,x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)eln3−(sin1)0+(827)−23+lg3427；
(2)(lg5)2+lg2×lg5+lg2+(lg52+lg252)×lg85.
18.(本小题12分)
已知α为第二象限角，且终边与单位圆O相交于点P(− 55,y)．
(1)求tanα的值；
(2)求cs(2π−α)+3cs(72π−α)sin(9π2+α)−sin(α−π)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(ωx−φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π，且图象经过点(0,1)．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)当x∈[0,2π]时，求f(x)的最值以及取得最值时x的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)为奇函数．
(1)求a，判断f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)若不等式f(2kx2)+f(kx−38)<0恒成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为每平方米40元．
(1)设AD长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数解析式；
(2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(1+a⋅2x)．
(1)若f(1)=1，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若函数y=f(x)+x有两个零点，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈[−1,0]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的和不大于lg23，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得A={0,1,2}，B={x|x≤1}，
所以A∩B={0,1}，故A正确．
故选：A．
分别求出A={0,1,2}，B={x|x≤1}，再求解A∩B即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，命题“∀x∈R，3x−x≥0”的否定是“∃x∈R，3x−x<0”．
故选：D．
根据题意，利用全称命题的否定形式判定选项即可．
本题考查命题的否定，注意全称命题的否定形式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知 2∉Q,0∈Q⇒D( 2)=0，∴D(D( 2))=D(0)=1．
故选：C．
利用定义结合分段函数性质计算即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由f(x)=(m−2)xm为幂函数，所以m−2=1，得m=3，所以g(x)=lgx+x−3，
对A：当x→0时，g(x)→−∞，g(1)=−2，故A错误；
对B：g(1)=−2，g(2)=lg2−1<0，故B错误；
对C：g(2)=lg2−1<0，g(3)=lg3>0，故C正确；
对D：g(3)=lg3>0，g(4)=lg4+1>0，故D错误．
故选：C．
由f(x)为幂函数，可求出m=3，即得到g(x)=lgx+x−3，再利用零点存在定理从而可求解．
本题主要考查函数零点判定定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，设f(x)=6xx2+1，其定义域为R，
有f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D；
显然当x>0时，6xx2+1>0恒成立，可排除B，即A正确．
故选：A．
根据题意，分析函数的奇偶性排除C、D，由函数值的符号排除B，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性分析，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意易知x2−4x−5=(x−5)(x+1)>0⇒x>5或x<−1，
且y=x2−4x−5开口向上，且对称轴为x=2，
结合复合函数的单调性知f(x)在(5,+∞)上单调递增，
所以当a≥2时不能得出f(x)在(a,+∞)上单调递增，即不满足充分性；
而函数f(x)=ln(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增可知a≥5，
显然a≥5⇒a≥2成立，满足必要性．
所以a≥2是函数f(x)=ln(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增的必要不充分条件．
故选：B．
利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：易知135°=3π4，根据题意可知扇面的面积为S=12×513π4×51−12×213π4×21=23π×(30×72)≈480．
故选：B．
利用扇形的面积公式计算即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由89<710，可知lg8(89)易知b=lg98=ln8ln9,a=lg87=ln7ln8，
先证糖水不等式：若x>y>0，m>0，则yx证明如下：作差得yx−y+mx+m=(y−x)mx(x+m)<0，得证．
所以有ln7ln8所以c故选：A．
根据89<710同时取对数可判定a，c关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定a，b关系．
本题主要考查对数的运算，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对A：由f(x)=tan(x+π3)，函数f(x)的最小正周期为T=π1=π，故A正确；
对B：由x+π3≠π2+kπ，k∈Z，解得x≠π6+kπ，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠π6+kπ,k∈Z}，故B正确；
对C：−π2+kπ所以函数f(x)在(−5π6+kπ,π6+kπ)，k∈Z上单调递增，故C错误；
对D：由C知当k=1时，f(x)在(π6,7π6)上单调递增，所以f(π4)故选：ABD．
根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解．
本题考查正切函数的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题意可知a>0−2+1=−ba(−2)×1=ca⇒a=b−2a=c，
所以b>0且c<0，4a+2b+c=4a+2a−2a=4a>0，故A正确，B错误；
不等式bx+c>0⇔ax−2a=a(x−2)>0⇒x>2，故C正确；
不等式cx2−bx+a<0⇔−2ax2−ax+a=−a(2x−1)(x+1)<0，
即(2x−1)(x+1)>0，所以x>12或x<−1，故D错误．
故选：AC．
利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可．
本题考查二次不等式的解法，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对A：由a+2b=2，得12(a+2b)=1，所以1a+2b=12(1a+2b)(a+2b)=12(1+4+2ba+2ab)≥12(5+2 2ba×2ab)=92，
当且仅当2ba=2ab，即a=b=23时取等号，故A错误；
对B：由a+2b=2≥2 2ab，解得ab≤12，当且仅当a=2b，即a=1,b=12时取等号，故B正确；
对C：由2a+4b=2a+22b≥2 2a×22b=4，当且仅当2a=22b，即a=1,b=12时取等号，故C正确；
对D：由a+2b=2，得a=2−2b，则a2+b2=(2−2b)2+b2=5b2−8b+4=5(b−45)2+45，
因为0故选：BC．
利用1的代换可对A判断；利用基本不等式可对B、C判断；由a2+b2=5(b−45)2+45，利用二次函数性质从而可对D判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若f(x)满足性质R(2)，且f(0)=2，则f(x+2)+2f(x)=0恒成立，
所以f(2)+2f(0)=0⇒f(2)=−4，故A正确；
对于B，若f(x)=sinπx，显然λ=1⇒sin(πx+π)+sin(πx)=0，
即f(x+1)+1×f(x)=0，此时f(x)满足性质R(1)，故B错误；
对于C，若f(x)=ax(a>1)满足性质R(λ)，
即f(x+λ)+λf(x)=ax+λ+λax=ax(aλ+λ)=0，
易知ax>0，aλ>0，所以aλ+λ=0⇒λ=−aλ<0，故C正确；
对于D，若f(x)满足性质R(−12)，且x∈[0,12)时，f(x)=11−2x，
由题意f(x−12)−12f(x)=0⇒f(x−12)=12f(x)
⇒f(x−1)=12f(x−12)=14f(x)⇒f(x−32)=12f(x−1)=18f(x)，
则当x∈[32,2)时，x−32∈[0,12),
则f(x−32)=11−2(x−32)=14−2x=18f(x)，
所以f(x)=42−x，故D正确．
故选：ACD．
利用定义直接计算可判定A，利用诱导公式可判定B，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定C，利用定义递推函数关系可判定D．
本题考查了函数恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：由题意得A=B，
当m=−1时，A={−3,−1}，m2+4m=−3，则B={−3,−1}，符合题意；
当m=m2+4m时，解得m=0或m=−3，
若m=0，则A={−3,0}，B={0,−1}，不符合题意；
若m=−3，则A={−3,−3}，不符合题意；
综上所述：m=−1．
故答案为：−1．
根据集合关系A=B，分别讨论m=−1，m=m2+4m，从而可求解．
本题主要考查集合相等的运算，属于基础题．
14.【答案】1713
【解析】解：由α∈(0,π)可知sinα>0，
又sinα+csα=713⇒(sinα+csα)2=sin2α+2sinαcsα+cs2α
=1+2sinαcsα=49169，即2sinαcsα=49169−1=−120169，
则csα<0⇒sinα−csα>0，
所以(sinα−csα)2=sin2α−2sinαcsα+cs2α=1−2sinαcsα=289169，
故sinα−csα=1713．
故答案为：1713．
利用同角三角函数的平方关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.【答案】276
【解析】解：由题意得Q0e−0.0025t=12Q0，得e−0.0025t=12，
即−0.0025t=ln12=−ln2，解得t=ln20.0025≈．
故答案为：276．
由Q0e−0.0025t=12Q0，解得e−0.0025t=12，从而可求解．
本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．
16.【答案】(0,3) (0,2]∪(3，+∞)．
【解析】解：当a=2时，若x≥2⇒f(x)=x−3<0⇒x∈[2,3)，
若x<2⇒f(x)=x2−2x=x(x−2)<0⇒x∈(0,2)，综上f(x)<0的解集是(0,3)；
若f(x)的零点都在y=x2−2x上，即两个零点分别为x=0，x=2，则a>3，
若f(x)的零点在y=x2−2x上有一个，在y=x−3上有一个，
即两个零点分别为x=0，x=3，则a<32≥a>0，
即a∈(0,2]，综上a∈(0,2]∪(3，+∞)．
故答案为：(0,3)，(0,2]∪(3，+∞)．
利用分段函数的性质结合一次函数、二次函数的单调性计算可得第一空，分类讨论计算可得第二问．
本题主要考查函数的零点和方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)eln3−(sin1)0+(827)−23+lg3427=3−1+(23)3×(−23)+lg3(334)
=2+94+34=5；
(2)(lg5)2+lg2×lg5+lg2+(lg52+lg252)×lg85
=lg5×(lg5+lg2)+lg2+(lg52+lg522)×lg235
=lg5+lg2+(lg52+12lg52)×13lg25
=1+(32lg52)×13lg25
=1+32×13×lg52×lg25=32．
【解析】(1)利用指数与对数的运算法则计算即可；
(2)利用对数的运算性质计算即可．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵点P的横坐标为− 55，
∴csα=− 55，
又α为第二象限角，
∴sinα>0⇒sinα= 1−cs2α=2 55．
∴tanα=sinαcsα=2 55− 55=−2；
(2)cs(2π−α)+3cs(72π−α)sin(9π2+α)−sin(α−π)=cs(−α)+3cs(32π−α)sin(π2+α)+sin(π−α)
=csα−3sinαcsα+sinα=1−3tanα1+tanα=1−3×(−2)1+(−2)=−7．
【解析】(1)利用三角函数的定义及同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可；
(2)利用诱导公式结合(1)的结论弦化切计算即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2cs(ωx−φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π，∴2πω=4π，即ω=12，
∵f(x)的图象经过点(0,1)，∴f(0)=2cs(−φ)=2csφ=1⇒csφ=12，结合0<φ<π，解得φ=π3，
∴f(x)的解析式为f(x)=2cs(x2−π3)，
令2kπ≤x2−π3≤2kπ+π，k∈Z，解得4kπ+2π3≤x≤4kπ+8π3，k∈Z，可知f(x)的单调递减区间为[4kπ+2π3,4kπ+8π3]，k∈Z．
(2)当x∈[0,2π]时，可知x2−π3∈[−π3,2π3]，所以cs(x2−π3)∈[−12,1]，
因此，当x2−π3=0，即x=2π3时，函数f(x)取得最大值2；当x2−π3=2π3，即x=2π时，函数f(x)取得最小值为−1．
【解析】(1)根据余弦函数的周期性、函数经图象过定点，计算出f(x)的解析式，然后利用余弦函数的单调性算出答案；
(2)利用余弦函数的图象与性质，求出f(x)在[0,2π]上的最值以及取得最值时x的值．
本题主要考查三角函数的周期性、余弦函数的单调性与最值等知识，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
即a−22−x+1=−(a−22x+1)，则2a=22−x+1+22x+1，
即2a=2⋅2x2x+1+22x+1=2，则2a=2，得a=1；
所以f(x)=1−22x+1，
函数f(x)在R上为增函数，
证明如下：
设x1=22x2+1−22x1+1=2(12x2+1−12x1+1)=2⋅2x1−2x2(2x2+1)⋅(2x1+1)
∵x10，2x2+1>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数y=f(x)在R上为增函数；
(2)∵不等式f(2kx2)+f(kx−38)<0恒成立，
∴f(2kx2)<−f(kx−38)，
∵函数f(x)为奇函数，∴f(2kx2)∵函数f(x)在R上单调递增，则2kx2<38−kx，
即2kx2+kx−38<0恒成立，
当k=0时，不等式−38<0恒成立，满足题意；
当k≠0时，需满足2k<0Δ<0，即2k<0k2+3k<0，解得−3综上，实数k的取值范围为(−3,0]．
【解析】(1)先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可；
(2)利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想、分类讨论思想和方程思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，正方形MNPQ的面积为x2，阴影部分面积为100−x2，
所以AM=100−x24x，且AM>0，则0则S=ax2+105×(100−x2)+40×2×(100−x24x)2
=(a−100)x2+50000x2+9500(0(2)由(1)可知，S=(a−100)x2+50000x2+9500≥2 (a−100)x2×50000x2+9500
=200 5(a−100)+9500(x∈(0,10),a∈[1000,3000])，
当且仅当(a−100)x4=50000时，即x4=50000a−100时，等号成立，
由于投入到该休闲场所的资金最多29500元，
所以200 5(a−100)+9500≤29500，
解得a≤2100，
当a=2100时，x= 5符合题意，
所以花坛造价最多投入每平方米2100元．
【解析】(1)利用几何图形的特征计算图形面积即可；
(2)利用(1)的结论结合基本不等式可知Smin=200 5(a−100)+9500≤29500，解不等式即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(1)=1，则a=12，∵f(x)≤2，∴lg2(1+12×2x)≤lg24，
∴1+12×2x≤4，即2x≤6，∴x≤lg26.
故不等式f(x)≤2的解集为(−∞,lg26]；
(2)函数y=f(x)+x有两个零点，即方程lg2(1+a⋅2x)+lg2(2x)=0有两个不相等的实根，
∴lg2(1+a⋅2x)=−lg2(2x)，∴1+a⋅2x=2−x，
∴a=122x−12x，令u=12x(u>0)，则a=u2−u，
即方程a=u2−u在(0,+∞)上只有两解，令g(u)=u2−u，u∈(0,+∞)，则g(u)min=g(12)=−14．
当−14即函数y=f(x)+x只有两个零点，∴实数a的范围是(−14,0)；
(3)∵a>0，∴函数y=1+a⋅2x在R上单调递增，
即函数f(x)=lg2(1+a⋅2x)在定义域内单调递增，
∴函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值为f(t)=lg2(1+a⋅2t)，最大值为f(t+1)=lg2(1+a⋅2t+1)，
∴f(t)+f(t+1)=lg2(1+a⋅2t)+lg2(1+a⋅2t+1)=lg2(1+a⋅2t)(1+a⋅2t+1)≤lg23，
∴(1+a⋅2t)(1+a⋅2t+1)≤3对t∈[−1,0]恒成立．令h=2t，(12≤h≤1)，
∴2a2h2+3ah−2≤0对h∈[12,1]，a>0恒成立，
∵y=2a2h2+3ah−2在[12,1]上单调递增，∴ymax=2a2+3a−2，∴2a2+3a−2≤0
解得−2≤a≤12，又a>0，∴0∴实数a的取值范围是(0,12]．
【解析】(1)由f(1)=1，求出a=12，从而可求解f(x)≤2的解集；
(2)由题意可知lg2(1+a⋅2x)+lg2(2x)=0有两个不相等的实根，化简可得1+a⋅2x=2−x，从而得a=122x−12x，令u=12x(u>0)，即a=u2−u在(0,+∞)上只有两解，从而可求解；
(3)当a>0，求出f(x)在区间[t,t+1]上的最大、最小值的和f(t)+f(t+1)=lg2(1+a⋅2t)(1+a⋅2t+1)≤lg23⇔(1+a⋅2t)(1+a⋅2t+1)≤3对t∈[−1,0]恒成立，令h=2t，(12≤h≤1)，从而可得2a2h2+3ah−2≤0，利用二次函数的性质从而可求解．
本题考查函数的综合应用，考查对数的运算性质，属于中档题．