高考数学模拟试卷及答案（新高考、新结构）

这是一份高考数学模拟试卷及答案（新高考、新结构），共11页。试卷主要包含了已知函数，．等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．中位数为3，方差为2.8D．平均数为2，方差为2.4
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（ ）
A．的斜率可能不存在，且不为0
B．点纵坐标为
C．直线的斜率
D．直线过定点
8．已知数列的前n项和为，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项D．常数项是第4项
10．下列对函数的判断中，正确的有（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．函数的最小正周期为
D．直线是函数图象的一条对称轴
11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．在定义域内单调递减D．为奇函数
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，设集合，集合，若，则 .
13．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
14．如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则 ，该正三棱柱的体积为 .
三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.
15．（13分）在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且．
(1)求证：．
(2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
16．（15分）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
17．（15分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
18.（17分）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
19．（17分）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；
(3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．
2024年高考数学全真模拟试卷（新高考、新结构）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，而，则，所以.故选C
2．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，，，
所以．故选B
3．某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．中位数为3，方差为2.8D．平均数为2，方差为2.4
【答案】D
【解析】五次点数分别为2，2，2，3，6时，满足平均数为3，中位数为2，故中可出现点数6;
五次点数分别为2，2，3，5，6时，满足中位数为3，众数为2，故中可出现点数6;五次点数分别为2，3，3，6，6时，满足中位数为3，方差为2.8，故中可出现点数6;若平均数为2，出现了6，那么方差至少为，故中不可能出现点数6，故选.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知线段的中点为，且满足，则,故为等腰三角形，
又，则为正三角形，根据双曲线定义知，
设，则，
在中，由余弦定理知，故选D
5．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体，
设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，
则必有平面且，，三点共线，在正三角形中，易求得，
在中，由，可得，在中，由，得，解得，由题意得，所以，
所以．故选D．
6．已知，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令且，则，故在上递减，又，所以，A错误；令且，则，所以上，递减，上，递增，而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误；令且，则，故在上递增，又，所以，B错误；由于，所以，故,D正确，故选D．
7．设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（ ）
A．的斜率可能不存在，且不为0
B．点纵坐标为
C．直线的斜率
D．直线过定点
【答案】D
【解析】A选项，由题意得，故，因为，且，解得，故椭圆方程为，故，若的斜率不存在，则重合，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，故A错误；B选项，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，所以直线的斜率存在且不为0，设直线，联立得，，
，故，故，B错误；
C选项，直线，联立得，，
则，故，则，
因为，所以，，若，则，，
，，此时不与重合，两者也不重合，满足要求，C错误；
D选项，若，此时，故直线与轴垂直，且过点；若，
由于，，
故
，
故直线方程为，
令得.故直线过定点，综上，直线过定点，D正确.故选D
8．已知数列的前n项和为，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，即，结合，可得，
则，所以，即，故，，…，，
上述式子累加，得，故，当时，满足上式，所以，所以，
所以，
故，因为，所以，所以．故选A．
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项D．常数项是第4项
【答案】AB
【解析】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确；各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确；
展开式的通项为，令，得时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C错误；令，得，所以常数项是第5项，故D错误.故选AB.
10．下列对函数的判断中，正确的有（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最大值为
C．函数的最小正周期为
D．直线是函数图象的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】因为，且定义域为R，所以为偶函数，故选项A不正确；因为，所以取值范围为，故的最大值为，最小正周期为，函数图象的对称轴为，故选项B、C、D 正确.故选BCD..
11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．在定义域内单调递减D．为奇函数
【答案】BC
【解析】对于，令，则，因，故得，故A正确；
对于由，令，则，
则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，于是，故B错误；对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称，令，则①，把都取成，可得②，将②式代入①式，可得，
化简可得即为奇函数，故D正确；对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误.故选BC.
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．已知，设集合，集合，若，则 .
【答案】2
【解析】集合，集合，，则是的子集，当时，等式不成立，舍去，当时，解得，此时，，满足题意，故．
13．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
【答案】74
【解析】根据题意可得，该指数衰减的学习模型为，当时，代入得，，解得，学习率衰减到以下（不含），可得，即，所以，因为，所以，则取.
14．如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则 ，该正三棱柱的体积为 .
【答案】 1
【解析】由题设，过点作平面与交于点，且到平面的距离相等，故为的中点，故，由正三棱柱的对称性，不妨设与交于点，而平面，故与棱的交点为棱的中点，因为，则与平面的交线与平行，且与棱有交点，故过的平面分布如图所示.因为的距离均为1，故为的三等分点，且.设该正三棱柱的底面边长为，则，，则由正三棱柱可得平面，过点作的垂线，垂足为，因为平面，平面，故，而，，平面，故平面，故为之间的距离，故，
所以，所以体积为.
三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.
15．（13分）在四棱锥中，底面为矩形，点为的中点，且．
(1)求证：．
(2)若，点为棱上一点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
解：（1）取的中点，连接，如图（1）．
因为点分别为的中点，所以．
因为，，
所以，得，
所以，所以．（2分）
又，，平面，所以平面．（4分）
因为平面，所以．（5分）
又，所以．（6分）
（2）因为，平面，
所以平面．因为平面，所以．
如图（2），以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
令，则，（8分）
所以．
设，则，所以．（9分）
设平面的一个法向量为，则有
令，得，则．（10分）
设平面的一个法向量为，则有
令，得，，则．（11分）
因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
所以，
解得．故．（13分）
16．（15分）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
解：（1）如图．在中，由正弦定理，得．（1分）
在中，由正弦定理，得．（2分）
在中，由正弦定理，得．（4分）
所以，（6分）
所以．（7分）
（2）因为，
所，所以．（8分）
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．（11分）
在中，由正弦定理，得．（12分）
在中，由正弦定理，得．（13分）
所以．（15分）
17．（15分）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.
解：（1）因为焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线的方程为.（4分）
（2）
如图，设，，直线的方程为，
由得，所以（*）
由
，将（*）代入整理得：
.（6分）
又
，将（*）代入整理得：
，（8分）
所以，.（9分）
（3）设，，，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
即.（11分）
同理，直线方程为，
直线方程为.（12分）
因为直线经过，所以，
解得，
因为直线经过，所以，
解得，
所以，整理得.（13分）
又因为直线的方程为，
所以直线经过定点，
所以，当时，点到直线距离取得最大值为.（15分）
18.（17分）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
解：（1）由，可知，
因为在处的切线斜率为2，
所以，所以，．（4分）
（2）证明：当时，，要证，
即证，两边取对数得，，
即证，（5分）
令，只需证即可．（6分）
．
所以，在上单调递减．
所以，成立，
所以，.（9分）
（3）若在区间上恒成立，
即在区间上恒成立．（10分）
令．则，
令，，因为，
所以，所以，
所以在时单调递增．（12分）
可知．
当时，，即，所以在时单调递增．
所以成立．（14分）
当时，，
当时，，
所以使得．
当时，，即，所以此时单调递减；
当时，，即，所以此时单调递增；
所以，不成立，舍去．
综上，．（17分）
19．（17分）一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为0至100，桥上有若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转身后继续前进（不计转身时间）.
(1)在坐标为10，40，80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换）；
(2)在坐标为10、20、30、……、90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为，设最后一个士兵离开独木桥的时间为秒，求的分布列和期望；
(3)若初始状态共个士兵，初始方向向右的概率为，计算自左向右的第个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率，以及当取得最大值时取值．
解：（1）由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，所以在最长时间下，坐标为10处的士兵必须向右，最长时间为秒，
所以3个士兵全部离开桥面的最长时间为90秒. （3分）
（2）T的可能取值为50，60，70，80，90，（4分）
，
（6分）
所以T的分布列
（7分）
期望秒（8分）
（3）本小问的解答将分为4步进行. 第1步我们将把问题优化假设为以下情况：初始背对指挥官的士兵在一开始就消失，而初始面对指挥官的士兵在和指挥官相撞时也会消失；第2步我们将说明，在此种假设下，指挥官从初始面对的方向离开的充要条件是，初始状态下他前方的士兵中面对他的士兵数量，不超过初始状态下他后方的士兵中面对他的士兵数量；第3步我们利用服从二项分布，求出；第4步我们说明是递减数列，从而当取到最大值时，.（10分）
第1步：
根据题意，我们知道指挥官左边有个士兵，右边有个士兵.
由于两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过且编号互换，但我们只需要研究指挥官离开桥面的方式，无需考虑其它士兵的编号，所以我们不妨设除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞，而是相遇后互相穿过对方. 不过，我们依然要考虑指挥官和士兵之间的碰撞.
在作出了除指挥官外的士兵两两之间不会碰撞的假设下，我们又有以下结论：
①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）永远不会和指挥官相撞，因为这样的士兵和指挥官都在桥上时，他们之间的距离永远不会减少；
②士兵一旦和指挥官相撞一次，就不会再次相撞，因为和指挥官相撞后的士兵将进入背对指挥官的状态，如①中所述，他们不可能再次相撞.
从而，我们还可以不妨假设：
①在指挥官左（右）边的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始时背对指挥官的士兵）在开始的一瞬间就消失；
②而剩下的那些士兵（也就是初始面对指挥官的士兵）一旦和指挥官相撞，就会在相撞的瞬间消失（从而他们消失之前，始终面对指挥官）. （12分）
第2步：
设表示指挥官初始面向的那些士兵中，一开始面向指挥官的士兵数量；表示指挥官初始背对的那些士兵中，一开始面向指挥官的士兵数量.
根据之前的假设，一开始背对指挥官的士兵会直接消失，因此初始状态下，指挥官前方有个士兵，且都面朝指挥官；指挥官后方有个士兵，且也都面朝指挥官.
然后，我们考虑指挥官开始移动后发生的事情.
指挥官会先和他前面的一个士兵碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消失，此时指挥官初始朝向和初始背向的士兵数量分别是和.
然后指挥官又会先和他前面（也就是初始背对）的一个士兵发生碰撞，然后转向，和他相撞的士兵随即消失，此时指挥官初始朝向和初始背向的士兵数量分别是和；
以此类推……直至某一刻，指挥官行进的方向上没有士兵，这时指挥官会从行进的方向离开桥.
这表明，为判断指挥官最终离开桥的方向，我们只需要轮流给和减1，直至这两个数中的某一个数达到0，在试图减1时无法再减少. 若最终无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥；若最终无法再减少，则指挥官会从初始面向的方向离开桥.
所以，指挥官从他的初始方向离开桥，当且仅当.（14分）
第3步：
由于每个士兵的初始方向是独立的，且一开始面朝指挥官和背对指挥官各自的概率都是，所以一方面我们知道和独立，且都服从二项分布；另一方面我们知道除指挥官外的一切士兵中，初始面对指挥官的士兵数量同样服从二项分布.
故
.
.
至此，我们得到了.（16分）
第4步：最后我们考虑什么时候取到最大.
由于，故，这表明.
所以是递减数列，从而当取到最大值时，.
综合上述论证，所求概率；而当取到最大值时，.（17分）T
50
60
70
80
90
P